曹烨程，陈 辉，郭 晨

（1.北京体育大学 研究生院，北京 100084；2.石家庄学院 体育学院，河北 石家庄 050035；3.重庆第二师范学院 体育与健康管理学院 重庆 400065；4.福建师范大学 体育科学学院 福建 福州 350117）

图论是描述对象间关系的数学模型，是描述半结构化数据的理想工具，具有独特的数学理论与数学思想。现实生活中很多问题都可以用图进行描述，如网络流、资源分配、电路优化、网页排序、搜索、工序安排等。图也是描述许多数据结构的重要手段，如树结构是计算机操作系统与众多应用系统必不可少的模型。图论是应用数学的一个分支，它是反映一些元素之间关系（一般是二元关系）的数学模型，图论是处理半结构化数据的重要理论与方法，随着大数据处理技术的发展，图论的概念与成果以及它的应用非常广泛，既有许多来自生产实践的应用问题，也有许多来自其他学科研究的理论问题。目前在国内有关体育科学研究领域里，只有刘泽婷等人运用图论方法将足球传球的运动表现分析融入到教学中［1］。

自乒乓球混双项目成为东京奥运会的正式比赛项目后，各国对乒乓球混双项目的投入力度逐渐加大，都期待在该项目上取得优异成绩，打破中国乒乓球队对奥运金牌的垄断。在刚刚结束的东京奥运会上，我国混双运动员许昕/刘诗雯在决赛中输给了日本组合水谷隼/伊藤美诚，遗憾丢失了历史上第一枚奥运会乒乓球混双金牌。同样，在2021年世界青年乒乓球锦标赛决赛上，我国混双年轻组合向鹏/蒯曼也在决赛中败给了日本组合篠塚大登/木原美悠，以上可见，我国乒乓球混双项目正受到外协会运动员的强力冲击，因此中国乒乓球队在巴黎奥运周期应加大对混双项目的投入力度。

从当前我国乒乓球混双项目研究的科研成果来看，多是针对混双运动员心理、或者项目发展趋势等方面的研究［2-8］，而涉及混双项目技战术评估方法的研究成果较少。只有肖丹丹［9］研究员在吴焕群等学者创立的乒乓球技战术三段评估法［10］的基础上对双打和混双的技战术分析的研究方法做了总结和创新，使双打和混双技战术分析路径更为清晰，本研究则是主要从技战术衔接的角度对混双每一板球做出诊断分析。在乒乓球比赛中，评价运动员技战术运用是否合理，主要一个方面是看其比赛中的技战术衔接水平如何，目前国内外学者对乒乓球技战术衔接的研究问题很少，本文就从目前亟待研究的高水平混双比赛技战术分析问题入手，尝试利用纵贯数据与图论模型相结合的研究方法，将混双项目技战术评估和技战术衔接进行研究与探讨，为我国混双运动员训练和比赛提供更加科学的参考依据。

1 研究方法

1.1 数据来源

本研究使用纵贯数据，该数据是指相同的案例在不同时间上经过多次观测所得到的数据［11］。就方法论而言，纵贯数据在数据结构和提供各方面有效信息上，可较好满足研究两名运动员或一对组合运动员技战术分析的因果关系的推论。一方面纵贯数据有着更可靠的有效性，使数据的描述性和探测性更加准确；另一方面，可以更好地对乒乓球比赛技战术的动态变化进行分析，尤其是更好地识别技术衔接这种纯粹截面数据（乒乓球截面数据指同一名运动员与不同对手的比赛数据）中难以识别的信息［12］。本文研究的对象为我国混双组合许昕/刘诗雯与日本混双组合水谷隼/伊藤美诚这两组世界顶尖的混双组合的比赛技战术数据，运用“乒乓军师”技战术分析软件分别提取了2019年韩国公开赛半决赛、2019年国际乒联总决赛决赛、2020年德国公开赛决赛和2020年东京奥运会混双决赛的数据，共4场比赛、累计20局、373个回合。

1.2 指标的选择

乒乓球双打与混双比赛发球线路固定，而且4名选手都采用的是正手发球，表1是发球方式与击球落点的编号。

为了研究乒乓球技战术衔接与克制关系，本研究将乒乓球混双比赛所运用的各项技术编号如表2所示，结合表1与表2的内容，将使用技术和击球线路结合到一起进行编号，如伊藤美诚用反手挑打到对方中路，可编号为伊6B，如许昕用正手拉的技术回击到对方直线的位置，编号为许7C，以此类推。

表1 发球方式与击打落点编号

表2 技术运用编号

1.3 图论模型的构建

1.3.1 有向图节点的度的构建

为挖掘出4场比赛中最活跃的选手，以及使用最频繁的技术，计算了乒乓球混双的动态网络G= （V （G）， E（G））中G（69，516） 所有节点的度d（Vi）。在本文的乒乓球混双的动态网络G = （V （G），E（G））中，每个节点 Vi 代表一种乒乓球的击打方式（击打技术和落点），对于 Vi∈V （G），G（69，516）中与Vi关联的边数（每个环算作两条边）称为节点Vi的度，记作d（Vi）。节点的度d（Vi）计算公式如下：

若节点的度d（Vi）是奇数，则称节点Vi是奇顶点；若节点的度d（Vi）是偶数，则称节点Vi是偶顶点。

1.3.2 乒乓球混双网络模型的构建

为研究乒乓球不同技战术的使用及衔接关系，本文建立图论数学模型，用来描述乒乓球混双的动态网络。如果用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。

在本文乒乓球混双的动态网络G=（V（G），E（G））中，每个节点Vi代表一种乒乓球的击打方式（落点方式和击打技术），由于总共有3种落点方式A、B和C，分别代表击打斜线、中间和直线3个线路，结合13种击打技术，在本文的乒乓球混双的动态网络中共有69个节点V（G）=69。通过数据统计，累计共有516条不重复的有向边Ei，所以E（G）=516。图1展示了其中部分的有向边，每条有向边Ei代表两位选手之间的对打，在本研究中，混双比赛的每一个回合最多有12板，图的横坐标有标为13个技术点，纵坐标代表击打落点，从上之下依次斜线、中路、直线。

图1 混双网络模型示意图

2 结果与分析

2.1 运动员发球方式汇总

本研究统计了不同发球的使用次数，比赛中双方运动员都没有使用顺旋转发球，因此只有b和c两种发球方式，分别是“逆旋转”和“转不转”发球方式，其中中国选手在193个回合比赛得分，占比为51.74%；日本选手在180个回合比赛得分，占比为48.26%。其中，逆旋转发球方式累计199次，占比为53.35%，转不转的发球方式累计174次，占比为46.5%。总体来说，采取逆旋转的发球方式的次数更多。且4位选手的旋球偏好各有不同，如图2所示，伊藤美诚偏好于逆侧旋球，仅有11次发球使用了转不转发球。刘诗雯对于两种发球方式未表现出明显的偏好，使用转不转发球次数略多。水谷隼和许昕则偏好于转不转发球，使用比例都明显高于逆侧旋发球，原因可能在于两位男子选手都是左手选手，发球的站位都是其单打发球的站位，发球站位较好合力，而且就从线路上而言，男子运动员如发顺旋转球，女子在右半台较容易抢攻和接发球合力；同理，女子在右半台如发顺旋转球，站位上较为不适。然而右半台的逆旋转发球，由于隐蔽性较强，使得发球效果较好，因此，比赛中没有出现顺旋转发球，而女子右手发球逆旋转较多。

图2 运动员发球技术偏好

2.2 发球方式对比赛结果的影响分析

为研究不同发球选手和发球方式对于比赛结果胜负的影响，根据不同轮次发球采用的发球方式与最后得失分数据做出图论模型，如图3所示。

图3 发球方式与比赛胜负二维核密度图

横坐标是发球选手和发球方式，其中，数字1-8分别代表“伊b”“伊c”“水b”“水c”“刘b”“刘c”“许b”和“许c”。纵坐标是本回合比赛的胜负，其中，数字0和1分别代表日本和中国选手获胜得分。从图2中可以看出，横坐标中1-4是日本选手发球，5-8是中国选手发球，从二维核密度图中可以明显发现：先发球的一方，比赛获胜的概率更大。对于中国选手来说，在二维核密度图中，获胜的中心更加集中在横坐标为5的位置，由此可以说明：刘诗雯发球回合比许昕的发球回合次获胜概率更大，另外，中国选手采取逆旋转发球的方式，更容易获胜。对于日本选手来说，在二维核密度图中，日本获胜的中心更加集中在横坐标为1的位置，由此可以说明：伊藤美诚发球回合次比水谷隼发球回合的获胜分数要多，同样采取逆旋转的发球方式更容易获胜。

2.3 两组选手整体技战术使用分析

本文统计了373个回合比赛中4位选手出现的所有击打技术，如表3所示。可以看出，13种不同的击打技术中，乒乓球混双比赛使用技术最多的是7和8，分别是正手拉（攻）和反手拉（攻）击打技术；使用最少的是4和10，分别是反手劈长和正手快带。结合落点与技术情况使用分析，如图4所示。整体来看，4位选手乒乓球击打方式最多的是7A和8A，即：正手拉（攻）和反手拉（攻）组合斜线方式，其次是1A、5A和13A，即：正手摆短、正手挑打和侧身击打斜线方式，使用最少的是4B、3B和10B，即：反手劈长、正手劈长和正手快带组合中间落点方式。可以看出，在两对组合混双比赛中，对于台内球的一般都采用摆短和正手挑打的回击方式，直接劈长球较少，而且在比赛中正手近台快带应用较少，原因可能在于双打比赛对于来球的预判不如单打比赛准确，而正手拉比反手拉球应用较多是因为两组选手都是左右搭配，跑位有利于正手的使用。从击球落点上来看，两对混双组合在使用正反手拉球和侧身拉球技术中，落点都倾向于斜线位置，可能是因为在混双比赛中每个运动员需要一人一板球进行回击，而且对手水平较为接近，对手回球质量同样较高，所以无论男女运动员在进行回击时需要优先考虑上台率，在乒乓球比赛中，击球斜线的距离较长，上台率相对与直线球更高，因此运动员回击斜线线路占比更多。

图4 373回合的击打方式（落点方式和击打技术）矩阵热图

2.4 四名运动员节点的度运用分析

2.4.1 日本组合节点的度运用分析

本研究统计了伊藤美诚和水谷隼所有击打方式对应节点的度d（Vi），排名前14的度d（Vi）汇总如表4所示。可以看出在373个回合的比赛中，日本选手伊藤美诚技术使用排在前三位依次是8A（度为14）、2A（度为13）、7A（度为11），分别是反手斜线、反手斜线摆短，正手位斜线拉（打），这说明了伊藤美诚反手生胶的打法无论在单打比赛或双打比赛都较为偏向于反手为主的技战术体系。从接发球开始，伊藤美诚接使用反手位摆短，到相持阶段应用反手弹击斜线都是其技战术应用的主要手段。水谷隼衔接技术方式最多是7A和2C（度为14），即：正手拉（攻）斜线和反手摆短直线的技战术应用方式，接发球反手摆短直线居多，水谷隼作为男子选手其侧身击打斜线的使用率较高。

表4 日本组合击打方式对应节点的度

2.4.2 中国组合节点的度的运用分析

刘诗雯所有击打方式对应节点的度d（Vi）排名前14的汇总如表5所示。从中可以看出刘诗雯使用技术和频率最多的是正手摆短组合斜线击打方式，排第二的是反手拉（攻）组合斜线击打方式，排在第三位的使用技术和线路组合为反手防守斜线和正手位拉斜线组合。由以上数据可知，刘诗雯在混双比赛接发球使用中较多的使用了正手的摆短斜线技术，这与同为右手选手伊藤美诚的接台内球的处理方式不同，在相持阶段刘诗雯应用较多的是反手防御与正手位正手拉斜线，说明刘诗雯在混双中反手位的进攻性较弱，反手快撕技术使用较少，使用防守性的回击方式，这也体现了对手的战术目的；许昕排名靠前的对应节点度d（Vi）如表5，他在比赛中技战术使用较为频繁的是正手位拉斜线、反手位摆斜线、正手位挑打斜线和侧身位拉斜线，许昕在混双比赛中接发球与水谷隼一样应用较多的也是摆短技术。可以看出，在顶尖混双比赛中左手男子接发球应用拧拉技术较少、控制较多，但相较于其余3位选手来说，许昕正手的挑打使用率很高，原因在于许昕是直拍握法，相对于横拍选手来说手指手腕较为灵活，处理台内球应用挑打技术较为准确，这也是许昕在混双比赛中的技术特点之一。

以上对4位选手的比赛中技战术使用情况用图的方式可以更加直观的表示出来。如图5所示，4种不同的颜色代表了4位选手，方格的大小代表了每位选手的技术使用频次，方格越大，表示技术使用频次越高。

图5 四位选手击球技术和落点组合偏好

2.5 图论模型下混双技战术运用及回击方式

从实战角度出发，考察4位选手技战术使用的情况，运动员和教练员考虑更多的是对手针对我方球员的技战术使用会采取何种回击方式，这可以应用乒乓球动态网络模型进行分析。

在本研究的乒乓球混双的动态网G=（V（G），E（G））中G（69，506），有一些节点Vi被许多条有向边Ei共用，意味着某些乒乓球的击打方式（落点方式和击打技术）被反复使用着。比如对于日本选手伊藤美诚来说，累计有123条有向边从她这出发，即：伊藤美诚在4场比赛中共参与了123次的两两对决，日本选手伊藤美诚和水谷隼使用不同乒乓球击打技术的运用及对手回击的方式，汇总如表6所示，中国组合刘诗雯、许昕累计的有向边为143次、118次、142次，其每一项技战术的使用及对手下一板回击的技战术使用方式如表7所示。

表6 日本组合技战术运用及对手回击方式

表7 中国组合技战术运用及对手回击方式

通过以上数据，可以得到每一位运动员各项技战术的使用情况及对手可能的回击方式，从而有助于我们在比赛前对对手的技战术进行分析，更加高效备战。为了得到更直观的研究结果，最有效的方式还是运用图来做出技战术模型。

通过总结、分析数据，本研究首先分析了选手当前击打技术，并且追踪其下一次击打技术，对其进行组合，然后筛选出每种当前击打技术最有可能衔接的下一技术，整理为如下的气泡图模型，如图6所示。其中，横坐标表示当前击打技术编号，纵坐标表示下一次击打的技术编号，气泡大小表示最有可能的技术衔接组合的出现频次。从图6的4张气泡图可以看出，伊藤美诚针对出台来球回击方式基本上采用正反手拉打进行还击，针对短球大多采用反手摆短回击，对于对手的拉球她习惯采用反手挡进行防御。刘诗雯的回击方式则较为多变，针对台内球，刘诗雯更多采用正手摆短技术，相对于伊藤美诚，她在衔接中攻防运用较为均衡，她表现出了更全面的攻防能力。与两位女运动员衔接技术明显不同的是，水谷隼对于1、3即正手摆短和劈长，惯于使用侧身拉而非反手拉的进攻方式，对于中国选手的侧身拉球，他习惯于使用正手挡进行防御。许昕的技战术特点在于针对正反手短摆，惯于采用正手挑打的方式回击，但针对出台球，许昕应用最多的是正手拉球，比赛中也可以看到对于对手高质量的拉球，许昕大都是退台后进行反拉，很少使用近台正反手防御技术，正手使用率高于其余3位选手，而反手应用较少，体现其良好的正手进攻与纠缠能力，但从另一角度来说，在后续的训练中应加强反手的攻防能力。针对以上特点，对4位混双选手的技战术衔接偏好绘制表格（如表8）。通过以上图论模型，可以更直观地看出比赛中各个选手技战术使用频次、使用特点等，还可以总结出对手在比赛中最可能采取的回击方式，这将有助于教练员、运动员做好赛前技战术分析，并在赛中及时调整应对技战术。

表8 四名运动员技战术衔接方式汇总

图6 混双技战术衔接图形

2.6 图论模型下混双最后1板得失分研究

在乒乓球技战术分析与评价中，无论是经典的三段分析法还是其他乒乓球技战术分析法，大都是根据得失分板进行的归类和研究。本研究也把4场比赛得失分板的技术和线路应用情况通过图论模型给出分析，根据4人的击打数据，构建了4名运动员在最后1板球的得分技术和线路的使用模型（如图7所示）。图中的编号由两部分组成，字母部分为选手使用的技术和落点，数字部分为得分频次。不难看出，四位选手得分制胜板的关键技术和线路出现比例最大的都是7A，即正手拉斜线落球。说明正手位斜线拉球不仅是使用是技术衔接使用频率较高，在制胜板方面该技术线路也是最有效的，充分证明在乒乓球混双比赛中正手斜线拉球在混双技战术中的重要性。所以在乒乓球混双比赛中，运动员应重点关注这一技战术的应用并提前最好预判和移动。除正手位击打斜线球外，两位男运动员使用侧身拉的制胜概率也较高，区别在于许昕在侧身位直线球的直接得分不如水谷隼的得分多；相较之下，两位女子选手中，伊藤美诚侧身得分率较高，这与伊藤美诚侧身拍打弧圈球这种搏杀性打法有较大的关系，在反手得分制胜板上，刘诗雯反手拉斜线得分较多，且成功率较高，但伊藤美诚的反手生胶拉打直线得分比例较高。

图7 四位运动员最后一板技战术使用图论模型

3 研究结论

3.1 本文采取了体育研究领域中使用较少的图论分析方法，结合纵贯数据，构建了乒乓球混双技战术图论模型。乒乓球混双图论模型的构建不仅可以较好地弥补目前乒乓球混双技战术研究的不足，还可以为教练员的技战术部署与运动员的赛前准备提供参考依据，具有一定的科学性和有效性。

3.2 通过计算节点的度，应用实例分析得出，运动员使用最频繁的技战术和对手的回击方式，并利用图论模型总结出4名选手技战术衔接的特点：伊藤美诚针对出台球的回击方式都是采用正反手拉打进行还击，针对短球大多采用反手摆短回击；刘诗雯针对台内球，更多采用正手摆短技术，在衔接中表现出了更全面的攻防能力；水谷隼对于正手摆短和劈长，惯于使用侧身拉而非反手拉的进攻方式；许昕针对正反手短摆来球惯于采用正手挑打的方式回击，针对出台球，许昕使用最多的是正手拉球的回击方式。

3.3 通过观察最后1板球的击球技术与线路，结合图论模型得出，4名选手制胜板中都是正手位拉斜线得分最多。除此之外，两位男运动员使用侧身拉的制胜概率也较高；两位女子选手在反手得分制胜板上，刘诗雯拉斜线得分较多且成功率较高，但伊藤美诚的反手生胶拉打直线得分比例较高。

4 研究建议与展望

本文首次将图论模型应用到乒乓球技战术分析中，应用实例证明该模型具有简单、直观、高效的特点。但本研究在图论模型构建上仍有不足之处，一是数据样本量相对较少，如果样本数量能更加丰富，图论分析模型将会更加全面、细致。二是本研究图论模型缺乏与乒乓球传统技战术评估方法的结合分析，未将图论模型与三段评估法结合进行更加深入的综合研究，这部分内容将进行后续深入的研究。