尚慧琳， 蒋慧敏， 秦 波

(上海应用技术大学 机械工程学院，上海 201418)

微陀螺以其尺寸小、精度高等特点，越来越受到人们的关注，在汽车导航、移动应用以及航空航天等领域被广泛应用[1-2]。在应用的过程中，发现其非线性因素的对微陀螺的灵敏度、稳定性造成极大的影响，为此，微陀螺的非线性动力学问题引起了国内外学者广泛关注[3]。张琪昌等[4]探究了双极板微谐振器振动特性与环境压力以及立方非线性静电刚度的关系，发现三次非线性静电刚度会使微机械谐振器表现出或软或硬的非线性特性。Zegadlo等[5]探究了具有线性增益和非线性吸收的两个耦合环形谐振器系统的混沌动力学行为。高嵘等[6]考虑微谐振器空气阻尼力的非线性因素，得到非线性阻尼力的平板振幅非常接近试验值，验证了非线性阻尼力的存在。Mojahedi等[7]数值模拟发现非线性参数对微机械陀螺系统吸合不稳定和偏转的影响。郝燕玲等[8]研究了多自由度微陀螺的结构参数对其性能的影响，为多自由度陀螺结构参数的选取指明了方向。Zhang等[9-10]用数值模拟研究了驱动电压和检测电压对微陀螺周期运动及其分岔的影响，并考虑了系统的吸合效应，结果表明，在适当的检测电压范围内，系统可能具有最大的机械灵敏度和最小的非线性。尚慧琳等[11]利用分岔理论和数值模拟揭示系统参数对一类切向梳齿驱动微陀螺驱动和检测模态振幅影响，结果表明，激励频率的变化容易引起微陀螺振动系统的多稳态解和概周期等复杂动力学行为。

为了保障微器件的正常工作，应对其振动跳跃、吸合不稳定和混沌等复杂动力学行为实施有效控制。对于微机电系统来说，在其微小结构上直接施加主动控制对本身结构易产生极大影响，是不太可行的。因此，大多数的控制都是在驱动电路上施加。Li等[12]通过在振动式微回转仪的矩形束流四个表面上增加压电薄膜，提高压电交流在稳定区域幅值，使振动微梁陀螺仪具有较好的灵敏度。郝淑英等[13]运用多尺度法和数值计算相结合方法对微梁几何非线性设计和调控驱动刚度非线性导致的硬化特性来平衡静电力带来的软化特性，避免了系统频率失稳和振幅跳跃现象。李伟雄[14]探究时滞速度、位移反馈控制对含刚度非线性的双驱动双检测四自由度微陀螺动态性能的控制作用。李欣业等[15]提出对敏感质量施加时滞反馈来抑制一类简谐激励两自由度微陀螺振动系统的双稳态现象多数控制方法。Luo等[16]研究了微机电系统(micro electro mechanical systems, MEMS)微谐振器的混沌力学，提出一种自适应控制方法抑制系统在主谐振频率附近混沌振荡。Zhang等[17]运用数值模拟静电驱动MEMS谐振器在随机扰动下的非线性动态和混沌行为，通过Melnikov函数分析，发现随机噪声会影响系统非线性特性，增加噪声强度会扩大系统产生混沌的区域。Li等[18]运用Lyapunov稳定性和自适应控制技术，得到了具有不确定性和扰动的分数阶混沌系统网络化同步的充分条件，通过理论分析和数值仿真提出的网络同步策略能在不影响同步性能的前提下有效地减少网络带宽负担。Masri等[19]研究一种延迟反馈速度控制器，采用非线性单自由度模型对谐振器响应进行模拟，绘制时滞反馈控制下谐振器振动系统安全域，与比较安全域侵蚀程度来直观地描述电容型微谐振器吸合不稳定现象。这些研究原具有描述微结构吸合不稳定现象，但对其发生控制机制相关研究报道极少，仍有待进一步开展。

因此，本文以一类典型的梳齿型微机械陀螺结构为研究对象，针对其非线性因素导致的振动跳跃、吸合不稳定等机理提出时滞位置反馈控制。结构如下：首先，对微陀螺系统进行无扰动分析；进而，利用多尺度研究系统振动跳跃现象及机制；最后，对微陀螺系统施加时滞位置反馈控制，研究吸合不稳定现象及其控制，并给出结论与分析。

1 动力学建模

(1)

(2)

式中：n为梳齿数；l为驱动梳齿重叠长度；a为驱动梳齿厚度；sd为驱动梳齿间隙；η为介电常数。驱动方向右侧和左侧电压分别为

Ud1=Ud0+Udacos(ωt),Ud2=Ud0-Udacos(ωt)

(3)

式中：Ud0为驱动直流电压；Uda为驱动交流电压幅值。驱动方向的静电力为[20]

(4)

式中：ω为激励频率；Ex与驱动交流电压幅值和驱动直流电压成正比，即为驱动电压相关参数。同理，检测方向两个电容表达式为

(5)

式中：ll和lw分别为检测电极的长度和宽度；ss为检测电极间隙；Us为检测电压。则检测方向的静电力可表示为

(6)

则式(6)中参数Ey随检测电压Us单调递增。在图2中，设ad和as分别为驱动方向和检测方向加速度，则其满足

(7)

(8)

式中：驱动电压相关系数EX为驱动交流电压幅值Uda的正比例函数；检测电压相关系数EY为检测电压的单调函数。则无量纲系统为

(9)

2 振动跳跃现象及机理

本章主要讨论系统的周期振动，若系统在固定参数下存在多稳态解，则即便单个周期解稳定，改变初始条件，系统仍会收敛到不同的周期吸引子，特别是初始条件的微小改变即引起系统动力学行为的定性改变，即振动跳跃。

首先，运用多尺度方法对式(9)进行分析，求解系统周期响应以及稳定性判断，得出系统最终的幅频响应分岔方程，通过调节系统参数研究幅频曲线图的特征。引入小参数变量ε对系统进行重新标度，在主共振和1∶1内共振情况，σ1和σ为驱动方向的调谐参数，0<ε≪1。具体如下

(10)

将式(9)中常数项进行平移代换，(Xc,Yc)为非零平衡点，则可设

(11)

即满足

(12)

式中，FY为高阶非线性项，且|y|≪1，将FY泰勒展开，保留Y的三次方，可得

FY=Y+2Y3

(13)

另外，将系统中检测电压相关参数EY进行重新标度，设

(14)

将式(10)～式(14)代入式(9)中，得到

(15)

在此基础上，设方程的解形式为

(16)

式中：T0=T；Ti=εTi,(i=0,1,2,…)。采用多尺度法对系统进行摄动，为使驱动和检测模态位移解不出现久期项，通过对比ε0和ε1系数，得到

X0=A1(T1,T2)eiT0+CC,Y0=B1(T1,T2)eiT0+CC

(17)

其中，

(18)

得到平均方程

(19)

将式(19)代入原系统参数还原可得到微陀螺系统关于振幅a1，b1的分岔方程

(20)

由式(18)和式(20)确定式(15)的近似周期解。根据式(19)，系统周期解所对应特征方程为

(21)

由于系统Hopf分岔的临界条件为式(21)有纯虚根，即

g1-g2(ξX+ξY)=0

(22)

其中，

(23)

以下通过分岔方程式(20)来绘制微机械陀螺幅频特性响应。其中，系统参数取值如下

G=0.01,Ad=0.4,As=0,ξX=ξY=0.015,

(24)

激励幅值对驱动方向系统振幅的影响，如图3所示。由图3可知，系统在共振点附近响应幅值较大，相对应的输出信号会比较明显，有利于检测；然而，当电压频率大于固有频率且偏高时，系统出现多个解支，对应图中两条纵向虚线之间的三条解支：明显地，有双稳态周期振动共存；特别地，激励频率从1.025增大到1.03系统的动力学行为对初始条件更敏感，如图4和图5所示。在图4中，当Ω=1.025时，存在双稳态现象，如实虚两种线型对应的振动解所示，其吸引域的投影如图5(a)和图5(b)所示。由于[X(0),X′(0),Y(0),Y′(0)]=(0,0,0,0)这个初始状态更受关注，为直观描述：当绘制检测方向吸引域时，假定驱动方向X(0)=X′(0)=0；当绘制驱动方向吸引域时，假定检测方向Y(0)=Y′(0)=0。因此，得到图5在其领域内吸引域的投影。在图5中，不同稳态运动对应的吸引域以黑色或灰色标出，系统存在两种稳态运动，其中振动幅值小的稳态吸引域对应浅灰色，振幅大的稳态吸引域对应深灰色，并以“+”标出相对零平衡点位置。由图5(a)、图5(b)可知，零状态时对应大振幅周期振动，但当Ω增大到1.03，如图5(c)和图5(d)所示，对应的是小振幅落到了浅灰区域，同时，由图5可知，零初始条件附近，初始条件的微小扰动极易造成振动跳跃。不仅如此，当Ω=1.03时，检测方向的吸引域出现分形边界，而在边界之外对应的白色区域则表示吸合区域，即检测方向极板吸合，说明系统容易发生吸合不稳定现象，其行为和机制将在第3章讨论。

3 吸合不稳定现象分析

由于吸合不稳定现象属于全局分岔行为，而对于同异宿分岔大多是运用Melnikov方法[21]分析其必要条件。因此，以下将讨论全局分岔机理。

3.1 无扰动分析

系统参数取值见式(24)，代入式(12)得Yc=0，将式(10)～式(12)代入式(9)中，得

(25)

将式(25)整理成含有扰动项的规范型，得

(26)

(27)

满足哈密顿系统，其哈密顿量函数为

(28)

在图6(a)中，只有绕O点的极限环，令

(29)

式中，Qc为常数,则

(30)

(31)

因此，有

(32)

从而解得对应边界上Qc，如图6(a)中加粗曲线所示。在该异宿轨道内部，围绕原点中心，轨线闭合有界；封闭异宿轨道外，轨线溢出，即容易发生过度振动，对应微结构静态吸合。

考虑到异宿轨道，有

(33)

φ(-∞)=0,φ(0)=φ0,φ(+∞)=π

(34)

小扰动下异宿轨道精确解析解可设为三角函数表示，根据图6，对异宿轨道可以设为

(35)

并结合式(32)得到

(36)

(37)

根据式(34)和式(36)，异宿轨道可解析表达为

(38)

且根据式(33)得

(39)

3.2 异宿分岔条件

将异宿轨道及时间T关于φ的表达式代入Melnikov函数，并还原为式(9)，得到Melnikov函数为

(40)

(41)

明显有I1>0。引起原系统异宿分岔的必要条件是Melnikov函数存在简单零点，因此，令M2=0，则可将耦合项表达为

(42)

代入M1，当M1当存在简单零点，有

(43)

还原系统参数引起异宿分岔的参数EX满足

(44)

4 时滞反馈控制机理

为抑制系统振动跳跃和吸合不稳定现象，通过在式(1)的驱动电压上施加线性时滞位置反馈控制，时滞位置反馈控制系统表达为

(45)

(46)

则时滞控制系统成为

(47)

实施该控制的前提是线性化系统仍不会因时滞项的出现发生平衡点稳定性切换。这里由于时滞项加在激励项当中，因此，并不会引起线性系统平衡点的稳定性发生切换。

数值模拟式(47)驱动方向幅频响应特性曲线，如图8所示，其中，给定增益系数Gp=0.2。在图8中，明显可见，随着时滞量的增加，从0.3～0.8，尽管系统振幅有所减小，但幅频响应特性曲线由原来的多稳态解共存变成单支连续周期解，即全局稳定，因此，振动跳跃现象可以得到有效抑制。

下面将开展对时滞反馈控制系统异宿分岔行为机制的研究，从而分析时滞位置反馈对这类复杂动力学行为的控制机理及效果。由于时滞反馈项并不带来系统稳定性定性改变，因此，将式(47)中时滞项进行二阶泰勒展开，其相应Melnikov函数为

(48)

其中，

(49)

由于本文讨论主共振情况，即Ω位于1的领域，因此，I2>0。根据式(49)，Melnikov函数存在简单零点的时滞位置反馈控制下系统驱动电压幅值满足

(50)

进而对该控制效果进行数值模拟，对无量纲控制系统式(47)，由于零时刻前无反馈信号输入，即当-τ≤T<0时有初始状态[Y(T),Y′(T)]=(0,0)，则其初始状态空间同样可投影到零时刻初始状态平面[Y(T),Y′(T)]上。不同电压下系统的安全域随时滞量和驱动电压幅值的变化，如图10所示。图10(a)～图10(c)为当τ=0时无控制微陀螺振动系统的安全域演变情况，对比可知，随着EX增大，安全域分形逐渐明显，当EX=0.02时，见图10(a)，无控制系统安全域开始出现不光滑边界。当τ从0开始增大，分别对比图10(a)、图10(d)、图10(g)和图10(b)、图10(e)、图10(h)，可见系统安全域边界变光滑，而且面积逐渐增大，安全域侵蚀得到有效抑制。而当EX=0.6，在不施加控制时，系统安全域被严重侵蚀，对比图10(c)、图10(f)、图10(i)，当增大时滞量，即便边界未变光滑，但安全域侵蚀状态也得到明显改善；原点邻域逐渐变得安全，表明时滞量的增大能抑制吸合不稳定现象。由此可见，时滞位置反馈对抑制这类微陀螺结构吸合不稳定具有良好的控制效果。

5 结 论

以一类典型的静电驱动微机械陀螺动力学模型为研究对象，首先，建立微陀螺结构的二自由度动力学模型，运用多尺度法和分岔理论，结合数值验证，分析系统参数引起的微陀螺多稳态响应；其次，通过引入独立参数，得到异宿轨道的精确表达式，在此基础上利用Melnikov方法预测微结构的异宿分岔条件，从而分析引起微结构检测方向吸合不稳定的机制，并提出在系统驱动电压上引入线性时滞位置反馈，从而抑制该现象，数值算例与理论算例解析结果的吻合证明了理论预测的有效性。主要得到以下结论：

(1) 在主共振和1∶1内共振的情况下，微陀螺系统容易出现多稳态和振幅跳跃现象。

(2) 驱动交流电压幅值增大容易引起检测方向极板吸合不稳定现象，该现象可归因于异宿分岔。

(3) 当反馈增益系数大于零时，时滞位置反馈能够有效地抑制微结构的振动跳跃和吸合不稳定现象；时滞量和反馈增益系数作为独立的两个控制参数，具有较大的参数取值范围，说明时滞位置反馈作为单通道控制方法，是控制这类静电驱动微陀螺复杂动力学行为的良好策略。

本文主要从理论上对微陀螺的振动特性进行了分析，为微机械陀螺的设计与优化控制提供参考依据。为强化理论研究的实用性，使现有理论研究更具针对性，在未来的工作中，笔者将从试验角度对相关的结论开展进一步的关联性分析。