王 锋

(江西省九江市柴桑区第一中学)

2021年9月14日,江西省颁布《江西省深化普通高考综合改革实施方案》,明确了我省从2021年秋季入学的高一年级学生开始,高考实行“3＋1＋2”模式,即语文、数学、外语3科不分文理使用全国卷,而选择性科目由学生自主选择,先在物理和历史中选择1科,再从政治、地理、化学、生物中选择2科.相比于传统的文理分科模式,新模式给了学生更多的选择空间,让更多有部分专业特长的学生得到了更好的发展.考虑到学生的生涯规划、思维习惯以及学科素养的差异,这些新组合下的班级教学将面临全新的挑战.本文站在数学课堂教学的角度,探索数学与物理、地理、历史、政治学科知识之间如何进行有效融合,从而实现学生综合素养的进一步提升.

1 数学课堂中融入物理知识的课堂优化案例

作为理科学科的“代表”——物理,其理科特征非常明显,该学科与数学的联系极为紧密.数学是研究物理的基础和工具,一般来说,要想学好物理,数学基础非常重要,历史上不少的物理学家都是非常出色的数学家.高中数学北师大2019年版新教材《必修第一册》第214页习题7-4A 组第6题涉及物理中电路的串联和并联问题,第231页的实例分析是物理中的运动学问题;《必修第二册》第27页和第66页习题1-8A组第2题涉及物理中的简谐运动问题,第74-107页的平面向量也是通过物理中的位移、速度、力、功的概念来引入的;《选择性必修第一册》第84页介绍圆锥曲线的光学性质,很好地将物理与数学知识融合在一起.

在北师大2019年版新教材《必修第一册》第229页实例分析中,以“驾驶摩托车飞跃黄河问题研究”为选题进行分析研究.这是物理中典型的运动学问题,其模型为“斜抛运动”.设摩托车的起点与落点的高度差为d,水平飞行距离为s,安全落差为r,沿跑道飞出时的仰角为θ,飞离跑道时的速度为v,将运动过程分解到水平和竖直两个方向,则

通过数学建模,将一个实际问题进行量化分析,对生活现象进行推测和论证,站在科学的角度完美地诠释了数学和物理的结合是多么神奇.在高中数学课堂中融入物理知识,不仅仅从知识层面相互辅助、相互依托,更是从思维层面相互促进、成就彼此.

2 数学课堂中融入地理知识的课堂优化案例

地理是一门兼有自然科学和人文社会科学性质的综合性学科.数学是一切自然科学的基础,这决定了地理和数学之间必定有着密切的关系.数学中的数形结合思想、函数与方程思想都广泛地应用于地理教学之中,在北师大2019年版新教材中有些涉及地理方面的例题和练习,教师在讲解时不妨将知识展开,介绍一下相关的地理知识,拓展一下学生的视野,这有利于学生综合素养的整体提升.

如教材《必修第一册》第74页的“问题提出”中,谈到了薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它所到之处,树木枯萎、花草凋零.这里可以将其地理分布进行讲解、说明.薇甘菊主要分布于印度、孟加拉国、斯里兰卡、泰国、菲律宾、马来西亚、印度尼西亚、巴布亚新几内亚和太平洋诸岛屿、毛里求斯、澳大利亚、中南美洲各国、美国南部,中国广东、香港、澳门和广西.薇甘菊的适合生活环境是年平均气温＞1 ℃,平均风速＞2m·s-1,有霜日数＜5d,日最低气温≤5 ℃的日数在10d以内,寒潮较轻、寒露风较轻的地区.因此,在北纬24°以南地区均可能生存,如我国海南、香港、广东、广西、台湾、福建、湖南、四川、云南、贵州等地的部分地区.

教材《必修第一册》第178页的复习题六A 组第3题:表1给出了2016年太原市和呼和浩特市的月降水量(单位:mm).

表1

(1)请用适当的统计图表示上面的数据;

(2)分别计算太原市和呼和浩特市2016年月降水量的平均数和标准差.

在此问题中,通常选择条形统计图或折线统计图展示数据,这在地理教材中经常出现,而且这样可以通过对太原市和呼和浩特市2016年月降水量的数据分析,让学生进一步了解两地的环境特征.

太原市的气候特点是冬季干冷漫长,夏季湿热多雨,春季升温急剧,秋季降温迅速,春秋两季短暂多风,干湿季节分明.太原市由于其地形复杂多样,海拔高度差异较大,海洋性气候对境内的影响,形成了北温带大陆性气候.冬无严寒、夏无酷暑、四季分明、日照充足,昼夜温差较大,夏秋降雨集中,冬春干旱多风.太原市的春季气温回升快,光照充足,降水少,蒸发大,大风日数较多,占全年的40%～60%;夏季气温高、湿度大,降水集中,7月和8月是一年中降水最集中的两个月,这两个月的降水占全年降水的60%左右;秋季气温下降快,多晴朗天气;冬季寒冷干燥、晴朗大风天气较多,1月是全年的最冷月,降水也很少,仅占全年总降水量的3%左右.当然数据中2016年7月份的降水量异常突出,据统计,这是太原市的历史最大月降水量.

呼和浩特市属半干湿的中温带季风气候,具有降水量少而不均、寒暑变化剧烈的显著特点.冬季漫长而寒冷,其中1月最冷,昼夜温差极大,夜里比白天温度要低20 ℃,所以即使夏季去呼和浩特市也要带长袖衣服.因为冬春季降水较少,夏季降水较集中,月降水量从1月～7月逐渐增加,7月以后逐渐减少,所以经常发生春旱的灾害.

《必修第二册》第一章引言部分,在介绍周期现象时,谈及“地球围绕太阳转动引起的四季交替,地球自转引起的昼夜循环”这些现象;第117 页的例12 和124页的习题2-6,B组第3,4题都涉及地理中的方位问题.《选择性必修第一册》第54页的例6,介绍了人造卫星绕地球转动的椭圆轨道的焦点与近地点、远地点与地心共线.《选择性必修第二册》第一章引言部分,通过对天王星的发现历程展示了数学在天文学中的应用.这些地理现象在数学教材中的频繁出现,是新教材对培养学生综合素养及能力的充分体现.

3 数学课堂中融入历史知识的课堂优化案例

《普通高中数学课程标准(实验版)》中指出:“数学是人类文化的重要组成部分,数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势、数学对推动社会发展的作用、数学的社会需求、社会发展对数学发展的推动作用、数学科学的思维体系、数学的美学价值、数学家的创新精神,高中数学课程提倡体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求,设立‘数学史选讲’等专题.”数学史对激发学生的学习兴趣,培养学生的品格和理性思维,熏陶学生的文化素养起着至关重要的作用.高中数学北师大2019年版新教材有大量的阅读材料用来介绍古今数学家们的治学经历和数学知识的发展历史.如《必修第一册》第57页的阅读材料函数概念的起源、第99页对数的起源、第149页选举的预测、第210 页布丰投针问题;《必修第二册》第79页向量的发展历史与符号由来、第183页数系的扩充、第248页几何学的发展;《选择性必修第一册》第39页笛卡尔与解析几何、第173页杨辉三角.这些阅读材料从历史的重要事件或是数学的发展史展示了数学发展的辉煌历程.

从数学发展脉络来看,大体上可以分为3 个时期:

古代数学——希腊的论证数学与中国的实用数学的起源发展;

近代数学——微积分的发现、应用、严密化;

现代数学——对数学的基础的思考.

从具体的数学体系主要发展时期来看,可以细分如下.

(公元前3500—前500)数学起源与早期发展:古埃及数学、美索不达米亚(古巴比伦)数学;

(公元前600—5世纪)古希腊数学:论证数学的发端、欧式几何;

(3世纪—14 世纪)中世纪的中国数学、印度数学、阿拉伯数学:实用数学的辉煌;

(12世纪—17世纪)近代数学的兴起:代数学的发展、解析几何的诞生;

(14世纪-18世纪)微积分的建立:牛顿与莱布尼茨的微积分建立;

(18世纪—19世纪)分析时代:微积分的各领域应用;

(19世纪)代数的新生:抽象代数产生(近世代数);几何学的变革:非欧几何;分析的严密化:微积分基础的严密化;

20世纪纯粹数学的趋势;

21世纪应用数学.

例1 (《教材必修第一册》第112页例8)人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中,常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律:C(t)＝C0e-rt,其中t表示衰减的时间,C0表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量.

为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5730年.人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比.

1950年,在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭,当时测定,其14C的衰减速度为4.09个/(g·min),而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉谟拉比王朝所在年代.

所以该木炭已衰减了约4055年,即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年.

汉谟拉比是阿摩利人建立的古巴比伦王国的第六任君主,在一系列战争中击败邻国将巴比伦的统治区域扩展至整个美索不达米亚区域,从而开创强盛的巴比伦帝国.学生通过对例1的研究,很好地回顾了这段意义重大的历史,同时也感受到数学在研究历史问题中所起到的重要作用.

4 数学课堂中融入政治知识的课堂优化案例

经济思想贯穿于整个高中的政治课程,而具体的经济问题又往往需要借助数学方法来解决,因此数学课堂上也会涉及政治中的经济问题.在教材《选择性必修第二册》第一章第4节部分,专门介绍数列在日常经济生活中的应用,包括存款、贷款、分期付款、保险、资产折扣等问题,其中重点介绍了单利和复利的计算方法,零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型.例如,价格变动对生活的影响,当某种商品的价格上升时,人们会减少购买;当价格下降时,人们又会增加对它的购买.

例2 (《必修第一册》38页例5)某农家院有客房20间,日常每间客房日租金为80元,每天都客满.该农家院欲提高档次,并提高租金.经市场调研,每间客房日租金每增加10元,客房出租数会减少1间,每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1800元,该农家院每间客房日租金提高的空间有多大?

解 设每间客房日租金提高x个10元,即每间客房日租金提高到(80＋10x)元,则客房出租数减少x(x∈N)间,此时客房的租金总收入为(80＋10x)·(20-x)元.

因为每天客房的租金总收入不低于1800元,所以(80＋10x)(20-x)≥1800,化简得x2-12x＋20≤0,解得2≤x≤10.

由题意可知,每间客房日租金不得超过130 元,即80＋10x≤130,所以x≤5.因此,x＝2,3,4,5,该农家院每间客房日租金提高的空间是20 元,30 元,40元,50元.

对于例题中的“每间客房日租金每增加10元,客房出租数就会减少1间”的现象,我们可以结合政治知识解释该现象产生的原因,以及该现象对生活带来的影响,既锻炼了学生应用数学知识解决实际问题的能力,又巩固和熟悉了政治课程中的经济现象.

除了经济问题外,人口问题也是政治学中的重要内容.在高中数学北师大版《必修第一册》第六章第1节获取数据的途径中,课本引用了第六次人口普查的数据.

性别构成:男性人口为686852572 人,占51.27%;女性人口为652872280人,占48.73%.粗算一下,我国男性比女性多3400万.

人口增长:同第五次全国人口普查的1265825048人相比,十年共增加7389904人,增长率为5.84%,年平均增长率为0.57%.

年龄构成:0～14岁人口占16.60%,比第五次全国人口普查下降6.29个百分点;60岁及以上人口占13.26%,比第五次全国人口普查上升2.93 个百分点,其中65岁及以上人口占8.87%,比第五次全国人口普查上升1.91个百分点.

人口的流动:与第五次全国人口普查相比,居住地与户口登记地所在的乡镇街道不一致且离开户口登记地半年以上的人口增加116995327人,增长81.03%.

各种受教育程度人口:与第五次全国人口普查相比,每10万人中具有大学文化程度的由3611人上升为8930人;具有高中文化程度的由11146人上升为14032人;具有初中文化程度的由33961人上升为38788人;具有小学文化程度的由35701人下降为26779人.

登记误差:普查登记结束后,全国统一随机抽取402个普查小区进行了事后质量抽样调查,抽查结果显示,人口漏登率为0.12%.

在本节数学课上,我们应该引导学生分析这些数据信息,并针对学生可能相对较浅薄或者错误的理解加以解释和补充,让学生能够科学正确地认识数据背后蕴含的社会价值和政治意义.

从人口增长数据可以看出我国总人口仍然保持增长状态,但增长率并不高.近年,日本、意大利、韩国等国家都出现了人口负增长的情况,而且问题持续恶化.在2006年,英国牛津大学人口学教授大卫·科尔曼就对韩国人口问题作出预警,称韩国或将成为全球首个消失的国家.从性别构成数据可以看出我国依然是男多女少,但总人口性别比从2000年第五次人口普查的106.74下降为105.20,说明人们重男轻女的传统思想在逐渐改变,随着社会的发展,总人口性别比定会逐渐下降.从年龄结构数据可以看出我国出生率低,老龄化进程逐步加快,我国正在迈入老龄化社会,国家需要健全养老和医疗健康体系等.从人口流动数据可看出我国人户分离情况普遍,流动人口大量增加,农村劳动力加速转移及经济发展都会促进人口流动.从各种受教育程度人口数据来看,我国受教育的人口越来越多,说明我国普及九年义务教育、大力发展高等教育措施取得了积极成效.至于漏登率的问题,漏登的原因有很多,如人口流动大,上门登记时不在家,无法获取其信息;居民的隐私意识增加,入户调查更难,甚至有些人不配合调查;普查时间长,期间很多新出生或者死亡人数未做登记等.尽管人口普查工作费时、费力,但我们却不得不做.通过人口普查,能够了解我国人口在数量、地区分布、结构和受教育程度等方面的变化,为科学制定国民经济和社会发展规划、统筹安排人民的物质和文化生活、实现可持续发展战略、构建社会主义和谐社会,提供科学准确的统计信息支持,如二孩政策到三孩政策的放开,养老和医疗健康体系的健全,以及“双减”政策的全面实施等.

在江西省实施新高考模式的背景下,不同学科间的组合面临着全新的挑战,作为无论何种组合都必考的数学学科,有着串联和推动作用.本文针对选择历史、政治、地理或物理、政治、地理科目的情况,进行举例说明,浅谈数学课堂中的多学科融合教学,有不足之处,请批评指正.