王 盟， 余 粟， 冯益林

（1 上海工程技术大学 电子电气工程学院， 上海201620； 2 上海工程技术大学 工程实训中心， 上海201620）

0 引 言

热泵电机是热泵机组工作的核心部件，其运行状态直接决定热泵机组的工作质量。 所以热泵电机的振动信号获取与分析是保证稳定运行的重要环节。 由于其位于热泵机组的内部，而且工作环境较为恶劣，使得监控过程中获取的信号包含了噪声干扰，呈现出非平稳时变特点。

小波阈值降噪方法能够在减少误差的同时保留更多有用的信号，被广泛应用于非平稳时变系统。在传统的小波阈值函数中：硬阈值函数降噪一般会产生相对较小的均方根误差，但具有不连续性，处理信号时会产生跳变。 软阈值函数整体连续，处理之后的信号较为平滑，但在重构信号时会产生恒定偏差，造成原信号过度失真。 文献［5］中提出了含有e指数的新阈值函数，但不含调节因子，不能实现灵活去噪。 文献［6］中提出含有调节因子a、b 的改进阈值函数，可以灵活调节适应含噪信号，但计算量较大，数据处理较为困难。 另外，在实际信号处理过程中，随着分解尺度的增加，要求噪声引起的小波系数逐渐降低［2］，如果选择固定阈值，就会导致信号失真严重。 对此，文献［7－8］中提出了多尺度阈值去噪方法，具有较大的参考价值。

本文针对软、硬阈值存在的不足，与多尺度的阈值相结合，提出了一种改进的新阈值函数。 新阈值函数引入了可调因子m 和n，不仅解决了传统阈值函数存在的不连续性和恒等差问题，而且使得计算量相对减少。 将此阈值函数应用于热泵电机信号的降噪处理中，在保留更多特征信息的基础上，取得了较好的滤噪效果。

1 小波阈值去噪原理及计算

1.1 小波阈值去噪原理

小波阈值去噪的原理是先设定一个阈值λ， 假如小波系数小于λ，就把这个系数认定为噪声产生的，将之消除；反之小波系数大于λ，就把该系数认定为信号产生的，将之保留。 最后采取小波逆变换对小波系数进行重构，得到去噪后的信号。 假设含噪的电机振动信号满足f（t）＝f＾（t） ＋ω（t）。 其 中，f（t） 为原始标准信号，ω（t） 为噪声信号。 小波阈值降噪步骤如图1 所示。

图1 小波阈值降噪流程Fig.1 Wavelet threshold noise reduction process

1.2 常见的阈值和阈值函数

阈值和阈值函数的选取直接决定信号去噪的效率。 目前常见的阈值选择方法有：极值阈值估计、无偏似然估计、固定阈值估计以及启发式估计等［10］。前2 种方法可以将少量分布在高频部分的微弱信号提取出来，但是降噪效果却相对较低。 而后2 种方法降噪效果较高，却易于把有用信号当做噪声消除。一般情况下多选择固定阈值估计方法。

常用的阈值函数有软阈值和硬阈值函数。 其定义如下：

软阈值函数定义：硬阈值函数定义：

由公式可知硬阈值函数在阈值λ 处不连续，导致较大的均方误差和波形震荡，不具有原始信号的平滑性。 软阈值函数是连续的，但处理前后存在固定的偏差，在产生较大误差的同时也会造成部分有用信息的丢失。

2 改进阈值函数

2.1 一种新的阈值函数

为克服传统阈值函数存在的恒等差和不连续问题，文献［5］在软、硬阈值折中函数的基础上进行改进，提出了一种新的小波阈值函数：

此式解决了恒等差和不连续的问题，却不含调节因子，因此不能动态调整。 为此本文提出引入调节因子m 和n，得到新公式：

其中， a ＝e－n（1－m）（｜wj，k｜－λ）； 可调因子m ∈［0，1］； n 取正数。

新阈值的特征如下：

（1）改进的阈值函数具有连续性。

当λ ｜ωj，k｜→λ＋时：

当｜ωj，k｜→λ－时：

即证明，新的阈值函数在λ 处连续。

（2）改进的阈值函数具有渐进性。 验证如下：

（3）改进的阈值函数偏差性较小。 验证如下：

同理，

上式证明，随着小波系数的增大，二者之间的差距会逐渐减小，解决了软阈值的固有缺陷。

改进的阈值函数与软硬阈值函数对比如图2 所示，由图可知新阈值函数既解决了软阈值函数恒等差问题，也克服了硬阈值函数在λ 处不连续的缺点。

图2 新阈值函数与软硬阈值函数对比Fig.2 Comparison of the new threshold function and the soft and hard threshold function

2.2 可调因子的取值分析

令m ＝1，n ＝1，新阈值函数可演变为软阈值函数；令n →∞，则其可变为硬阈值函数。 这证明新阈值函数具有可调性，通过改变m 和n 的取值以适应实际信号噪声变化［4］，最终实现优化的目标。 通过多组实验计算对比，对小于60 dB 的噪声去噪，当m＝0.83，n ＝6 时，可以取得最佳的降噪效果；对大于60 dB 的噪声去噪，当m ＝0.89，n ＝7 时，可以取得最佳的降噪效果。

2.3 确定最优阈值

传统小波阈值一般采用固定值，而实际降噪时小波系数与分解尺度成反比。 即分解尺度增大，小波系数随之变小。 为适应此规律，以达到保留更多有用信号的目的，要求应选取多尺度小波阈值。 为节省计算时间，本文采用文献［7］中的小波阈值选取方法。 张振凤在文献［7］中基于lipschitz 指数论证了第j ＋1层小波系数约为第j 层的倍，提出了：

3 实验仿真

为验证改进算法的效果，首先设置原始含噪信号为x（t） ＝10sin（0.32t） ＋noise（t） ，其中t 属于［0，500］，noise（t） 为Gauss 噪声。 分别采用软阈值函数、硬阈值函数、文献［5］中的阈值函数和改进的新阈值函数对加噪信号进行降噪处理，降噪效果如图3 所示。 其中图3（a）为结合固定阈值的实验效果，图3（b）为结合多尺度阈值的实验效果。 由图3可以看出改进后的新阈值函数降噪信号，即图3（b）中（f）的波形最接近原始信号波形，其信噪比为18.37，相比于其它几种降噪方法，信噪比约提高了7%～15%，由此验证了改进算法具有较高实效性。

图3 对加噪的正弦信号降噪处理实验效果Fig.3 Experimental effect of noise reduction processing on sine signal with noise added

以山东长清工业园区某办公楼的地源热泵机组集成监控系统中的电机轴承振动信号为例。 热泵电机的转速为3 000 r／min，采样频率为f1＝20 KHz。待热泵机组平稳运行后，通过加速度传感器对电机轴承采集800 个采样点。 由于采集的热泵电机轴承振动信号较弱，添加50 dB 高斯噪声以贴近真实情况。 对热泵电机振动信号采用sym5 小波基函数，进行4 层小波分解。

为证实结合多尺度阈值改进的新阈值函数在热泵电机振动信号降噪中的高效性，采用各阈值函数分别结合固定阈值和多尺度阈值对采集的电机轴承振动信号进行降噪处理仿真。 各阈值函数结合固定阈值降噪效果如图4 所示，各阈值函数结合多尺度阈值降噪效果如图5 所示。

图4 结合固定阈值降噪效果Fig.4 Noise reduction effect combined with fixed threshold

将改进的新阈值函数降噪信号与原始含噪信号在频域上展开对比，如图6 所示。 可以看出新阈值函数在频域上能很好地保留尖峰值和突变部分，并可将噪声引起的干扰有效地降噪处理，提高信噪比，还原度较高。

为了让去噪效果表现的更直观，此处引入数据分析的方法。 将获取的原始信号作为标准信号f（t），经过降噪处理之后的预估信号为， 则信噪比定义如下：

原始信号和预估信号之间的均方根误差为：

图5 结合多尺度阈值降噪效果Fig.5 Noise reduction effect combined with multi－scale threshold

图6 原始含噪信号和降噪信号频谱图对比Fig.6 Comparison of the spectrum of the original noise－containing signal and the noise－reduced signal

在降噪过程中，为衡量降噪信号的还原程度，定义维持率：

其中，SNR 为降噪后信号的信噪比， SNR∗为原始信号的信噪比。KR 越大表示还原效果越好。

由式（12）、（13）、（14）可知，信噪比的值越大，均方根误差越低，维持率越高，则预估信号就越接近于原始信号。

通过MATLAB 仿真计算后，将各种阈值函数与固定阈值结合在一起，得到数据见表1。 将各种阈值函数与多尺度阈值结合在一起，得到数据见表2。

表1 固定阈值与各种阈值函数结合降噪效果Tab.1 Noise reduction effect of fixed threshold combined with various threshold functions

表2 多尺度阈值与各种阈值函数结合降噪效果Tab.2 Multi－scale threshold combined with various threshold functions to reduce noise

由两表对比可以看出，多尺度阈值与各种阈值函数结合降噪相比于各阈值函数与固定阈值相结合取得的信噪比略高，均方根误差相对降低，维持率也相对提高。 证明了将多尺度阈值与改进的新阈值函数结合的降噪方法能获得更大的信噪比，取得了更好的降噪效果。

4 结束语

在热泵机组监控过程中，热泵电机振动信号的降噪具有重要意义。 本文针对软阈值和硬阈值函数存在的不足，提出了一种结合多尺度阈值的新阈值函数。 通过仿真实验，分别采用新阈值函数和软阈值、硬阈值函数对采集的热泵电机振动信号进行降噪处理。 实验结果证明了新的阈值函数在热泵电机信号降噪过程中具有信噪比较高和均方根误差较低的特点，具有重要的工程实践意义。