常铭轩，杨建成，王 磊，刘 杰，申国栋，马 伏，李民祥,3

(1.中国科学院 近代物理研究所，甘肃 兰州 730000；2. 中国科学院大学，北京 100049； 3.兰州大学 核科学与技术学院，甘肃 兰州 730000)

高亮度的极化电子-离子对撞机是研究核子内部结构与强相互作用的重要工具，为满足相关科研的需求，中国科学院近代物理研究所提出在HIAF(high intensity heavy-ion accelerator facility)[1]的基础上建造极化电子-离子对撞机(highly polarized electron-ion collider in China, EicC)[2]。EicC的质心能在15～20 GeV之间，电子-质子对撞亮度为2.0×1033cm-2·s-1。

在对撞区中，相向运动并进行对撞的两个束团会给对向束团施加电磁相互作用力，从而改变对向束团中粒子的动量，这一过程被称为束束相互作用。考虑到束束相互作用力是非线性的，且每次对撞后束团分布均会受束束效应影响而发生变化，因此一般使用PIC(particle in cell)[3-7]方法求解束团间的相互作用力，通过数值模拟方法计算束束效应的影响。

由于EicC中电子与质子束团数目不同，同一电子束团会与多个质子束团交替进行束束相互作用，质子束团亦如此。这种不对称的对撞方式会引起不对称的束束效应，从而引入在对称对撞模式中不会出现的共振条件，且增加数值计算的复杂性。针对这种不对称对撞的设计方案，使用自主开发的基于GPU(graphics processing unit)的自洽束束相互作用数值模拟程序AthenaGPU进行模拟计算。同时，为从理论上解释束束相互作用引起的偶极不稳定，使用自主开发的包含纵向运动、沙漏效应、束团缺失等功能的矩阵计算程序AthenaMatrix进行线性分析[8-10]。

在目前的对撞模式中，若束流中的束团在注入过程丢失或由于在束团间设置间隔等原因出现缺失，会破坏原有的平衡态，束团或许会处于另一平衡态，也可能会出现不稳定并使亮度出现明显损失[11]。为研究束团缺失对束流稳定性的影响，本文分别对电子束团与质子束团出现缺失的情况进行模拟，并结合线性理论对模拟结果进行分析，针对不稳定情况提出相应的解决措施。

1 束团缺失模拟与计算

EicC在电子-质子(e-p)对撞模式中的主要设计参数列于表1。为便于讨论非对称对撞模式下束流状态的变化趋势，本文定义两个环中所有束团之间均进行1次对撞为完成1个超周期。对撞环中的所有束团全为均匀分布的前提下，256个电子束团与448个质子束团之间的对撞可简化为4个电子束团与7个质子束团对撞的模式，即EicC中所有束团可分为64组互不影响的4e-7p的对撞组合，在这一对撞模式中，1个超周期内电子与质子束团分别旋转了7圈与4圈，共进行了28次对撞。在研究束束效应时，通常使用束束参数ξ衡量相互作用的强度，束束参数由式(1)给出：

(1)

其中：+与-用来区别参与对撞的两种束流；N为每个束团中的粒子数；r0为粒子经典半径；β为对撞点处的β函数；γ为粒子的洛伦兹因子；σ为束团在对撞点处的横向尺寸。

1.1 缺失电子束团

在正常模式即无束团缺失与缺失不同数目电子束团的情况中，模拟所得亮度如图1所示，其中橘色曲线表示基于正常模式的亮度数据在仅考虑束团个数减少因素后得到的预期亮度。模拟结果显示在这几种情况中不会出现偶极、四极或其他形式的不稳定。在目前的设计参数中，质子束团的束束参数明显小于电子束团的束束参数。这表明质子束团通过束束相互作用对电子束团会产生明显的影响，但电子束团对质子束团的影响很弱。在缺失1个电子束团的情况中，电子与质子束团的质心与尺寸在模拟过程中未出现不稳定，但质子束团尺寸的增长率较其他几种情况更高，因此亮度衰减速度更快。在不同模式中束流所处平衡态不同，所得亮度可能会低于预期亮度(缺失2个电子束团)，也可能会高于预期亮度(缺失3个电子束团)。模拟结果表明，在目前设计参数下缺失电子束团不会影响束流的相干稳定性。

表1 EicC电子-质子对撞模式主要参数Table 1 Main parameters of EicC in e-p collision mode

图1 缺失不同数目的电子束团时亮度随超周期数的变化关系Fig.1 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of electron bunches missing

图时使用矩阵方法所得相干频率的 虚数部分与的变化Fig.2 Imaginary part of coherent frequency as a

1.2 缺失质子束团

在缺失不同数目质子束团的情况中，模拟所得亮度如图3所示。在缺失1个、2个与3个质子束团的情况中，束流均出现了不稳定并使亮度发生了明显损失，但束流不稳定的原因各不相同。

图3 缺失不同数目的质子束团时亮度随超周期数的变化Fig.3 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of proton bunches missing

图4 缺失1个质子束团时电子(a)与质子(b)束团 垂直方向质心与尺寸随超周期数的变化Fig.4 Evolution of vertical centroid and size of electron (a) and proton (b) bunch with super-period for 1 proton bunch missing

缺失1个质子束团时束流在水平方向是稳定的，在垂直方向会出现偶极不稳定，电子与质子束团的质心与尺寸在垂直方向的变化如图4所示。可看到，束团质心的振幅在超周期数为20 000时开始逐渐增大，在30 000超周期数附近束团质心的振幅达最大，之后束团虽发生了一定程度的退相干并处在一新的平衡态，但在这一状态中质心依然保持较大振幅。对任意1个电子束团，均在以一固定频率遇到缺失质子束团的情况，由于在电子-质子对撞模式中，束束力对电子束团有很强的聚焦效果，因此缺失质子束团会明显影响电子束团的尺寸，最终电子束团尺寸会表现为在多个值之间交替切换的现象，如图4a中多条曲线所示。质子束团在退相干过程中，由于同步辐射阻尼非常弱，束团尺寸逐渐增大。而电子束团在退相干时受同步辐射效应的影响尺寸不会增加。随着质子束团的尺寸逐渐增加，质子对电子的束束力也在减弱，因此电子束团在新平衡态时的束团尺寸也会变小。在电子束团尺寸减小与质子束团尺寸增加的过程中，会短暂出现亮度增加现象，但在达到平衡态时由于质子束团尺寸与电子束团尺寸相差过大，最终获得的亮度会出现明显的损失。图5为使用矩阵方法得到的结果。可看到，在缺失1个质子束团时，束流在垂直方向恰好会处在不稳定区间内，这与模拟中观察到的不稳定现象吻合。

图5 缺失1个质子束团时使用矩阵方法所得 相干频率的虚数部分与的变化Fig.5 Imaginary part of coherent frequency as a function of for 1 proton bunch missing

图6 缺失2个质子束团时电子(a)与质子(b)束团 水平方向质心与尺寸随超周期数的变化Fig.6 Evolution of horizontal centroid and size of electron (a) and proton (b) bunch with super-period for 2 proton bunches missing

缺失2个质子束团时束流在垂直方向始终保持稳定，在水平方向会首先出现四极不稳定，随着四极振荡的振幅逐渐增加，束团质心也开始振荡即发生偶极不稳定，电子与质子束团在水平方向的质心与尺寸变化如图6所示。在四极不稳定不断增强的过程中束团尺寸也在增加，因此束束效应引起的相干频移呈减小趋势，当相干频移减小到一定值时束团就离开了四极不稳定共振区，这时就出现了四极不稳定消失的现象。由于缺失2个质子束团情况中首先出现的是四极不稳定，出现偶极不稳定时束流状态相比于初始状态已发生了改变，因此矩阵方法的计算结果只会显示在目前设计参数下，没有偶极不稳定，如图7所示。缺失3个质子束团时，束流在垂直方向出现了偶极不稳定，与缺失1个质子束团的情况类似；同时，在水平方向出现了四极不稳定，与缺失2个质子束团的情况类似。缺失更多质子束团时，在模拟结果中未观察到不稳定现象，但模拟所得亮度均低于期望亮度。这说明即使缺失质子束团未引起偶极或四极不稳定，仍会明显增加亮度损失。

图7 缺失2个质子束团时使用矩阵方法所得 相干频率的虚数部分与的变化Fig.7 Imaginary part of coherent frequency as a function of for 2 proton bunches missing

2 束团缺失不稳定的避免

针对前述质子束团缺失引起的束流不稳定，将通过调节名义工作点使束流离开共振区来达到避免不稳定的目的。

图8 调节电子垂直方向名义工作点后缺失 1个质子束团时使用矩阵方法所得相干频率的 虚数部分与的变化Fig.8 Imaginary part of coherent frequency as a function of after adjusting vertical nominal tune of electron beam for 1 proton bunch missing

图9 调节电子名义工作点后缺失不同数目 质子束团时亮度随超周期数的变化Fig.9 Evolution of luminosity with super-period for different numbers of proton bunches missing after adjusting vertical nominal tune of electron beam

上述理论分析与模拟结果表明调节工作点可有效避免共振引起的不稳定。对于束团缺失是由注入过程中误差引起的情况，这一调节方式只在理论上存在可行性，因为注入时束团发生丢失是偶然现象，要通过调节工作点来避免束团缺失导致的不稳定，反而会影响到多数处于稳定运动状态的束团。若束团缺失不会引起电子云不稳定等负面效应，可不采取措施来抑制不稳定，反之，应踢除所有不稳定的电子或质子束团，或进行换束操作。对于束团缺失是由于引入束团间隔引起的情况，在EicC的64组束团组合均设置相同的间隔时调节名义工作点的方法是一有效避免出现不稳定的措施。对于只在部分束团处设置间隔的情况，最好是将该位置对应的4个电子束团或7个质子束团均置为空束团。

3 结论

本文使用自主开发的束束相互作用模拟程序AthenaGPU与线性理论计算程序AthenaMatrix，对EicC在非对称对撞模式中可能出现的束团缺失现象进行了自洽的模拟分析与理论计算。

在电子束团存在缺失现象时，缺失任意数目的束团不会引起束流的不稳定，只会改变束流在平衡态时取得的亮度与亮度衰减速率；缺失质子束团可能会引起偶极不稳定与四极不稳定，在调节名义工作点使束流离开共振区后可避免出现偶极或四极不稳定，但不一定能抑制束团缺失对亮度的负面影响。对EicC来说，允许出现电子束团缺失的现象，对于质子束团发生缺失的情况，若该情况是由于在注入过程中的束团损失引起，可选择踢除相关的不稳定束团或进行换束操作来避免不稳定带来的影响，若由在束团间设置间隔引起，可选择调节名义工作点的方法来避免不稳定。