南昌大学附属中学 (330047) 付颖梅

2022年各国、各地区数学奥林匹克中出现了不少形式漂亮、内容完美的不等式题，异彩纷呈.本文对其中几道试题给出精巧证明,以飨读者.

读者可以试着证明下面有趣的不等式：已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数，求证：

例4 (2022年罗马尼亚数学奥林匹克试题)已知a,b,c,d是满足a≥b≥c≥d， (a-b)(b-c)·(c-d)(d-a)=-3和a2+b2+c2+d2=14的实数，求证：(a+c)(b+d)≤8.

下面的问题留给读者思考：

例6 (2022年摩尔多瓦数学奥林匹克试题)已知a,b,c,d是满足a2+b2+c2+d2=4的实数，求证：a4+b4+c4+d4+4(a+b+c+d)2≤68.

证明：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd≤4(a2+b2+c2+d2)=16,a4+b4+c4+d4+4(a+b+c+d)2≤a4+b4+c4+d4+2(a+b+c+d)2+32=a4+b4+c4+d4+4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+40≤a4+b4+c4+d4+2(a2b2+1+a2c2+1+a2d2+1+b2c2+1+b2d2+1+c2d2+1)+40=(a+b+c+d)2+52=68.

另外，从上述证明可知，在相同条件下,以下不等式亦成立(证明留给读者)：