王军

数学概念是一种数学文化，数学概念教学是数学教学的重要环节。站在数学文化发展史的高度进行数学概念教学，可以让学生经历数学概念的形成过程，深刻理解数学概念的本质。下面，笔者以苏教版五上《用字母表示数》一课的教学为例，谈谈怎样站在数学文化发展史的高度开展数学概念教学。

一、让学生经历概念还原过程与主要历史步骤

在小学数学概念教学中，应将概念还原到它的最初状态、本质状态，让学生亲历发现概念的过程，深刻感知概念的内涵和外延。

1.用符号表示特定未知数，激活已有经验

综观苏教版教材，我们不难发现，低年级的数学符号、括号、图形等，中年级的运算律、计算公式等，都是用符号、字母表示特定未知数，这与本课的用字母表示数有着本质的不同，但也是缩略代数到符号代数的重要过程，教师可以将其作为本课的导入素材。这样做，既符合历史发展过程，也符合学生的认知特点，还能激发学生的已有认知经验。

2.给足学生探究空间，经历字母表征过程

教材例1是这样静态呈现的：如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是（ ）×（ ）。有些学生直接把字母a想成某一个数，把字母当成“未知特定数”的替代物，这对用字母表示数的意义的理解是处于低水平的。教师教学时可以设计如图1所示的探究活动，并在交流时有意识地让学生有序呈现从数字、文字、符号到字母的过程，引导他们感受概念的形成过程。

（图1）

3.合理选择历史阶段，介绍数学历史文化

本课教学中通常要介绍用字母表示数的发展史，如果只介绍法国数学家韦达的贡献，学生感受不深，如果逐一介绍，时间不允许。笔者认为，教师可以介绍用字母表示数发展的三个关键阶段（如下页图2），让学生充分感受数学家的伟大与数学的魅力。

（图2）

二、根据数学历史发生的主要困难干预学生学习中的困难

用字母表示数的发生和发展过程是一个漫长的历史发展过程，数学家们并不是一帆风顺的，也会遇到弯路、困难、障碍甚至挫折。作为一个群体，学生学习时也会重蹈历史上数学家们曾经遭遇的那些困难。教师教学时要注意设计合理的教学活动，来干预甚至降低学生的学习困难。

1.增加用字母表示未知量的表征活动

学生的学习障碍之一是不习惯用字母表示变化的数。从“记数”到“未知量”的变化其实就是从具体、确定的数到未知、不确定的数，这是用字母表示数的本质属性。用字母表示一个固定或特定的未知数，学生是能接受的，可用字母表示许多个变化的数，这种抽象概括的符号与学生已经习惯的具体形象思维不符。因此，教师应注意为学生提供表征的机会，而不是让他们被动地接受用a去表示。教师可以设计如下关键性探究活动：你能想到用哪些乘法算式来表示小棒的根数？个别学生有困难时可以追问：你能想到用一个算式来表示吗？然后再追问：这里的a可以表示哪些数？让学生进一步讨论明确，这里的a表示的是一类数，是变化的数。

2.增加对比思辨活动

（1）理解用字母表示一般未知数。教学例1，让学生用字母表示数后，学生对用字母表示数的意义的理解仍然处在不同的水平，有的把字母a想成某一个数，把字母当成“未知”的替代物；有的认为a可以表示任意数，具有广泛性，把字母提升到了一般数的层次。因此，教学完用字母表示数后，教师可以让学生用字母来代替和修改原来的数学符号，然后对比思辨：用字母和用数学符号表示，你觉得它们有什么不同？促进学生对用字母表示数的意义的认识从低水平向高水平转变，深刻理解用字母表示变量的意义，进一步体会用字母表示数的优越性。

（2）思辨用字母表示数的二重性。学生的学习障碍之二是不习惯用过程表示结果。用字母表示数既表示结果又表示数量关系（过程），这就是数学概念的二重性，之所以难理解，不仅是因为它本身具有抽象性，还在于对它的建构要抵制已有知识经验的强烈负迁移。教师教学时，首先可以让学生通过模仿例1用式子表示结果，然后对例2（对教材中的例题进行了改编）进行第二次思辨：对比三道算式（如图3），它们的共同点在哪里？通过讨论，学生明白了，首先都是用式子来表示剩下的米数，剩下的米数就是一个结果，从而体会用含有字母的式子表示结果；其次，三个算式都是表示“总路程-已经走的路程=剩下的路程”这个数量关系，再次体会用字母同样可以表示数量关系。学生的学习障碍之三，就是不习惯用含有字母的式子表示数量关系。通过对比和思辨，有助于学生体会用字母表示数量关系的实际意义，这也是对学生思维的一次拓展。

（图3）

（3）综合思辨用字母表示数。对用字母表示变化的未知数和数学概念的二重性进行一次思辨是不够的，还需要综合开展再次思辨，在教学完例1和例2之后，教师可以引导学生思考：都是用字母表示数，比较一下，它们用字母表示数时有什么相同之处？让学生充分展开综合性思辨，认识到这里都是用字母表示变化的数，含有字母的式子既可以表示一个结果，也可以表示数量关系，进而从具体到抽象地建立概念的表象，真正理解用字母表示数的本质。

三、从数学概念发展的历史价值来掌握教学要点

真正实现用字母表示数的历史性突破的，是韦达用字母表示未知的一类数，这意味着“用字母表示数”具有高度的概括性（抽象性）与简洁性。因此，从用字母表示数的历史价值来看，本课有两个抓手：一是字母的含义（既表示关系又表示结果）；二是字母的概括性与简洁性。如何让学生感悟用字母表示数的数学价值呢？教师可以设计以下教学环节来实现。其一，教学例1让学生用自己喜欢的方式表征后，教师有意识地呈现数字、文字、符号、字母，并追问：还有哪些同学也是用字母表示的？有这么多方法，为什么大部分同学都选择用字母来表示呢？充分体会用字母表示数的概括性与简洁性。其二，在教学例3后，课件呈现数学表达规律、长方形与正方形周长和面积公式的文字表达及字母表达式，并追问：这些数学公式、数学定律在表达时都有一个什么共同的特点？为什么？让学生感知用字母来表示数量关系、运算定律以及计算公式更加简洁、概括，进一步体会用字母表示数的价值。

总之，教师在教学数学概念时要注意研读数学文化发展史，讲清楚概念的起源和发展过程，让学生感悟数学的美妙，真正领悟数学概念的内涵。