基于随机矩阵理论的混合三端直流线路非单元式纵联保护

2022-10-17束洪春王广雪田鑫萃雷顺广何廷一

电力系统自动化 2022年19期

束洪春，王广雪，2，田鑫萃，代月，雷顺广，何廷一

（1. 昆明理工大学电力工程学院，云南省昆明市 650500；2. 昆明理工大学国土资源工程学院，云南省昆明市 650032；3. 云南电网有限责任公司电力科学研究院，云南省昆明市 650011）

0 引言

实施西电东送战略有效解决中国能源资源与负荷分布不均衡问题，对合理配置资源、优化能源结构具有重要意义［1］。高压直流输电凭借其远距离大容量输送电能和电网互联等优势成为目前资源配置的重要方式［2-3］。

电网换相型换流器（LCC）容量大、损耗小，但受端LCC 存在换相失败问题，可能导致短时功率输送中断［4］。电压源型换流器（VSC）具有有功无功独立控制、无换相失败等优势［5］，模块化多电平换流器（MMC）因波形质量高、开关损耗低等优点被广泛应用于柔性直流工程［6-7］，但MMC 本身过电压能力弱。LCC 为功率送端，多个MMC 为多落点受端的混合多端直流输电系统融合LCC 与MMC 二者优势，实现两种输电技术综合互补。混合多端直流输电与点对点直流输电的运行方式、拓扑结构差异较大，传统直流保护方法不能直接应用于混合多端系统［8-9］。因此，混合多端直流输电线路保护是亟待解决的关键问题之一。现行直流线路保护配置以du/dt为核心的行波保护和微分欠压保护，其动作速度快，不受线路分布电容影响，但抗干扰能力差，耐受高阻故障能力弱［10-11］。电流差动保护可靠性较高，但动作延时较长［12］。为提高直流线路保护的可靠性和速动性，文献［13］提出一种可以识别高阻故障的行波保护，利用区内故障入射波间隔期间存在电流持续减小的现象，用以识别高阻故障，但该方案进行区内、区外故障辨识时使用多个判据，需考虑判据逻辑时间。文献［14］提出基于故障电压首极值时间的混合三端直流线路快速保护，利用线模故障分量电压的斜率符号得到线模故障分量电压的首极值时间，但计算线模电压故障分量斜率符号时，受噪声影响区外故障可能产生极值点造成误判。文献［15］利用测量波阻抗直流输电线路纵联保护方法，可有效识别区内、区外故障，但短窗内的测量波阻抗幅频曲线难以准确反映低频段滤波器谐振点。文献［16］通过故障前后高频功率幅值变化启动保护，利用线路两侧高频功率相关系数差异准确识别故障线路和故障极，该方法在装有限流电抗器的系统中识别远端高阻故障能力弱。

单端保护依赖于故障边界，易受暂态分量波动影响［17］，可靠性较低，鲁棒性差；而现有纵联保护需要同步时钟，动作时间较长，速动性差，本文提出一种基于随机矩阵理论的混合三端直流输电线路非单元式纵联保护。理论分析和仿真结果表明，本文所提非单元式保护能准确选出故障区段和故障极，不受故障边界、过渡电阻及噪声影响，无须同步时钟，判据简单可靠且鲁棒性强。

1 混合三端直流输电系统故障特征分析

1.1 混合三端直流系统概述

以中国昆柳龙直流工程为背景研究混合三端直流系统的故障特征。昆柳龙混合三端直流系统采用双极对称结构，送端为昆北站（记为LCC）采用双12脉冲换流器，受端分别为柳州站（记为MMC1）与龙门站（记为MMC2）。架空线路以汇流母线为界分为L1（包括正、负极段L1p和L1n）与L2（包括正、负极段L2p和L2n）两段，LCC 站通过L1（与汇流母线连接MMC1 站，再通过L2与MMC2 站相连。LCC 换流站装有平波电抗器与直流滤波器，MMC 换流系统只包含高频分量，对滤波器要求小，故只装有平波电抗器。LCC-MMC 混合三端系统为真双极系统，各换流站均带有接地极配置，一极发生故障停运，健全极直流线同金属回流线形成回路可继续输送50%额定功率。系统拓扑如图1 所示。

图1 混合三端直流输电系统拓扑Fig.1 Topology of hybrid three-terminal DC transmission system

1.2 线路区内故障特征分析

双极直流线路正、负极之间存在耦合，通过极模变换将正、负极电压和电流up、un、ip、in解耦为线模、零模量。本文基于故障分量网络分析故障特征，通过式（1）、式（2）分别得到零模与线模电压、电流故障分量Δu0、Δu1、Δi0、Δi1。

式中:下标p、n 分别代表正、负极量；下标0、1 分别代表零模与线模量；Δ 表示故障分量。

1.2.1L1段线路故障特征

混合三端L1段线路发生故障时，等效为在故障点处叠加负的电压源uf1与过渡电阻Rf，LCC-MMC系统保护要求在控制系统未起作用之前快速识别区内外故障［18］，此时认为换流站出口电压未发生变化，即故障信号全部由故障电压源提供，则故障分量网络如图2 所示。图中，Z1LCC为LCC 换流站背侧等效阻抗，Z1L，LCC为平波电抗器与直流滤波器的并联，ZL1为线路L1段等效阻抗，ZL2为线路L2段等效阻抗，Z1L，MMC1、Z1MMC1和Z1L，MMC2、Z1MMC2分别为MMC1 与MMC2 换流站平波电抗器与背侧等效阻抗。Δu1M1、Δi1M1分别为LCC 端保护测量处线模电压、线模电流突变量（以下简称电压、电流突变量）；Δu1M2、Δi1M2与Δu1M3、Δi1M3分别为汇流母线两侧保护测量处电压、电流突变量；Δu1M4、Δi1M4分别为MMC2 端保护测量处电压、电流突变量。电流故障分量的正方向为母线流向线路。

图2 线路故障分量网络Fig.2 Line fault component network

L1线路区内fin1点发生故障时各测量点电流、电压突变量为:

式中:α为故障点与背侧母线的距离占故障所在区段线路长度的百分比；//表示并联。

由式（3）、式（4）可知保护测点M1、M2、M4 处电流、电压突变量方向相反，保护测点M3 处电流、电压突变量方向相同。

1.2.2L2段线路故障特征

L2段线路发生故障时，故障分量网络见附录A图A1。各测量点电流、电压突变量满足式（6）、式（7）。

由式（6）、式（7）知，保护测点M1、M3、M4 处电流、电压突变量方向相反，保护测点M2 处电流、电压突变量方向相同。

1.3 线路区外故障特征分析

1.3.1 LCC 站平波电抗器外部故障特征

LCC 站平波电抗器外侧fex1点发生故障时，故障分量网络见附录A 图A2，有

此时，M1、M3 测点处电压、电流突变方向相同，M2、M4 测点处电压、电流突变方向相反。

1.3.2 MMC1 站平波电抗器外部故障特征

MMC1 换流站平波电抗器外部fex2点发生故障，故障分量网络见附录A 图A3。根据图A3 可知:

M1、M4 测点处电压、电流突变方向相反，M2、M3 测点处电压、电流突变方向相同。

1.3.3 MMC2 站平波电抗器外部故障特征

MMC2 换流站平波电抗器外部fex3点发生故障，故障分量网络见附录A 图A4，有

M1、M3 测点处电压、电流突变方向相反，M2、M4 测点处电压、电流突变方向相同。

1.4 交流系统故障分析

送端交流系统发生短路故障使LCC 换流站交流母线电压降低，从而导致LCC 电压瞬间跌落，其故障分量网络与附录A 图A2 区别在于故障位置位于Z1LCC外部，但二者故障机理分析类似，各测点电压、电流突变量方向均相同；逆变侧交流系统发生短路故障使得MMC 换流母线电压降低，MMC1、MMC2 换流站故障机理分析分别与1.3.2 节、1.3.3 节类似。因此，分析电压、电流突变量时，对于直流系统而言，交流侧故障分析方法与结论等同于其所连接换流站平波电抗器外部故障分析方法与结论［19-20］。

综上，发生区内故障，当故障位于L1段线路时，保护测量点M1、M2、M4 处电流、电压突变量方向相反，M3 处电流、电压突变量方向相同。当故障位于L2段线路时，保护测点M1、M3、M4 处电流、电压突变量方向相反，M2 处电流、电压突变量方向相同。即故障区段保护测点电流、电压突变量方向均相反，健全区段一端测点电流、电压突变量方向相同，另一端方向相反，4 个测点中只有1 个测点电流、电压突变量相同。发生区外故障时L1段线路两端的保护测点电压、电流突变量方向一端相同、另一端相反，L2段线路与L1类似，即4 个测点中有2 个测点电流、电压突变量相同，另外2 个测点电流、电压突变量相反。不同故障位置各测点电压、电流极性如表1 所示。

表1 不同故障位置各测点电压、电流极性Table 1 Voltage and current polarity of each measuring point at different fault locations

2 高维随机矩阵理论

随机矩阵理论以矩阵为单位，可以处理独立同分布的数据［21］，对异常点检测及定位更具优势。随机矩阵理论仅要求数据矩阵维数趋于无穷大，并不要求源数据的分布、特征，但在维数为几十到几百的矩阵也能观察到较精确的结果，这是随机矩阵理论应用于实际工程的前提［22］。现阶段，随机矩阵理论在电力设备运行状态方面的应用已初有成效，但现研究大都集中在电能质量失稳，应用于电力系统主网的保护较少［19，23-24］。单环定理是随机矩阵理论极限谱分析特性之一，优点在于能够准确地描述随机矩阵的极限谱分布情况，计算结果也更加可视化，便于量化分析［25］。在此基础上，进一步研究随机矩阵的线性特征根统计量（LES），而平均谱半径（MSR）是LES 所构造出的一个具体对象。

2.1 单环定理

当任意矩阵行列比c=M/N为常数且M、N趋近于无穷时，其标准矩阵Y特征值λ的经验谱分布收敛至给定极限，矩阵Y推导过程见附录A，其概率密度函数fY(λ)为:

式中:L为非Hermitian 矩阵数；c为矩阵Y的行列比，c∈(0，1]且为常数。

单环定理表明:一个标准非Hermitian 矩阵Y，其每个元素为独立同分布的高斯随机变量，在复平面各特征值大致分布在一个外径r1=1、内径r2=（1-c）L/2圆环内。

2.2 线性特征根统计量

LES 能够反映随机矩阵特征值的分布情况，平均谱半径rMSR是LES 的常用形式，其定义为矩阵所有特征值在复平面上分布半径的平均值:

式中:λi为第i个特征值。

单个特征值无法反应矩阵元素的统计特性，LES 描述了随机矩阵的迹，可以反映矩阵的统计特性，故可以利用平均谱半径作为判据指标。

3 LCC-MMC 混合三端直流线路纵联保护

3.1 启动判据

本文利用极线电流梯度平方和构造保护启动判据，检测故障电流上升变化［26］。极线电流梯度为:

式中:i（k）为当前采样点k的电流；Δt为采样间隔，以ms 为单位。

极线电流梯度平方和为:

式中:j为采样点序号。

式（21）可递推为:

系统稳态运行时S（k）为0，线路发生故障后S（k）瞬间增大，可构成启动判据:

设定Sset为0.05 p.u.可满足区内远端高阻故障可靠启动。

3.2 故障检测判据

保护启动判据动作后，需要进行故障检测，确保误启动可复归。文献［27］采用低压过流保护进行故障检测，防止误启动，但采样可能出现坏点，使得干扰低于低压阈值、高于过流阈值，导致误启动。本文利用均值滤波连判思想解决采样坏点问题。求均值xmean的滤波离散表达式为:

式中:x（k）为当前采样点k的值；NZ为均值滤波时窗采样点个数。计算1 次后，令k=NZ+1 继续计算，连判3 次，电压均值umean均小于低压阈值uset，电流均值imean均大于过流阈值iset时可判为故障，启动故障识别判据；否则判为干扰，保护复归。考虑一定裕度，可设uset=0.8 p.u.，iset=1.2 p.u.。

3.3 直流线路区内外故障识别判据3.3.1 构造随机矩阵

构造矩阵前首先需确定时窗长度，选取原则为:1）柔性直流线路保护需满足在换流器闭锁前快速识别故障，此时控制系统尚未起作用［18］；2）矩阵维数需满足随机理论应用于实际工程的前提［22，28］。分别利用各测量点电压、电流突变量归一化值构造矩阵YM1、YM2、YM3、YM4。以YM1为例，由于电压、电流突变量采样序列只能形成2×n的矩阵，很难达到随机矩阵的要求。为了形成较优的行列比，采用复制、平移的方式形成2m×n（2m＜n）的原始矩阵YM1，复制、平移不会损失所选时窗内的故障特性，有

增加GNgs是为了在不改变原始矩阵期望的情况下得到与原始矩阵相同高斯分布的随机矩阵，此时矩阵特征值数量为2m。G为噪声幅值，其大小选择采用半补偿方式确定［19］。将YˉM1按照附录A 式（A1）至式（A4）进行变换得标准矩阵Ystd并计算其特征值。

3.3.2 基于平均谱半径的保护判据

随机矩阵理论认为系统中仅含白噪声、小扰动和测量误差时，系统数据将呈现出一种统计随机特性，服从同一高斯分布；而当系统中有附加激励、阶跃信号时，其统计随机特性将会被打破，数据之间也不再服从相同的高斯分布［29］。电压、电流突变量相同时，服从相似的高斯分布，如图3 所示，此处电压、电流突变量同时为负，归一化后如图3（a）所示，高斯分布如图3（b）所示。

图3 电压、电流突变量曲线及高斯分布Fig.3 Voltage and current break variable curves and Gaussian distribution

根据高斯分布公式可分别计算时窗内电压、电流的数值期望为μ，方差为σ2，得到电压、电流的高斯分布曲线。电压、电流突变量相反时服从不同的高斯分布，见附录B 图B1，此时电压突变量为负，电流突变量为正。

若矩阵每个元素为独立同分布的高斯随机变量，即行与行之间服从相同的高斯分布，则该矩阵的特征值大都分布于圆环，其平均谱半径大于内环半径；若矩阵中每个元素不为独立同分布的高斯随机变量，即行与行之间服从不同的高斯分布，则该矩阵的特征值大都分布于内圆，其平均谱半径小于内环半径rs。

将线路各测量点电压、电流突变量分别计算MSR 值rM1、rM2、rM3、rM4与阈值rset做对比，各测点MSR 值相互传送至其余各端完成区内、区外故障判别，概率密度函数fY(λ)不为零时|λ|的取值下限rs乘以可靠系数作为阈值rset，即有

由第1 章分析可知，线路区内故障4 个测点中只有1 个测点电压、电流突变量相同，特征值满足单环定理，分布在外环，平均谱半径(1)大于内环半径rset；其他3 个测点电压电流突变量相反，特征值分布于内圆，平均谱半径r(1)、r(2)、r(3)小于内环半径rset，如图4 所示。

图4 区内故障时4 个测点的复数特征值分布Fig.4 Distribution of complex eigenvalues of four measuring points in fault area

根据各测点电压、电流故障分量计算得到的MSR 值可构成区内区外故障识别判据。记Q为4 个测点所得MSR 值rM1、rM2、rM3、rM4大于阈值rset的个数，则判据为:

3.4 故障区段判据

区内故障时需判断故障位于L1段或L2段，方便切除故障线路。由第1 章知，发生区内故障时，4 个测点中只有1 个测点极性相同，故障发生在L1段线路fin1点时，M3 测量处电压、电流突变量方向相同；故障发生在L2段线路fin2点时，M2 测量处电压、电流突变量方向相同，以此可作为故障区段识别判据。

线路区内故障区段定位中，若故障发生在L1段，M3 测量点处rM3＞rset，其余测量处MSR 值均小于阈值；若故障发生在L2段，M2 测量点处rM2＞rset，其余测量处MSR 值均小于阈值；阈值大小与区内外故障识别判据中rset相同。

若发生区外故障即Q=2 时，需判断是正向区外或反向区外，即故障位于LCC 端、MMC1 端或MMC2 端。LCC 端fex1点发生故障时，M1、M3 测量点电压电流极性相同；MMC1 端fex1点发生故障时，M2、M3 测量点电压电流极性相反；MMC2 端fex2点发生故障时，M2、M4 测量点电压电流极性相同，因此可形成区外故障定位判据。

线路区外故障定位时，若LCC 端故障，测量点M1、M3 处MSR 值大于阈值；若MMC1 端故障，测量点M2、M3 处MSR 值大于阈值；若MMC3 端故障，则测量点M2、M4 处MSR 值大于阈值。利用随机矩阵的线性特征量MSR 可以准确、快速地确定故障区段。

3.5 故障选极判据

故障选极判据目的在于可靠选出故障极，由于双极直流线路正、负极存在耦合，发生单极接地故障，健全极也会感应到电压、电流突变量，仅利用故障初瞬电压、电流难以判断故障极线路。借助ABB公司行波保护中极波思想，提出一种基于极波能量比的故障选极方法［26］。极波定义如下:

式中:Zp为极波波阻抗；Δu（k）、Δi（k）分别为极线电压故障分量、电流故障分量。

定义极波能量E为:

对故障后一定时间内正极线路极波能量E1与负极线路极波能量E2做比值可构造故障选极判据。定义极波能量比为:

线路发生正极故障时，故障极极波能量远大于健全极极波能量，即kp＞1；若发生负极故障，则kp＜1；若发生双极短路故障，正、负极极波变化相似，则kp≈1。根据正极、负极极波能量比值可构造选极判据，为增大可靠性需考虑一定裕度，可确定故障选极判据为:

所提保护流程如附录B 图B3 所示。

4 测试分析

搭建如图1 所示的LCC-MMC 混合三端直流输电系统模型，并基于实时数字仿真器（RTDS）进行硬件在环测试，测试平台见附录C 图C1。保护采样率为20 kHz，LCC 侧采用定电流控制，MMC1 侧采用定功率控制，MMC2 侧采用定电压控制，L1段线路长度为912.5 km，L2段线路长度为552.5 km，总长度为1 465 km。系统主要参数见附录C 表C1，杆塔参数见附录C 图C2。

4.1 随机矩阵构成及整定值选择

利用保护启动前4 ms、启动后1 ms 时窗内数据计算线模电压、线模电流突变量。复制平移24 次形成50×100 矩阵，行列比c为0.5，达到随机矩阵要求。此时rs=0.707，考虑阈值选择需要保证一定裕度，本文可靠系数Krel取0.8，则阈值rset=0.565 6。

4.2 保护启动及故障检测

分别对不同故障类型计算极线电流梯度平方和S（k）验证本文所提启动判据的准确性，k取3，测试结果见附录C 表C2。对雷击故障及雷击干扰进行测试分析本文所提故障检测方法的可靠性，雷电流模型采用双指数模型:I(t)=I0(e-t/T1-e-t/T2)，其中，I0为雷击电流幅值，T1为衰减时间常数，T2为阶跃时间常数，取典型值T1=1.2 μs，T2=50 μs，测试结果见附录C 图C3。由图C3 可知，雷击干扰79 μs后电压一直高于低压阈值，雷击干扰153 μs 后电流一直低于过流阈值；而雷击故障272 μs 后电压一直低于低压阈值，雷击故障42 μs 后电流一直高于过流阈值，通过式（20）每隔200 μs 计算一次umean和imean，连判3 次，可检测故障或干扰，均值滤波计算结果见附录C 表C3。雷击故障时3 次计算umean均低于阈值uset，imean均高于阈值iset；而雷击干扰时3 次计算umean只有第1 次低于阈值uset，第2、3 次均高于低压阈值，imean只有第1 次高于阈值iset，第2、3 次均低于过流阈值。

4.3 典型故障算例分析

4.3.1 区内故障测试分析

设定距整流侧450 km 处正极线路fin1点故障，过渡电阻为300 Ω，故障初始时刻为3 s，图5 为各测点保护启动前后电压、电流归一化测试曲线，可以看出fin1点故障只有M3 测点电压、电流突变量方向相同，其余测点均相反，与1.2.1 节理论分析一致。

图5 fin1点故障各测点电压、电流归一化曲线Fig.5 Normalized curves of voltage and current at each measuring point with fault at point fin1

各测点保护启动前后电压、电流高斯分布见附录C 图C4，电压、电流突变量相反时二者呈不同高斯分布，突变量相同时二者高斯分布相似。

图6 为正极线路fin1故障各测点随机矩阵特征值分布图，M3 测点电压、电流突变量高斯分布相似，满足单环定理，随机矩阵特征值分布在外环，其余测点高斯分布不同，不符合单环定理，特征值分布于内圆，此时各测点平均谱半径为:rM1=0.231 4，rM2=0.197 7，rM3=0.849 3，rM4=0.248 8，仅有M3 测点平均谱半径大于rset，即Q=1，判为区内故障，且rM3＞rset，判为L1段线路故障。

图6 fin1点故障各测点随机矩阵特征值分布Fig.6 Random matrix eigenvalue distribution of each measuring point with fault at point fin1

选择故障后2 ms 作为故障选极时窗，M1 端测得极波如附录C 图C5 所示。此时故障极极波能量远远大于健全极极波能量，E1=3.39×107，E2=4.73×106，kp=7.15，判为正极线路故障。

4.3.2 区外故障测试分析

设定3 s 时fex2点发生故障，各测点电压、电流归一化测试曲线见附录C 图C6。其中，M1、M4 测点突变量相反，服从不同高斯分布；M2、M3 测点突变量相同，服从相同高斯分布，见附录C 图C7。fex2点发生故障时M2、M3 测点随机矩阵特征值分布在外环，M1、M4 测点矩阵特征值分布于内圆，见附录C图C8，其中rM1=0.229 0，rM2=0.898 3，rM3=0.895 5，rM4=0.216 2，此时有M2、M3 测点平均谱半径均大于rset，即Q=2，判为区外故障，且rM2＞rset，rM3＞rset，故障位于MMC1 侧。

4.4 保护算法适应性测试分析

4.4.1 故障距离及过渡电阻适应性测试分析

考虑不同故障距离及不同过渡电阻，分别对不同故障类型做适应性分析，测试结果见附录C 表C2。L1段线路发生单极接地故障或双极短路故障时，M1、M2、M4 平均谱半径均小于阈值0.565 6，M3测点平均谱半径远大于阈值；L2段线路故障时，M1、M3、M4 平均谱半径均小于阈值，M2 测点平均谱半径远大于阈值，区内故障时Q=1；LCC 端区外故障M1、M3 测点平均谱半径远大于阈值，M2、M4 测点平均谱半径均小于阈值；MMC1 端区外故障时M2、M3 测点平均谱半径远大于阈值，M1、M4 测点平均谱半径均小于阈值；MMC2 端区外故障时M2、M4测点平均谱半径远大于阈值，M1、M3 测点平均谱半径均小于阈值，区外故障时Q=2。随着过渡电阻增大、故障距离增加，同一故障类型下各测点平均谱半径变化不大，该区内外故障识别算法不受远端高阻故障的影响。

区内故障时利用极波能量比均能准确选择故障极，所得比值与阈值差异较大，具有良好的选择性。

4.4.2 噪声适应性测试分析

利用同一测点电压、电流突变量复制、平移并叠加服从标准高斯分布的高斯白噪声构造的随机矩阵是否满足单环定理主要取决于其概率分布特性，一定程度内的噪声对矩阵的概率特性影响较小，概率密度函数仍然服从式（14）。现对4.3.1 节典型区内故障增加30 dB 噪声测试该算法的抗干扰能力，增加30 dB 噪声后各测点电压、电流突变量及各测点电压、电流高斯分布分别见附录C 图C9、图C10。

比较图C4 与图C10 不难发现，增加30 dB 噪声前后各测点高斯分布相似，即随机矩阵具有一定的抗噪能力。经RTDS 硬件在环测试，本文所提保护方法具有速动性和选择性。