张 亮，孙 胜，孙寿华，杨文华

（中国核动力研究设计院，四川 成都 610213）

为准确分析评估钠冷快堆（Sodium-cooled Fast Reactor，SFR）堆芯性能与系统行为，分析程序的验证与确认工作十分重要。针对SFR堆芯中子学基准题的研究与对比分析，是衡量反应堆物理计算程序与方法有效性的关键环节。在SFR 堆芯中子学分析方面，主要有3 大类方法：基于蒙特卡洛程序直接求解方法、基于确定论程序的两步法以及蒙特卡洛程序制作组件群常数/堆芯程序求解方法[1,2]。第二种方法的计算效率最高，也是堆芯燃料管理的传统方法；基于该方法开展SFR 中子学基准题的计算与分析，对于相应程序与方法的验证具有很强的现实意义。

堆芯的反应性反馈参数，与堆芯局部的材料、温度或几何尺寸的变化息息相关，是反应性堆系统行为分析与事故安全分析的基础输入参数[3]，是用于检验分析程序与方法有效性的关键参数之一。开源的确定论中子学分析程序包Dragon[4]，包含组件计算程序Dragon 和堆芯计算程序Donjon[4]；相关文献报道了其在SFR堆芯分析上应用情况[5,6]，但缺少堆芯反应性反馈参数相关的内容。

本文针对法国超凤凰堆（Superphenix，SPX）的堆芯中子学基准题[7]，基于传统的两步法和Dragon/Donjon 程序进行堆芯计算，计算得到一系列的堆芯分区反应性反馈参数，与采用蒙特卡洛程序Serpent[8]的基准题结果[9]进行对比分析，以判断该程序与方法在反应性反馈参数计算上的适用性与计算偏差，并分析不同的多群数据库与堆芯计算方法对结果的影响。

1 SPX 堆芯中子学基准题

SPX 反应堆为热功率2 990 MW 的大型钠冷快堆，主要由190 个内区燃料组件（FAI）、168 个外区燃料组件（FAO）、225 个增殖燃料组件（RB）、294 个屏蔽组件（RS）、21 个控制棒组件（CSD）、3 个备用停堆组件（DSD）、18个稀释组件（Diluent assembly，DL）、燃料组件上部和下部的增殖燃料区（UAB、LAB）以及气腔段（GC）、组件进口段、组件出口段等组成[7]。SPX 的堆芯布置如图1 所示[7]。

燃料组件采用混合氧化物燃料，增殖燃料组件采用贫化UO2，控制棒（CSD 和DSD）采用10B 富集度为90%的B4C 芯块。堆芯组件均为六边形组件，由三角形布置的棒束以及组件盒组成。各类组件的几何参数、堆芯布置及其尺寸参数，材料的成分、密度、线膨胀系数等详见基准题文献[7,9]。

SPX 中子学基准题采用Serpent 程序建立了随温度变化的堆芯精细模型，并利用JEFF 3.1.1连续能量中子截面数据库[10]开展全堆计算，堆keff计算结果的统计偏差约1 pcm[7]，文献［9］中列出了反应性反馈参数的参考解。本文也列入其它程序对此基准题的部分计算结果：

（1）基于WIMS 程序的传统两步法[11]，采用输运理论（SP3）求解堆芯，组件群常数制作基于JEFF 3.1.2 库[10]；

（2）采用PARCS/Serpent 的蒙卡 - 确定论耦合方法[12]，组件群常数制作由Serpent 基于JEFF 3.1.1 库制作，堆芯求解采用PARCS 程序[13]。

2 计算模型与方法

2.1 组件群常数制作

基于JEFF 3.1.1 库和ENDF/B 8.0 库[14]的172 群中子截面数据库，该库为Dragon 程序自带，能群结构与IAEA 发布的WLUP 库一致[15]；采用Dragon 程序建立组件的结构模型，并进行组件的均匀化群常数库制作。核素的自屏蔽计算采用概率表表征共振截面，中子通量密度求解采用碰撞概率方法，引入超级均匀化方法（SPH）进行群参数修正。组件群常数采用24群，其中 1～20 MeV、0.1～1 MeV、0.01～0.1 MeV、1～10 keV、1 keV 以下分别有约5群、5 群、4 群、5 群和5 群；该能群结构以及最大能群上限值与文献[5]基本相似；具体能群划分如表1 所示。

燃料组件计算采用全反射边界的二维单组件模型，如图2（a）所示；芯体、气隙、包壳以及棒栅距均详细建模，组件盒与盒间冷却剂则均匀打混处理。其他组件的计算采用“超栅元”模型，如图2（b）所示，待求解组件居中，其四周围绕着均匀打混的燃料组件。

对于不同温度下的结构热膨胀，包壳和组件盒的尺寸、燃料棒栅距等均考虑热膨胀而随温度而改变；相应的，材料的密度随温度而改变，从而保证材料的总质量不变。为与基准题保持一致，MOX 芯体、增殖区的UO2芯体、B4C 芯体均只考虑一维轴向膨胀。包壳、组件盒、其他打混组件均按照相应材料的线膨胀系数进行均匀的三维膨胀，由冷却剂填充改变尺寸后的组件盒间间隙与棒间空间；上述材料及冷却剂的密度均随温度相应改变。

2.2 三维堆芯计算模型与求解方法

利用Dragon 程序包中的Donjon 堆芯计算程序建立SPX 的三维堆芯计算模型；模型中的组件布置与基准题完全一致（见图1）；堆芯轴向上则共分为36 段，其中燃料芯体区均分为10 段，模型的纵向结构示意图如图3 所示。堆芯的径向膨胀为组件栅距的均匀改变，改变后的组件栅距由堆芯入口冷却剂温度计算的下栅格板均匀径向膨胀得到。对于堆芯结构的轴向膨胀，除燃料段（FA）、轴向增殖区（AB）和径向增殖组件（RB）外，其余结构均由组件盒材料的热膨胀决定。由于Donjon 程序只支持均匀划分的网格，因此内区与外区的燃料段高度须保持一致，无法独立设置不同温度下的高度；FA 和AB 的轴向膨胀后长度可单独制定，而RB以及RS/DL 的高度则等于FA 与AB 的高度之和。对于非均匀温度分布的堆芯算例，此种设置由于保证了FA 与AB 质量与实际情况相同；RB、RS/DL 轴向高度与实际的细微差别对中子有效增殖系数keff的影响很小。

在堆芯中子通量密度的空间求解方法上，Donjon 可以调用扩散理论方法和不同阶数的简化球谐函数方法，并可对六边形的组件节块进一步进行网格剖分[16]。本文采用了两种方法：基于扩散理论的网格中心有限差分法（MCFD）以及基于输运理论的3 阶简化球谐函数方法（SP3）[17]；前者将六边形节块均匀细分为6 个三角形，后者则均分为3 个菱形网格。

2.3 反应性反馈参数的定义与计算方法

选取的基准算例为：堆芯几何参数为673 K时的值、材料截面温度为600 K、停堆组件DSD全提、控制棒组件CSD 自上而下插入易裂变燃料区全高度的40%（标识为CR40）。反应性参数的定义与计算方法如表2 所示。

表2 反应性反馈参数的定义与计算方法Table 2 The definition and calculation method of reactivity feedback parameters

3 计算结果与讨论

3.1 堆芯径向膨胀反应性系数

堆芯入口冷却剂温度从 673 K 升温至923 K，导致堆芯下栅格板径向膨胀，使得堆芯组件栅距增大1%；仅改变组件栅距，堆芯活性区的材料温度与密度保持不变，相应的堆芯径向膨胀反应性系数的计算结果如表3 所示。

表3 SPX 堆的堆芯径向膨胀反应性系数Table 3 Reactivity coefficients of reactor radial expansion /(pcm/K)

为便于比较，所有结果均基于与基准题相同的中子核反应数据库。由表3 可知，采用SP3算法的 Dragon/Donjon 结果与基准题的偏差为 - 0.9%，优于PARCS/Serpent 的 - 7.5%；而基于扩散理论 MCFD 算法的结果偏差较大（ - 18%）。由于SP3 方法考虑了中子注量率和散射项的角分布，可更准确的反映空间非均匀效应受几何扰动的影响。

3.2 燃料多普勒系数

燃料或增殖燃料芯体从 600 K 升温至1 500 K，但保持其密度与尺寸不变，得到的分区燃料多普勒系数与计算偏差如表4 所示。

表4 SPX 堆芯燃料多普勒效应的分区计算结果Table 4 The fuel Doppler constant for different core zones in SPX pcm

由表4 可知，对于内/外区燃料、全部的燃 料/增殖区，两种库、两种算法的4 组Dragon/Donjon 结果均与基准题结果吻合较好；内/外燃料区域的最大偏差小于3.5%，全部的燃料/增殖燃料区最大偏差仅 1.1%，略优于 PARCS/Serpent，也与BN-600 基准题中应用两步法[19]的偏差（1.5%）相当。对于AB 和RB，增殖燃料的多普勒系数远小于FA 的值，且计算偏差显著增加；MCFD 的计算偏差显著大于SP3，而同种算法下不同库的结果差异很小。两种算法在增殖区的计算偏差差异，是因为扩散方法中各向同性假设在此处的局限性，而SP3 的高阶角度处理则能更好的结果。

3.3 钠密度反应性系数与钠空泡效应

对于钠密度反应性系数，考虑钠从673 K升温至1 073 K 的密度变化，而钠空泡效应则考虑钠由673 K 至完全气化的密度变化时的影响；两者的分区计算结果与偏差分别如图3 和图4所示。为与基准题保持一致，上述结果均只考虑组件盒内区域钠密度的变化。

由图4 和图5 可知，Dragon/Donjon 基于两种库的计算结果基本无差异，但是SP3 的计算偏差全面小于MCFD；特别是钠密度反应性系数/空泡效应较小的FAO 算例（2 和4）。具体的计算偏差如下：对于FAI 区域，两种库SP3 的计算偏差为6%～8%（钠密度），13%～16%（钠空泡）。FAO 区域的反应性系数的仅约为FAI的6%～11%，这是因为FAO 的中子通量密度与伴随中子通量密度均小于FAI[20]。关于钠空泡效应，SP3 算法的计算偏差较大，但仍小于WIMS/SP3 和PARCS/Serpent 的结果[9]。

3.4 燃料轴向膨胀反应性系数

MOX 和 UO2芯体温度从 673 K 升至1 557 K，即轴向膨胀伸长1%；燃料芯体/增殖燃料芯体区域的长度相应增加、密度相应变化以保证质量守恒，但保持材料截面温度不变。此算例与对应基准算例的控制棒均全提；得到的燃料轴向膨胀系数与计算偏差如图6 所示。由图可知，两种库的计算结果基本无差异；SP3的计算偏差为 - 15%；MCFD 的计算偏差较大，为 - 27%。两者的偏差均小于 WIMS/SP3 和PARCS/Serpent[9]。

3.5 包壳与组件盒膨胀反应性系数

对于裂变燃料段包壳与组件盒热膨胀的影响，考虑材料从673 K 升温至1 163 K 导致的尺寸与密度变化，相应的冷却剂体积份额随之调整。此处只列出MCFD 算法的结果。算例1 和2 分别为FAI、FAO，且不考虑材料截面温度效应（即材料的截面温度仍为600 K），算例3 和4为相应区域考虑该效应的算例。包壳或组件盒膨胀反应性系数的计算结果与偏差分别如图7和图8 所示。

由图7 和图8 可知，基准解（Serpent/J311）和Dragon/Donjon/E80 的结果考虑了材料截面温度效应，比不考虑该效应（即只有材料密度变化）的结果（正值）大为缩小。这是因为SFR中包壳或组件盒材料密度减小引入正反应性，而材料的截面温度效应与燃料的多普勒效应类似，为负反应性效应。对于组件盒或FAO 区域包壳，这两种效应几乎相当，体现为图6 中算例4 和图7 中算例3 和4 的反应性系数几乎为0。如图7 中算例1 和3 所示，考虑材料截面温度效应后FAI 区域包壳的膨胀反应性系数，比不考虑时的结果减小了约一半。因此，计算SFR中包壳和组件盒的膨胀反应性系数时，必须有效考虑材料截面温度效应的影响。

比较算例1 和3 或者算例2 和4 的结果可知，基于ENDF/B 8.0 库的多群中子数据库可以准确反映材料截面温度效应，而基于JEFF 3.1.1 库的多群库的结果则无法反映该效应。经分析发现，应用 Dragon 程序包自带的基于JEFF 3.1.1 库的多群数据库时，组件程序对不锈钢材料主要核素（56Fe、52Cr）调用自屏蔽计算时出错，而使用ENDF/B 8.0 的多群库则无上述现象。

3.6 各项反应性反馈参数的计算结果

基于Dragon/Donjon 程序得到SPX 堆的各项反应性反馈系数总结于表5。结合图7、图8和表5 可知，组件盒膨胀反应性系数极小，可以忽略；FAO 区域的包壳膨胀反应性系数极小，可以忽略。对于不涉及结构材料截面温度效应的反应性系数（堆芯径向膨胀、燃料多普勒效应、钠密度或钠空泡、燃料轴向膨胀产生的反应性反馈），同种算法下应用基于JEFF 3.1.1 库和ENDF/B 8.0 库的多群中子数据库的结果差异很小。

表5 基于Dragon 程序的SPX 堆反应性反馈参数计算结果Table 5 Results of reactivity feedback coefficients in SPX with Dragon code

续表

4 结论

针对SPX 中子学基准题，基于传统的两步法和Dragon/Donjon 程序进行全堆计算，得到了一系列反应性反馈参数。相关结论如下：

（1） 与基准题结果相比，Dragon/Donjon程序得到的堆芯径向膨胀反应性系数、燃料多普勒效应、钠密度反应性系数、钠空泡效应、燃料轴向膨胀反应性系数以及包壳膨胀反应性系数的计算偏差分别为0.1%～0.9%（SP3）、小于1%（SP3 和MCFD）、6%～10%（SP3）、17%～21%（SP3）、约 - 15%（SP3）和约 - 22%

（MCFD）。

（2） Dragon/Donjon 程序与基准题结果的计算偏差，与基准题中类似程序与方法的计算偏差相当；Dragon/Donjon 程序可用于SFR 堆芯的反应性反馈参数计算。

（3） 与扩算理论的MCFD 算法相比，基于输运理论的SP3 算法可以更精确的捕捉到堆芯局部状态变化产生的影响，对于堆芯径向均匀膨胀、分区钠密度变化或钠空泡效应、燃料轴向膨胀产生的反应性反馈系数的计算偏差更小。

（4） 对于不涉及结构材料截面温度效应的反应性系数，同种算法下应用基于JEFF 3.1.1库和ENDF/B 8.0 库的多群中子数据库的结果差异很小。

致谢

本论文的工作得到国家留学基金委（CSC）的资助。