王亮平，邱爱慈，李 沫，张金海

(强脉冲辐射环境模拟与效应国家重点实验室，西北核技术研究所，陕西 西安 710024)

Z箍缩一般是指利用金属丝阵或喷气负载在上升时间约100 ns、幅值为数MA～数十MA脉冲电流作用下，电离形成等离子体，等离子体在洛伦兹力作用下快速向轴线聚爆并最终在中心滞止，形成高温高密度等离子体并进一步辐射出强X射线的物理过程[1-3]。Z箍缩在强脉冲辐射环境效应、高能密度物理科学、惯性约束聚变和实验室天体物理等研究中具有重要应用前景[4-7]。利用Z箍缩辐射源产生的脉冲X射线辐照材料进行动力学响应及热力学效应研究，一直是材料加固研究领域的一个重要方向[8-10]，对于增强系统的抗X射线辐射性能具有重要意义。

以国内“强光一号”加速器为例，Z箍缩负载可产生总能量约40 kJ的软X射线[11-12]，光子能量范围为0.1～2 keV，在距离Z箍缩负载中心5 cm处，软X射线的能量密度约为100 J/cm2。利用脉冲软X射线可开展壳体材料的热力学效应研究[13-15]，获得不同壳体材料冲量耦合系数，为进一步数值模拟或修正其他实验手段(电子束辐射)的辐射结果提供依据。

热力学实验所关注的一个重要X射线参数为试验材料表面的功率密度，但由于一般试验面距离X射线源较近，直接在试验面处布局探测器进行测量会对探测器造成辐射损伤，因此一般采用在距离Z箍缩X射线源足够远处测量X射线辐射能量，然后根据X射线辐射遵循4立体角均匀分布进行反推，进而获得试验面处的功率密度。但在试验面与X射线源的距离与X射线源本身尺度可比拟的情况下(如在“强光一号”开展试验时，X射线源长度为2 cm，试验面与X射线源的距离为5 cm)，试验面处是否符合远场分布有待进一步分析。此外，当Z箍缩X射线源分别等效为线光源与朗伯(Lambert)光源(余弦辐射体)时，二者辐射场分布的异同也尚未见相关报道。基于上述问题，本文拟通过对Z箍缩软X射线辐射源进行物理模型等效，理论分析Z箍缩等离子体负载作为软X射线源的辐射场分布，比较线光源及余弦辐射光源的辐射场差异，得到远近场情况下辐射场分布以及相应的远场等效条件，并在此基础上，进一步分析“强光一号”热力学试验中材料放置面处功率密度是否符合远场情况，为热力学效应实验X射线辐射参数的准确确定提供理论基础。

1 Z箍缩X射线源功率密度辐射场分析

通常情况下，Z箍缩负载在滞止时刻会形成近似圆柱形(磁流体力学不稳定性会破坏其对称性)的X射线光源，设圆柱形光源长度为L、圆柱半径为a，对于一般的Z箍缩X射线源，其典型长度L为2 cm，而滞止时刻圆柱半径a典型值为0.5～1 mm。在分析空间任一点处的功率密度时，由于光源的对称性，可选取空间点位于x-z平面内，且与原点的距离为R，与x轴的夹角为θ，如图1所示。而对于圆柱形发光源，通常可能存在两种形式，即普通线光源(由点光源叠加而成)和朗伯光源(余弦辐射光源)。

图1 Z箍缩软X射线光源视为线光源时的二维示意图Fig.1 Two-dimensional layout of Z-pinch X-ray source treated as linear source

1.1 X射线源等效为线光源

如果将X射线源看作线光源(L≫a)，且线光源由无数点光源构成，则对于空间中任一点(Rcosθ，Rsinθ)面积微元dS处(法线方向n沿x轴正方向，法线n与R的夹角为θ)，所接受的辐射功率dF为线光源上每个点光源辐射功率的叠加[16]，可表示为：

(1)

其中：P为Z箍缩X射线源辐射功率；z为线光源上任一点光源沿z轴的位置；β为点光源指向dS方向矢量与法线的夹角(图1)，且规定方向矢量逆时针转向法线矢量的夹角为正。对式(1)积分可得dS处接受的功率密度：

(2)

式中，β1和β2分别为+L/2和-L/2处点光源与微面元法线的夹角。

远场时有R≫L，式(2)中sinβ1-sinβ2≈(Lcos2θ)/R，在此条件下式(2)变为：

(3)

式中，dS·cosθ为面积微元在垂直于矢量方向的有效面积。

式(3)表明远离Z箍缩软X射线源中心处的等辐射功率密度面符合球面分布，此时可忽略Z箍缩软X射线源线性长度L的影响，而将其视作点光源。

靠近Z箍缩软X射线源处时，设Rcosθ=a，靠近Z箍缩软X射线源则有a≪L，当考察点Z坐标满足条件-L/2≤Rsinθ≤L/2时，β1≈-π/2，β2≈π/2，式(2)可写为：

(4)

式(4)意味着在靠近Z箍缩软X射线源处，等辐射功率密度面符合圆柱侧面分布。

1.2 X射线源等效为朗伯辐射体

朗伯辐射体又称为余弦辐射体[16-17]，它表示面光源上各面元的发光强度随方向变化的关系为dIθ=dI0·cosθ，其中dIθ为与面元法线成θ角方向的发光强度，dI0为法线方向的发光强度。余弦辐射体的亮度与θ有关。一般情况下，若辐射体接近黑体辐射，可将该辐射体视为余弦辐射体。

如果将Z箍缩圆柱形等离子体X射线源视为一个余弦辐射体，仍考察x-z平面内一点(Rcosθ，Rsinθ)面积微元dS处的受辐照情况，假设半径为a的Z箍缩等离子体光源圆柱面上(图2)有一发光微元dS′，其法线n′与x轴夹角为δ，发光微元dS′指向面积微元dS的矢量为r，r与发光微元法线n′的夹角为α，与面积微元法线矢量n的夹角为β，且定义由逆时针指向法线的角度方向为正，则面积微元dS所接受发光微元dS′的辐射功率可推导为：

d2F=Bcosα·dS′dS·cosβ/r2

(5)

图2 Z箍缩软X射线光源视为朗伯光源时的几何关系示意图Fig.2 Geometric layout of Z-pinch X-ray source treated as Lambert source

式中，B为发光微元的亮度，且根据图2所示几何关系可推导得：

r2=a2+R2cos2θ+

(z-Rsinθ)2-2aRcosθcosδ

(6)

cosα=(Rcosθcosδ-a)/r

cosβ=(Rcosθ-acosδ)/r

(7)

则对整个Z箍缩等离子体圆柱面积分可得：

adδdzdS

(8)

式(8)很难给出解析表达式，但在一定条件下可做近似处理，从而获得其解析表达式。

远场时，Z箍缩软X射线源的径向尺寸a远小于其长度L以及R，且Rcosθcosδ≫a，式(8)积分变为：

dδdzdS

(9)

对式(9)进一步积分，同时利用余弦辐射体亮度B与面发射度的关系πB=P/2πaL可得：

(10)

η1=arctan[(L/2-Rsinθ)/Rcosθ]

(11)

η2=arctan[(-L/2-Rsinθ)/Rcosθ]

(12)

其中，η1和η2的意义如图3所示，且以逆时针旋转至法线延长线的角度为正。

考虑远场情况，此时R≫L，可有sin2η1-sin2η2≈2cos2θ·Lcosθ/R，且η1-η2≈Lcosθ/R，可得：

(13)

式(13)与由点源近似得到的功率密度相比多一项cosθ，从而使辐射呈现明显的方向性。

图3 远场情况下式(10)中角度η1与η2的示意Fig.3 Layout of angle η1 and η2 for formula (10)

靠近软X射线源处时，Rcosθ≈a、arccos(a/Rcosθ)≈0，这意味着面元dS只接受与其法线方向平行的微元dS′的照射，由此可知等辐射功率密度面为圆柱侧面分布，表示如下：

dF/dS=P/2πaL

(14)

前文得到了式(8)在远近场条件下的近似解析公式，同时也可对式(8)进行数值计算获得数值解，从而得到空间辐射场分布。

选取Z箍缩等离子体软X射线源长度为2 cm，将软X射线源分别等效为线光源和朗伯光源，利用式(1)及式(8)进行数值计算，获得的辐射功率密度分布相对等值线如图4所示。由图4a可见，将X射线源等效为线光源时，远场等功率面呈球面分布，而近场处为圆柱面；数值计算结果与解析公式结果在计算误差范围内相吻合，以距离光源中心8 cm处为例，根据解析公式计算归一化辐射功率密度为1.24，而数值计算结果为1.25。由图4b可见，将Z箍缩X射线源等效为朗伯光源时，在远场处呈现出球面等功率密度面受角度余弦调制的分布，近场端呈现为圆柱侧面等辐射功率密度面；仍以X射线光源中心平面上距离光源中心8 cm处为例，由解析公式计算得归一化辐射功率密度为1.58，而数值计算结果为1.57，两种分析结果同样吻合较好。

2 试验面处功率密度

实验中一般将样品置于距Z箍缩软X射线源中心面5 cm处(图5，此时θ=0)，此位置处的距离与软X射线源长度(2 cm)可比拟，能否将该位置视为远场情况有待进一步研究。

图4 Z箍缩软X射线光源视为线光源(a)和朗伯面光源(b)时的空间辐射场分布的数值计算结果 Fig.4 Simulation results for Z-pinch X-ray source regarded as line source (a) and Lambert source (b)

图5 试验样品与Z箍缩X射线源位置示意Fig.5 Layout of sample for assessment experiment and Z-pinch X-ray source

若将软X射线源视为线光源，依照前文得到的辐射功率密度表达式(式(2))，可根据具体数据得sinβ1-sinβ2≈0.39≈L/R，而中心面上cosθ=1，因此5 cm处sinβ1-sinβ2≈Lcos2θ/R，这一结果与前文线光源情况下远场的简化条件相一致，从而在距源5 cm处有：

(15)

式(15)表明，对于长度为2 cm的软X射线源，距源5 cm处符合近似距离平方反比关系，大于此距离可视为远场情况。

若将软X射线源视为朗伯辐射体，根据前文可知，辐射功率密度可表达为式(10)，根据具体数据可计算得β1-β2≈0.39≈L/R,且sin2β1-sin2β2≈0.77≈2L/R，在中心面上cosθ=1，因此β1-β2≈(Lcos2θ)/R,且sin2β1-sin2β2≈2cos2θ·Lcosθ/R，这一结果与前文朗伯辐射体情况下远场的简化条件相一致，从而在距源5 cm处有：

(16)

式(16)与余弦辐射体的远场辐射功率密度公式相吻合。

通过上述分析可知，对于长度为2 cm的Z箍缩软X射线辐射体，当试验面距离中心处5 cm时，无论将Z箍缩X光源等效为哪种辐射体，5 cm处即可视为远场，近似符合距离平方反比关系。

此外，也可利用数值计算方法获得5 cm处的功率分布。分别将Z箍缩辐射源等效为线光源和朗伯光源，利用式(1)、(8)进行数值计算，获得的5 cm处功率密度分布示于图4，同时在图4a中画出半径5 cm的圆，在图4b中画出半径(5 cm)与角度余弦乘积的曲线。可看出，等效为线光源时，距源5 cm处的功率密度辐射分布符合球面分布；等效为朗伯光源时，5 cm处的功率密度辐射分布符合球面与角度余弦乘积分布，因此，当试验样品布置于距Z箍缩X射线源5 cm处时，试验面处的功率密度分布已符合远场规律，功率密度与源的距离的平方呈反比。

3 结论

1) 将X射线源等效为线光源时，远场处等辐射功率密度呈现球面分布，近场处为圆柱面分布；等效为Lambert光源时，远场处等辐射功率密度呈现出受角度余弦调制球面的分布，近场处为圆柱面等分布。

2) 对于长度为2 cm的Z箍缩软X射线辐射体，无论将Z箍缩X光源等效为哪种辐射体，当试验样品放置位置与Z箍缩光源的距离大于5 cm后，试验面处受到的辐射功率密度均可视为远场情况，符合远场功率密度随距离平方成反比下降的规律。