李春花， 韩文颖， 安美儒

(辽宁师范大学 物理与电子技术学院，辽宁 大连 116029)

1 Χ(3915)的实验测量

表1 Belle和BABAR实验测量的X(3915)的质量和宽度最后一行是本工作的拟合结果Table 1 Mass and width of X(3915) measured by Belle and BABAR experiments The last row lists the fitting result of this work

2 利用MINUIT对共振参数进行χ2拟合

2.1 拟合函数的构造

本文对Belle实验中测量的γγ→ωJ/ψ以及BABAR实验中测量的γγ→ωJ/ψ、B0→Κ0ωJ/ψ和B+→Κ+ωJ/ψ过程中的ωJ/ψ的不变质量分布进行联合χ2拟合以获得更高精度的X(3915)的质量和宽度.这4个测量的ωJ/ψ的不变质量分布Μ(ωJ/ψ).如图1所示，其中,(a),(b),(c),(d)分别对应4个测量结果.从图中可以看到显著的X(3915)的信号.另外,BABAR实验在B介子衰变过程研究中重建ω→π+π-π0时对π+π-π0的不变质量阈值要求更低，因此同时也观测到了质量比Χ(3915)质量稍低一些的Χ(3872)的信号，图1中(c)和(d) 图可以看到显著的Χ(3872)的信号.

图1 拟合M(ω J/ψ)的不变质量分布带误差棒的黑点是数据，(a)显示的是Belle实验γγ→ωJ/ψ过程的测量结果, (b)是BABAR实验同一过程的测量结果. (c)和(d)均来自于BABAR实验，(c)是B0→Κ0ωJ/ψ过程，(d)是B+→Κ+ωJ/ψ过程.实线是拟合结果，虚线/点线表示X(3872)/X(3915)信号，破折线代表本底分布Fig.1 Fit to the invariant mass distributions M(ω J/ψ) The black dots with error bars are data, (a) is for the process γγ→ωJ/ψ by Belle, and (b) is by Babar. The plots (c) and (d) are by BABAR from B0→Κ0ωJ/ψ and B+→Κ+ωJ/ψ, respectively.The solid curves are the fitting results, the dotted/dotted-dotted curves indicate the X(3872)/X(3915) signals, and the dashed curves show the backgrounds

拟合中描述数据分布的概率密度函数主要包括信号X(3915)和本底两部分， 另外,BABAR测量分布中加入了X(3872)的贡献. X(3915)的信号形状由S波Breit-Wigner 函数 (ΒW) 表示：

(1)

其中,M和Γ分别代表X(3915)的质量和宽度.p*是ωJ/ψ系统质心系中J/ψ的动量，当m=M时p0=p*[18].X(3872)的信号形状用一个简单的BW函数描述，其质量和宽度分别固定在3 871.69 MeV/c2和1.2 MeV.X(3915)的质量M和宽度Γ为拟合中自由浮动参数.

另外,Belle和BABAR实验文章中均提供了相应的探测器分辨信息，假设探测器分辨服从高斯分布，通过将信号BW函数卷积高斯函数的方法将相应的探测器分辨在拟合中考虑进来. Belle中γγ→ωJ/ψ的探测器分辨率用双高斯函数描述，其中一个高斯函数的分辨和期望值分别为4.5 MeV和0 MeV，系数为0.59；另一个的分辨和期望值分别为16 MeV和-4.0 MeV，系数为0.41[7].BABAR中γγ→ωJ/ψ过程的分辨率用单高斯函数来描述，分辨和期望值分别为6.7 MeV和0 MeV.BABAR中B→ΚωJ/ψ过程的分辨率用单高斯函数描述，分辨和期望值分别为5.7 MeV和0 MeV.本底主要来自非共振过程，其中,γγ→ωJ/ψ过程(a)和(b)的非共振本底形状由函数p*(m)exp(-δp(m))描述， 这里δ是在拟合中可以浮动的参数，m=m(ωJ/ψ)[8]是ωJ/ψ的不变质量.测量(c)和(d)的本底形状用高斯函数描述，并且其参数可以在拟合中浮动[11].

2.2 χ2的定义

由于实验观测到的事例数有限，不同于原实验文章中的处理，对ωJ/ψ的不变质量区间进行重新划分，分成宽度不同的bin以确保在计算χ2时每个bin的事例数统计量足够大以获得更可靠的拟合结果.假设各个实验测量和同一测量的各个bin之间时相互独立的，将χ2的定义为

(2)

其中，i取值为1～4，分别对应前面的(a), (b), (c), (d)4个实验测量，xij和σij是每个bin中观测到的信号和相应的误差.这里的误差为统计误差，通过假设每个bin里的事例数服从泊松分布得到.μij是每个bin中期望值, 通过对(1)中描述的拟合函数在相应的bin范围内进行积分得到.Ni是4个实验测量中对应的bin的数量. 对于实验测量(a)和(b)，M(ωJ/ψ)质量区间在3.85～3.95 GeV的范围内分的bin宽为10 MeV，和实验文章中的分bin情况相同[7-8]，但如图(a)和(b)所示，在M(ωJ/ψ)质量区间3.95～4.3 GeV/c2中每个bin中观察到的事例数很少，为了确保每个bin都有足够的统计量，对此区间进行重新分bin，每个bin宽重置为50 MeV.这样实验测量(a)和(b)中bin的总数分别为N1=19，N2=15.对于实验测量(c)和(d)，也做类似的处理，在质量区间3.842 5～3.992 5 GeV/c2中bin宽为10 MeV/c2，高于3.992 5 GeV/c2的区间bin宽为50 GeV/c2，这样实验测量(c)和(d)的bin的总数N3和N4均为31.

对4个实验测量中的每个bin计算的χ2求和得到总的χ2值，然后通过MINUIT[19]算法最小化χ2得当相应的参数值和误差.通过对4个实验测量的联合拟合得到Χ(3915)的共振参数的拟合结果为M=(3 917.5±1.1)MeV/c2和Γ=(17.6±2.6)MeV.拟合优度是χ2/ndf=88.4/77，其中,ndf是拟合中自由度的数量.图1显示了拟合结果.表1列出了各个实验测量分别的测量结果和本文的联合拟合结果. 通过比较可以发现本文的结果有效地提高了Χ(3915)的质量和宽度的精度.

3 讨论和总结

综上所述，本文利用最小二乘法对Belle实验中γγ→ωJ/ψ过程和BABAR实验中γγ→ωJ/ψ,B0→Κ0ωJ/ψ以及B+→Κ+ωJ/ψ过程中的ωJ/ψ的不变质量分布进行联合拟合，得到了X(3915)的质量和宽度分别为M=(3 917.5±1.1)MeV/c2和Γ=(17.6±2.6)MeV, 本文的拟合结果和实验直接测量结果以及PDG提供的平均值符合的很好，但精度更高.实验对质量位于open-charm阈值(～3.773 GeV)以上的粲偶素激发态如χcJ(2P)，hc(2P)的寻找已经有很长的历史，但由于这些粒子在实验上的产额很低而且它们的宽度很多都比较大，而理论对其衰变道及衰变宽度的计算也有较大的不确定性，这些都增加了实验上寻找这些常规粲偶素粒子的难度.目前，实验上发现了一些类粲偶素粒子，但由于测量精度的限制这些粒子的量子数和质量宽度等相关参数大多还存在不确定性.X(3915)作为类粲偶素中的一员，关于其是否为常规粲偶素χc0(2P)的讨论和争议一直存在，无法基于目前的实验测量给出确切的答案.关于Χ(3915)属性的讨论还将继续，未来随着Belle Ⅱ实验数据的积累和可能的其他新的实验的运行，实验上将提供更多关于Χ(3915)的参数和衰变的测量，使此粒子属性的最终确定成为可能.