甘朝晖，吴 骞，尚 涛，杨朋杰

(1. 武汉科技大学信息科学与工程学院，湖北武汉 430081；2. 武汉科技大学人工智能学院，湖北武汉 430081)

1 引言

忆感器是由蔡少棠教授和Ventra等人于2009年首次提出的元件[1]，其与忆阻器和忆容器一起被称为记忆元件。目前，已经有学者提出了一些整数阶忆感器的数学模型和电路模型，并基于这些模型对忆感器或者含有忆感器的非线性电路进行了相关的研究[2-5]。分数阶忆感器是整数阶忆感器的拓展，关于分数阶忆感器的研究目前还比较少，本文将对分数阶忆感器的建模方法进行研究。

Volterra级数是一种泛函级数，最早可以追溯到1887年意大利数学家V. Volterra关于解析泛函的工作，该级数是Taylor级数的一种推广，可看作是具有记忆效应的Taylor级数[6]。作为目前非线性系统建模最有效的方法之一，Volterra级数在电子工程、机械工程等领域已经得到了广泛应用[7]。

已经有研究人员将Volterra级数引入到记忆元件的建模研究中。Chao Ma等人研究了基于Volterra级数的忆阻器建模方法[8]，该方法根据忆阻器的特性对输入信号的幅值设置了几个阈值，并利用这些阈值将输入信号分解成多个子信号，然后用分段Volterra级数时域核对每个子信号进行处理，最后重新组合在一起产生输出。该研究开拓了基于Volterra级数的记忆元件建模方法，但其仅仅是针对忆阻器进行的建模研究，还未见到基于Volterra级数的忆感器建模方法发表。因此，本文提出了一种基于Volterra级数的分数阶忆感器时域建模方法，这对记忆元件家族的研究具有一定的指导意义。

2 分数阶忆感器

2.1 忆感器基本理论

Ventra和蔡少棠教授等人在忆阻器的基础上拓展出了记忆元件的概念，并指出忆感器是记忆元件中的基本元器件之一，其定义的流控忆感器如下[1]

(1)

其中，i(t)表示通过忆感器的电流，φ(t)表示忆感器的磁通，Lm为忆感器的忆感值。

Biolek等人根据流控忆感器的定义，提出了如图1所示的忆感器物理模型[4]，并根据其原理，推导出其数学模型。该忆感器模型是电感值可以变化的电感，有两个固定端子和一个可移动端子。

图1 忆感器物理模型

当有电流流过其中一个固定端子和可移动端子时，可移动端子会在激励电流的作用下左右移动，此时左端固定端子和移动端子之间的线圈匝数会发生改变，进而导致忆感器的忆感值发生改变。其模型如式(2)所示

(2)

其中，Lmin为可移动端子移动距离最小时，即l=lmin时忆感器的忆感值，Lmax为可移动端子移动距离最大时，即l=lmax时忆感器的忆感值。x(t)为忆感器的内部状态变量，k为滑动比例因子，是一个常量，与忆感器材料有关，i(t)为流过忆感器的电流，f(x)为忆感器模型中表征滑动端滑动情况的窗函数。具有不同窗函数f(x)的忆感器就会表现出不同的电气特性。

2.2 分数阶忆感器模型

分数阶忆感器是整数阶忆感器的拓展，其阶次可以为任意的实数或复数。与整数阶忆感器模型相比，其最显著的优点在于分数阶忆感器模型的自由度更高，而忆感器是一种有记忆功能的非线性电感。因此，构建分数阶忆感器模型具有一定的合理性。

本文在分析了Biolek等人所提出的整数阶流控忆感器模型的基础上，研究一种带有非线性窗函数的分数阶流控忆感器模型，其模型如式(3)所示

(3)

其中，α为描述忆感器内部状态变量x的分数阶微分方程的阶次，k为滑动比例因子，是一个取决于忆感器材料的常量，i(t)为流过忆感器的电流，1/x为非线性窗函数，Lm为忆感器的忆感值，Lmin为忆感值的最小值，Lmin为忆感值的最大值。当分数阶阶次α不同时，忆感器会有不同的响应特性。

3 分数阶忆感器时域建模方法

3.1 非线性系统的Volterra级数时域模型

对于线性系统，输入与输出的时域关系可用卷积运算来表示，如式(4)所示

(4)

其中，u(t)和y(t)分别为输入和输出信号，h(t)表示系统脉冲响应函数。

而非线性系统可以应用Volterra级数来描述它的模型，如式(5)和(6)所示

…

即有

(5)

式(5)为非线性系统在时域内的Volterra级数表示形式，u(t)和y(t)分别为系统输入和输出信号，hn(τ1，τ2…τn)为系统的n阶Volterra级数时域核函数，简称时域核，又称系统的n阶广义脉冲响应函数(Generalized impulse response function，简称GIRF)。

将式(5)进行离散化处理，得到如式(6)所示的非线性系统在时域内的Volterra级数离散表示形式。

u(t-m1)u(t-m2)…u(t-mn)

(6)

在实际问题的求解过程中，通常把无穷项化简为有限项进行模型求解，化简之后的模型依旧能够表达非线性系统的本质特性，如式(7)所示

(7)

其中，n为待测系统的阶次，L为Volterra级数的记忆长度，mn为Volterra级数核状态变量，hn(m1，m2，…，mn)为n阶Volterra级数时域核，y0为系统的零初始状态响应，y(t)为系统输出信号，u(t)为系统输入信号，e(t)为截断误差。

3.2 分数阶忆感器的时域建模方法

首先对本文研究的分数阶忆感器模型进行采样。采样数据的输入信号为流经分数阶忆感器的正弦波电流激励信号i(t)，输出信号为分数阶忆感器的磁通φ(t)。根据分数阶忆感器采样数据设计出分数阶忆感器的Volterra级数时域模型表达式为

φ(t)samp=I(t)samp·hn+e

(8)

其中，φ(t)samp为分数阶忆感器采样数据的输出信号矩阵，I(t)samp为分数阶忆感器采样数据的输入信号矩阵，hn为对应的n阶Volterra级数时域核，e是截断误差。

Volterra级数时域核hn的矩阵如式(9)所示

hn=[h1(0)，…h1(L)，h2(0，0)，…h2(L，L)，

…，hn(0，…0)，…hn(L，…L)]

(9)

输入信号矩阵如式(10)所示

(10)

其中，i(·)为分数阶忆感器的输入电流信号，m为分数阶忆感器的样本数量，L为Volterra级数的记忆长度，n为Volterra级数的阶次。

输出信号矩阵如式(11)所示

φ(t)samp=[φ(L+1)φ(L+2) …φ(L+m)]T

(11)

为了计算出时域核，列出如式(12)所示的误差函数

f(e)=eT·e=(φ(t)samp-I(t)samp·hn)T

·(φ(t)samp-I(t)samp·hn)

(12)

使用最小均方差方法得到Volterra级数时域核的表示式，如式(13)所示

=(IT(t)samp·I(t)samp)-1·IT(t)samp·φ(t)samp

(13)

根据式(13)就可以得到分数阶忆感器的时域模型

φ(t)pre=·I(t)pre

(14)

其中，φ(t)pre为预测的分数阶忆感器输出信号值，I(t)pre是用于预测的分数阶忆感器输入采样信号。

4 仿真研究

本节使用本文所提出的方法来得到分数阶忆感器时域模型的预测曲线，以验证本文所提方法的有效性。所有实验都是在Matlab R2010b仿真环境下完成的。

图2 不同阶次的分数阶忆感器的φ-i特性曲线

在实验中，样本点数量m=100，使用的Volterra级数的控制参数分别为：记忆长度L=3，阶次n=3。当分数阶忆感器的阶次分别为α=0.4，0.5，0.7时，对分数阶流控忆感器的模型曲线进行采样，得到三组采样数据。根据Volterra级数建模理论，得到如图2所示的分数阶忆感器的时域模型预测曲线。

图3 L取不同数值时分数阶忆感器的时域模型曲线

从图2可以看出，三组不同阶次的分数阶忆感器的时域模型预测曲线与采样数据曲线重合度都很高，能准确描述分数阶忆感器的φ-i特性。下面依次分析记忆长度和阶次这两种控制参数对分数阶忆感器时域模型的影响。

4.1 记忆长度对分数阶忆感器时域模型的影响

本节实验中，记忆长度L分别取1、2和3，Volterra级数的阶次n取值3，样本点数量m=100。当分数阶忆感器的阶次a=0.5时，得到的分数阶忆感器时域模型的曲线如图3所示。

由图3(a)可以看出，记忆长度L为1时，预测曲线与采样曲线相似度不高，在原点附近有较多的离散点与采样数据有较大的误差，不能完全反映实际采样曲线。由图3(b)可以看出，记忆长度L为2时，预测曲线与采样曲线重合度相比L=1时有了较大的提高，能够在一定程度上描述出实际的采样曲线。由图3(c)可以看出，记忆长度L为3时，预测曲线与采样曲线已经高度重合，能够完全描述出实际采样曲线。因此，当要求精度较低时，记忆长度L的值可以取2，当要求较高精度时，记忆长度L的值一般取3。

4.2 Volterra级数阶次对分数阶忆感器时域模型的影响

对于非线性系统而言，Volterra级数的阶次越高，越能反映实际系统的真实特性。为了验证Volterra级数的阶次n对分数阶忆感器时域模型的影响，控制参数取值分别为：记忆长度L=3，Volterra级数的阶次n分别取1、2和3时得到的分数阶忆感器的时域模型曲线如图4所示。

图4 n取不同数值时分数阶忆感器的时域模型曲线

由图4(a)可以看出，Volterra级数的阶次n为1时，预测曲线与采样曲线完全不重合，与采样曲线偏离较多，无法反映出原系统的特性。由图4(b)可以看出，当Volterra级数的阶次n取2时，预测曲线虽然可以显示出分数阶忆感器的滞回特性，但预测曲线与采样曲线有一定的偏离，不能准确预测采样系统的真实特性。由图4(c)可以看出，当Volterra级数的阶次n取3时，与采样曲线的重合度较高，描述精确度较高，可以较为准确反映出实际系统的真实特性。

5 结束语

本文提出了一种基于Volterra级数的分数阶忆感器时域建模方法，根据仿真可知该方法能够较为准确地描述待预测模型的特性曲线。详细分析和研究了Volterra级数的阶次、记忆长度这两种控制参数对分数阶忆感器时域模型精度的影响。后续的工作将研究分数阶忆感器的频域建模方法，以便更加深入地研究分数阶忆感器在非线性电路中的特性。