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组合图形面积计算中的错例回收与利用

2022-09-30江苏苏州市吴中区胥江实验小学215164郑介良

小学教学参考 2022年20期
关键词:梯形错误面积

江苏苏州市吴中区胥江实验小学(215164) 郑介良

学生的错误本身没有价值,师生从错误中汲取的经验教训才是其价值所在。在新授课之前,教师要预估学生可能犯下的错误,及早采取预防措施,尽量减少错误的发生率;调整策略,让学生的错误全部曝光,并让学生正视自己的错误,认真反省,汲取教训。

一、课前错例分析

在学校举办的教研活动中,笔者教学的是“组合图形的面积”。组合图形的面积是一个教学难点,但课时又相对少。教材的编排是先让学生认识组合图形,再通过例4(墙面面积的计算)引导学生将组合图形分解成基本图形,然后展示两种算法(两种算法均为裁剪法,添补法出现在练习中),借此传递算法多样性和算法的优化。

如果教学目标仅仅是将组合图形切割或者添补成一个规则图形,就浅薄和短视了。因为求组合图形的面积有很多方法,不能让学生拘泥于一种模式,要为学生精心准备素材,体现多样的分割方法,思维训练要有序展开、分层推进,以激活学生的想象力和创造力,让学生清楚地意识到,分割也是有讲究、有分寸的,要根据题干条件合理分割,分割的原则是最后需要单独计算面积的区块最少。

例如,求图1的图形面积。

图1

【错解】(5+10)×(4.5+6)÷2=78.75(cm²)。

【原因分析】学生简单地将两个梯形合并成一个梯形,遗漏了中间的“公共底边”,其实两个梯形的斜腰并不在一条直线上。造成这种错觉是情有可原的,因为很多学生只关心上底、下底和高,而忽视梯形的斜腰。例如,图2也会被学生误认为是梯形,于是(2+7)×5÷2=22.5(cm²)这样的错误算式就出现了。对此,教师应该注意培养学生对组合图形的观察能力,通过眼力将其准确完美地“分割”到位。

图2

图1中的两个梯形组合所得不是一个新的梯形,但学生却在寻找捷径的心理暗示下,以为其组合成了新的规则图形(大梯形),想利用公式一次性搞定,结果却是走了冤枉路。教师如果教学时一味强调图形面积求法的技巧性和灵活性,就会造成这样的结果。因此,教师教学时不能急功近利,要引导学生从基础的分析入手——先判断组合图形是否具备可转化性。

二、教学前测与预设

在教学“组合图形的面积”前,笔者对学生做了一次前测。

1.预习目标:(1)能自述什么是组合图形;(2)初步谈谈怎么求组合图形的面积。

2.自学指导:

(1)课本第92、93页提供的组合图形有何独特之处,又有哪些一般组合图形的共性?我认为组合图形是_________________。

(2)尝试解答课本第93页的“练一练”中的习题,不会的做上记号。

(3)计算组合图形的面积时有何细节?你还有其他问题吗?

前测结果显示,对于“什么是组合图形”这一问题,由于生活中的实例较多,所以学生回答起来没什么难度;对于“计算面积时的细节”和“还有什么问题”,47.6%的学生在意计算,25.6%的学生在意公式,都没有切中要害,16.6%的学生则注意是分割还是添补,有2名学生提出应该先求出图中未知的条件,仅有1名学生在意分割的准确性和整体性。经过访谈发现,有些学生只会计算已经画好分割线的组合图形的面积。

教学后,学生的算法呈现多样化,但是并没有寻求最优解的意识。这是因为笔者是顺着学生的思维,从众多方法中选择合适的开展教学,然后进行“三步走”:先算什么,再算什么,最后相加(或减)。因此,课后笔者不由得思考:为什么不将错误收集起来集体研究?为什么要逃避眼前的分歧?解决问题追求的不仅是答案的正误,重要的是解决问题过程中的探索与思辨。

鉴于以上原因,笔者重新设计了教学:收集学生的错误资源,并公之于众,集体讨论,将错误当成典型的反面教材,以作警示。

错误并不可怕,可怕的是对错误蕴含的教学价值视而不见。学生犯错必然是教师的教学存在盲区,如果教师一直按照基本模式出题,久而久之,学生就会形成路径依赖,一旦遇到变式问题,就会执拗地使用老方法,不知道根据各图之间的关联从已知的必要条件推出未知的必要条件,分割时不知道优化,不知道尝试不同的分割方式,找不到最优的分割方式……这些短板想靠习题训练补齐几乎不可能,因为题型千变万化,没有固定的模式可依,唯一的办法就是抓住一个错例深入挖掘和持续进行矫正训练。

三、教学实施及策略

1.正视错误,学会“留白”

例如,对于图3,学生尝试分解组合图形,先提出了横切法和纵切法(如图4和图5);接下来,学生想到斜切法(如图6),这种错误分法令人猝不及防。

图3

图4

图5

图6

“到底对不对?大家集体商讨。”笔者没有急着否定斜切法。

教室鸦雀无声。过了一会儿,有学生小声嘀咕:“这个好像不是梯形。”“对,这不是梯形!”支持的人渐渐多起来。笔者笑着问:“谁来具体说一说?”学生:“我觉得分割得出的图形算不上一个标准的梯形。”笔者继续说:“乍一看像一个梯形,但真相并非如此,被分出的不是一个基本图形,所以这种分法不合理。”

按惯例,笔者会不由分说马上推翻学生错误的想法,但这次则留白,让学生慢慢去观察对比。这个错误分法中确实存在合理因素,图6的右边部分貌似具有梯形的部分特征。对此进行辨析和充分讨论后,学生对梯形特征的认识就会更加清晰。

教师总是企图将错误的分割法扼杀在萌芽状态,刻意回避,生怕这种带有“歪理”的切割法会干扰学生的思维,影响教学秩序。殊不知,越是隐藏这种错误带来的危害就越大,学生思维中潜伏的错误因子会不定期爆发,就像一个定时炸弹威胁着其正常思维的发展,不如及早暴露及早解决。将错误推翻后,学生就会吸取教训,弥补思维缺陷。

2.容纳错误,让学生各抒己见

针对学生得出的图4、图5和图6,笔者追问:“还有别的分法吗?”一位学生画出了图7。这早在笔者预料之中。“到底对不对?”很快,就有学生发现了破绽:“下面的图形面积算不出来。”受他的提示,有学生幡然醒悟。“看来,这个图形不是一个常见图形,它的面积没有公式可依,这种分法不当。”他思忖一会儿,说:“再加一条线(如图8),可以补救。”这回得到大家的一致赞同。笔者继续追问:“这样分成了三个三角形,你们有异议吗?”有学生觉得烦琐。“如果能够分割成两个,就没必要分成三个自找麻烦了。”笔者又问:“分割时要遵循什么规则?”学生开始议论纷纷:“分割成的每个图形要有公式可依。分割得出的区块越少越好。”

图7

学习中的困难和错误,有时正是智慧之光,教师既要宽待学生的错误,又要去剖析、补救和修正,在丝丝入扣的分析后,总结出“要根据条件尽量选择简单的方法”的解题策略。这样,学生学到的不仅是技巧,更是一种思想方法。同时,在集体商讨的过程中,学生互相取长补短,不断自我反思,不断改进方法,完善认知。最后,通过交流,学生学会了批判性地看待问题。

3.剖析错误,变废为宝

在学生修正错误后,笔者又问:“还有别的分法吗?”学生画出图9。“这样分,简单。”许多学生都认同这个方法。因为这种分法很有迷惑性,所以笔者让学生反思。“不对,简单是简单,但是无法计算面积。”果然,有学生看出漏洞。“为什么?”“这样分出的三角形的底就是一个无法推知的未知量。”“如此一来,三角形的面积有求解的可能吗?”“没有。”笔者继续追问:“梯形的面积有可能推算出来吗?”“不能,因为上底也成了一个永远无法知道的未知量。”这时,其他学生也醒悟了:“是的,这样就出现许多未知量,这种分法应该排除。”笔者继续追问:“那么,分割图形时还应满足什么要求?”学生纷纷发表意见:“所有的必要条件必须能够算出来。”“图形的底、高要知道。”……“很好,看来能够分成规则图形还不够,光简单也不够,还要可操作。”笔者总结道。

图9

对于这个意料之中的错误,教师让学生自己发掘,学生的思维能得到发散,就会想到更深层次的要求。这种错误带来了三方面的积极效果:纠正错误——学生发现分法的确简单,但是不具备操作性;学法指导——在分析错误的过程中,利用互评让学生不仅认识到错误,还找出错因;培养学习习惯——在辨析的过程中,要学会倾听别人的意见和观点,不断反思和完善自己的想法。

总之,错误总是与成长相伴左右的。面对学生的错误,教师要宽容,不能畏惧,而应顺着错误资源不断深挖彻查,让学生为了查找错因和修正错误而不断深入探究。

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