江苏省宜兴第一中学 (214200) 吴继敏

解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式，罗增儒教授认为“数学教育中真正发生数学的地方都无一例外地有数学解题活动”，而“一题多解”恰恰是解题教学中最常用、最有效的一种教学手段与技术.“一题多解”是从不同角度分析问题，根据所给信息，应用已有的数学知识、经验，通过观察、推测和想象，沿着不同方向思考、重组已有信息，获得多种解法的过程.“一题多解”具有激发学生学习兴趣、促进学生对数学知识的深入理解、培养学生创新意识与探究精神等不可替代的教育功能.不难发现，“一题多解”是促使数学深度学习发生的有效载体与途径.但纵观当前数学解题教学中的“一题多解”，存在着只重视罗列解法，而忽视对解法之间联系的分析、只追求方法的巧妙性，而忽视学生实际的理解能力；教师只顾讲解方法，而忽视学生参与等诸多问题.这些问题如果不能得到有效解决，不仅无法实现深度学习，反而使“一题多解”成为学生学习的负担.本文以2020全国Ⅰ卷理第20题为例谈谈如何从“一题多解”走向深度学习.

图1

(Ⅱ)证明:直线CD过定点.

1 梳理解题思路，理解学生认知

解题的第一步需要对问题进行观察、表征，进而分析、解决，“多解”需要寻找多个观察角度进行梳理，从而才能引发多方面的联想.梳理的目的是为了建立条件与结论之间的关联，然后才能通过意义建构获得正确的解题思路.条件与结论的关联程度决定了问题的难度，如果题目中给出的条件与结论本身存在着明显的联系，那么这样的问题解决起来就会容易，反之给出的条件与结论联系不紧密甚至看不出联系，那么这样的问题对学生来说就会比较难，其具体表现为“思维障碍”的形式.因此，解题教学的关键就是帮助学生突破认知障碍，从而建立起问题中条件与结论之间的有效联系.

对上述问题来说，条件：“PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D”，结论“直线CD过定点”，解题的关键是建立“交点”与“定点”的关联，对学生来说，存在的思维障碍主要在于：一是题目中动点比较多，P、C、D都是动点，从而导致要设的参数比较多；二是直线CD不确定，直线方程到底是直接设还是用其它参数表示出来难以抉择；三是题目总体的运算量很大，容易出错.

因为深度学习是在学生已有认知基础上的自然延伸，是在已有认知不断发展的过程中进行整合与生成.因此，在明确认知障碍的过程中，同时也要考虑学生的认知差异，有的学生思维敏捷、有的学生反应迟钝、有的学生喜欢形象思维、有的学生擅长抽象思维，也就是说，认知障碍的最终确定并不能仅仅依赖于教师的经验而“想当然”的认为，而是要结合学生的实际认知水平来确认.

2 尝试通性通法，唤醒高阶思维

与学生认知起点对应的解题方法就是通性通法，这也是一题多解的起点.一题多解首先考虑到的是多数学生的可接受性原则, 学生容易想到的、老师容易讲清楚的方法，即使过程比较繁琐，也要优先组织学生进行探究.一方面，通性通法为学生提供了主动参与解题的机会，能够让学生有话可说、有问题可问；另一方面，通性通法的探究过程能够暴露学生的思维，可以让教师了解学生的思维方式是处于记忆、理解、运用、分析、评价和创造这个六个层次中的位置.按照深度学习的特征，前三个层次属于低阶思维，后三个层次属于高阶思维，如果教师发现学生思维处于低阶层次，就应该想办法促使学生的思维从低阶走向高阶，从而使一题多解始终保持在高阶思维的状态.

点评：如果把①直接代入②来获取n，k之间的定量关系，显然计算量非常大，超出了很多学生的计算水平.借助斜率不存在情况下获得的结论，能够大大简化运算的过程.这种思想虽然简单，但由于先前没有这方面的经验，学生不容易想到.由此可见，在上述解题过程中，学生思维水平更多的是停留在“记忆、理解、运用”层面上，是对已有解题经验的回顾与重现.

点评：通过转化设参数的视角，先利用直线PA、PB来简化参数关系，然后再将直线CD与椭圆联立方程，利用韦达定理进行化简运算，从而提升了运算效率.此法是在分析第一种方法的不足基础上，经过反思优化，作出了一种具有创新性的方法，至此，学生的思维进入到高阶思维阶段.

3 揭示数学原理，培养专家思维

一题多解虽然会涉及到很多方法，但却不是以罗列方法的多少为目的，而是重在揭示隐藏在方法背后的数学原理.一方面是因为原理清楚了，学生才能更容易掌握方法，才能联想到更多的方法；另一方面，相比解题方法，数学原理更具有可迁移性，要获得可迁移的结论，学生必须学会专家的思维方式，即象专家那要思考.加德纳认为“只有理解学科思考世界的独特方式，未来才有可能像一个科学家、数学家、艺术家、历史学家一样去创造性地思维与行动”.专家思维的特点是就是能够对数学问题作出快速而准确的判断，并在洞悉问题本质的基础上提出解决问题的方案.因此，一题多解中培养专家思维才是解题教学与深度学习的最终目标.

点评：此法利用椭圆的第三定义，直线建立了C、D两点的坐标与直线CD直接的关系，减少了设参的数量，简化了运算的过程，体现了整体代换的数学思想.

图2

如图2所示，如果把图形补充完整，此题还可以借助“极线”的性质来快速求得直线CD的定点.

总之，深度学习涉及三个方面的“深度”，即学习结果的深度、学习方法的深度与学习参与深度.一题多解要走向深度学习，也必须围绕着着三个深度进行，即给予学生更多的探索、创造和分享的机会，引导学生抓住问题的本质，找到解题的规律，逻辑清晰而准确地概括和表达.