黄 猛，周 凯，潘 磊，李海滨，王来智，周建新

(1.南京工业大学 机械与动力工程学院，江苏 南京 211816； 2.盘锦市辽河油田 天意石油装备有限公司，辽宁 盘锦 124010； 3.宝鸡石油机械有限责任公司，陕西 宝鸡 721002)

引 言

随着钻井技术的进步，定向井技术与水平井技术已经广泛地应用于石油、天然气和煤层气的开发[1]，同时中靶精度也在不断地提高，可实现在1 m厚的薄储层中随储层波状钻进。在钻井施工过程中，不仅要实时掌握实钻轨迹的坐标位置及井眼方向，还要与设计轨道进行对比，分析实钻轨迹与设计轨道的相符程度及其变化趋势，以便及时采取调整措施，确保中靶并保持良好的井身质量。靶点坐标决定了靶平面的位置，而靶面是以一个目标点作为靶心所确定的一个平面范围，靶面主要有水平靶和铅垂靶[2]。刘修善教授给出了靶平面通用方程，可表述靶平面的任意摆放姿态。使用时，只需将靶平面的法线方向取为特定数值，即可呈现出定向井的水平靶和水平井的铅垂靶[3]。为此，参考井斜角和方位角的定义，可将靶平面的法线方向与铅垂方向和正北方向的夹角分别定义为法线井斜角αz和法线方位角φz[4]。常规定向井的靶区是以靶心为中心的水平面上的圆形；常规水平井的靶区称为靶体更合适，是一个与设计水平井眼垂直的铅垂面内的矩形靶窗及其沿井眼方向延伸所形成的长方体(柱状体)[5]。曹孟鑫等提出圆柱螺线插值方法，推导出设计靶方位和靶位移计算方法，研究适合井斜大于85°井的多靶点评价方法[6]。冯小科利用法面坐标给出了多控制点水平井靶的外边界曲线的数学定义，推导出了设计轴线弯曲井段为空间圆弧曲线外边界曲线的具体计算公式[7]。王志月等建立了一种空间圆弧多目标井靶区轨道设计方法，给出了详细的解析计算公式[8]。李子丰建立了椭圆形和圆角矩形靶区渐变的数学模型，从而实现了定向井靶区与水平井靶窗的统一[9]。

基于上述文献结果，铅垂直井的靶平面为水平面，定向井的靶平面一般为圆形区域，水平井的靶平面一般为铅垂面。但对于目标点处的井眼轨迹而言，定向井轨迹的井斜角一般不为0°，水平井轨迹的井斜角不一定为90°，因此，对空间任意圆靶的研究更具普遍性。本文以空间解析几何学和井眼轨道几何学为基础，推导了空间任意法向圆靶的参数方程，在此基础上，推导了水平井靶体的计算公式，并使用LabVIEW进行了空间任意圆靶和水平井靶体的可视化编程。

1 定向井圆靶数学模型

定向井中靶时，是以靶点为圆心，空间任意平面上的圆形区域。确定圆形区域的范围大小关键是求解圆的参数方程。当设计的靶点坐标、靶区半径和靶平面的法线井斜角、法线方位角已知时，就可以通过空间解析几何的相关知识，求得圆靶的精确参数方程。

设靶点t的坐标为(Nt,Et,Ht)，圆靶的半径为r，法线井斜角αz和法线方位角φz均为已知量。这就转化为已知圆心、半径和圆所在平面对应的一个法向量，求解该空间圆的参数方程[10]。

先求出这个圆所在平面的一个向量u

再求一个与n，u都正交的向量v=n×u，向量v显然也在圆所在的平面上

再把u、v都化为单位向量

于是圆的参数方程为(即圆上任一点P的坐标)：

N=Nt+r(sinφzcost+cosαzcosφzsint)，

(1)

E=Et+r(-cosφzcost+cosαzsinφzsint)，

(2)

H=Ht-rsinαzsint。

(3)

式中：N为北坐标，m；E为东坐标，m；H为垂深，m；r为半径，m；角度的物理单位为rad；t的取值范围为[0,2π]。

刘修善教授[4]根据靶平面过靶点t，和由αz、φz确定的法线方向，给出靶平面的方程：

sinαzcosφz(N-Nt)+sinαzsinφz(E-Et)+

cosαz(H-Ht)=0。

(4)

与文献[4]相比，本文推导出了空间圆靶任意一点的参数表达式，对靶平面通用方程进行了细化和补

充，并且方便计算机编程绘图。

2 水平井靶体数学模型

使用最多的水平井靶由2个控制点A和B所确定(参见图1(a))，A点处靶窗矩形宽为2wA、高为2hA，其中±wA和±hA分别为A点的横向和纵向允许设计偏差[7]。B点处靶窗矩形宽为2wB、高为2hB，其中±wB和±hB分别为B点的横向和纵向允许设计偏差。

图1 水平井靶示意图Fig.1 Schematic diagram of horizontal well target

假设第一个控制点A的空间坐标为(Nt1,Et1,Ht1)，横向偏差为w1，纵向偏差为h1；第二个控制点B的空间坐标为(Nt2,Et2,Ht2)，横向偏差为w2，纵向偏差为h2[11]。则靶窗上的顶点都能根据解析几何学的知识求其具体的空间坐标。首先，在靶窗平面上，以靶窗中心为坐标原点建立局部二维坐标系，横轴与水平面相平行，如图1(b)所示。

从图1(b)可以计算得到矩形边框的4个顶点具体坐标，下面给出计算方法和计算结果。在平面几何里，一个直角三角形可以外接一个圆，即一个矩形也可以外接一个圆。根据公式(1)、(2)、(3)可得第一个靶点即第一个控制点A所对应的圆靶参数方程：

(5)

式中：

圆心角为π+φ；M4所对应的圆心角为2π-φ。用计算得出的4个已知角度，代替公式(4)中的参数t，即可求出第一个靶窗的4个顶点坐标。同理，亦可用相同的方法求出第二个靶点即第二个控制点B所对应的靶窗矩形的4个顶点空间坐标。

3 软件、绘图算法及算例

依据上述数学模型和方法，利用LabVIEW软件实现对定向井靶区和水平井靶体的计算和绘制。首先，根据给定的靶点t的坐标为(Nt，Et，Ht)，圆靶的半径为r，法线井斜角αz和法线方位角φz，绘制出空间圆靶区。

然后再根据给定的2个关键控制点(即靶窗和靶底的靶点)的相关参数，进行靶体参数计算，得出靶体的8个顶点空间参数坐标，需要将这些离散点一一对应，用线段连接即可。此外,还需要绘出第一个和最后一个控制点处的靶窗矩形。

绘制水平投影图则离散点的Z坐标均相等，只需要绘制离散点(X,Y)即可。如果是绘制垂直投影图，假设投影方位角为φ0，对每个离散点(X，Y，Z)，计算视平移

V=Xcosφ0+Ysinφ0。

(6)

绘图时绘制离散点(V，Z)。

图2是LabVIEW实现空间圆靶绘制功能的程序框图，使用for循环得到圆上足够多的离散点，使得相邻2个离散点之间的距离足够小，从而实现点到线的视觉效果[12]。

图2 圆靶的程序框图Fig.2 Program block diagram of circular target

图3是实现长方体靶绘制功能的部分程序框图。对于计算机的物理内存而言，创建一个数组就是开辟一块内存空间，将这组数据按次序存储在这块空间内。“创建数组”函数是多态函数，可以连接多个标量、数组，或者向数组添加元素[13]。将8个顶点的坐标分别用“创建数组”连接，形成最终的数组，传递给图形显示控件。

图3 长方体靶的部分程序框图Fig.3 Partial program block diagram of cuboid target

为了验证本文的计算方法是否正确，笔者使用辽河油田的双229-35-49、洼77-H3两口井轨迹设计要求和靶区数据对LabVIEW的编程结果进行验证，两口井的靶区基本状况见表1和表2。

表1 双229-35-49井轨迹设计要求Tab.1 Trajectory design requirements for well Shuang 229-35-49

表2 洼77-H3井轨迹设计要求Tab.2 Trajectory design requirements for well Wa 77-H3

对于圆靶，选用表1的靶点处的数据进行验证，取αz=0°，φz=37.83°，靶区半径r=15 m，则圆形靶计算和绘图结果如图4(a)。从表1和图4(a)可以看出,该井的方位无变化,利用笔者提出的方法,靶区的垂直投影图和水平投影图直观、明了,在实际钻井过程中,具有较好的井眼轨迹预测和控制作用。

对于水平井长方体靶，由于长方体靶太长(A-B点之间)，整体画图后会不清晰，本文对长方体靶绘图做了如下处理。选取表2中控制点K和控制点J进行验证，取αz=90°，φz=78.83°，控制点K的空间坐标为(-333.7，1 198.2，2 677)，控制点J的空间坐标为(-317.47，1 276.81，2 675.59)，水平井长方体靶靶体姿态参见图4(b)。从表2和图4(b)可以看出,该井的方位变化较大,钻井时需要进行扭方位处理。靶区的垂直投影图和水平投影图与设计要求还是符合得很好,对实际钻井具有较好的提示和指导作用。

图4 双229-35-49井和洼77-H3井靶区LabVIEW编程绘图结果Fig.4 LabVIEW programming drawing results of target areas of wells Shuang 229-35-49 and Wa 77-H3

4 结 论

(1)基于空间解析几何和井眼轨道几何学的相关知识，推导了多目标定向井靶区的空间任意圆靶的参数方程。

(2)确定了水平井靶体的靶窗和靶底的计算公式，包括靶窗和靶底平面上顶点的具体空间坐标。

(3)使用LabVIEW2018软件对辽河油田的钻井靶区数据进行了编程，实现了对定向井和水平井靶区三维图形、水平投影图和垂直投影图精确地绘制。