简益梅，许承东，王倚文，彭雅奇

(1. 北京理工大学宇航学院，北京 100081；2. 北京空间飞行器总体设计部，北京 100094；3. 中国直升机设计研究所天津直升机研发中心，天津 300000)

1 引言

电离层延迟是卫星导航定位的重要误差源之一，在GPS测量中，天顶方向的电离层延迟误差可达2～10m，而在接近地平方向产生的测量误差甚至可以达到150m。发生电离层延迟的主要原因是导航电磁波穿过电离层时电磁波发生折射，使电磁波传播方向和传播速度发生改变，相对真空传播，产生的电离层折射误差。

国内外学者对改正电离层延迟进行了大量的研究，目前改正电离层延迟的模型主要有经验模型、双频改正模型和实测数据模型三大类。其中，Klobuchar模型属于经验模型中应用比较广泛的一类模型。经过多年观测验证，它的有效性和实用性得到了认可，是一种被广泛采用的电离层延迟改正模型。Klobuchar模型基本上反映了电离层的变化特性，但其不足之处是改正精度仅能达到50%至60%，已不能满足日益增长的精度需求。

为提高模型改正精度，大量学者对此进行了研究。文献[7]在不增加参数的前提下，通过改善夜间项和余弦项的振幅，建立了极地地区单频全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System，GNSS)用户的修正Klobuchar模型；文献[8]在对各种适用范围较广的模型精化方案进行归纳的基础上，提出了一种适用于不同尺度区域的 Klobuchar-like模型；文献[9]通过采用最小二乘拟合对初始相位和振幅进行改正，建立了适用于小区域的Klobuchar电离层延迟改正模型。

国内外大部分的研究成果从各个方面对 Klobuchar模型进行改进，虽较原模型精度有所提高，但仍存在着对电离层整体改正率不高，模型适用范围有限等缺陷。在对Klobuchar模型电离层总电子含量TEC(Total Electron Content)研究时，通过与国际GNSS监测评估系统(International GNSS Monitoring & Assessment System，iGMAS)的电离层产品对比，发现Klobuchar 模型预报TEC值的误差中存在一些周期性的规律现象。广义回归神经网络(GRNN)在时间和空间上有较强的预测能力，文献[11]提出了一种基于GRNN的电离层电子总含量的建模方法，并结合算例分析初步验证了该方法的可行性和有效性，但存在精度不高，模型性能表现不稳定等问题。不同于文献[10]，本文将用GRNN建立TEC的误差预报模型，但试验时发现针对短期预报利用的数据样本不够丰富，因此，提出一种基于最小二乘法原理的K-折交叉验证方法以寻找GRNN中的最优径向学习速度参数，不同的径向学习速度自适应不同经纬度地区，得到解算误差并补偿到Klobuchar模型，以提高电离层延迟的改正精度。

2 Klobuchar模型误差分析

2.1 总电子含量(TEC)

沿路径长度的电子密度称为总电子含量，其定义为

(1)

TEC以电子/平方米为单位或以TEC单位(TECU)来表示，这里的1 TECU定义为10电子/平方米。天顶方向总电子含量叫做VTEC(Vertical TEC)，TEC与VTEC的关系可通过投影映射函数得到。

图1 Klobuchar电离层模型VTEC误差

2.2 经典 Klobuchar 电离层模型

Klobuchar电离层模型是根据中纬度地区大量的实验资料拟合得到，其夜间电离层天顶时延设为常量5ns(VTEC值为9.23 TECU)，在白天可用本地时余弦函数来近似表示，将每天电离层的最大影响确定为当地时间14：00，基本上能够反映电离层的变化特性，从大尺度上保证电离层预报的可靠性。GPS采用8参数Klobuchar模型基于地磁坐标系，用Klobuchar模型的8个参数和穿刺点的地磁纬度进行计算，并通过映射函数将天顶电离层延迟投影至传播方向

(2)

式中为以为单位的垂直方向时延；为以为单位的接收机至卫星连线与电离交点处的地方时；=5×10为夜间的垂直延迟常数；为白天余弦曲线的幅度，由广播星历中的系数求得，具体有

(3)

图2给出了不同纬度下单点的10天内电离层VTEC变化，从图中可以看出在不同纬度条件下电离层VTEC变化有差异，低纬度区域拟合效果最好，中纬度区域和高纬度区域拟合效果较差，Klobuchar模型的预报精度也不够精确。

初始相位对应余弦曲线极点的地方时，一般取为50400，为余弦曲线的周期，根据广播星历中系数求得。其中

(4)

式中为电离层穿刺点的地磁纬度。

通过Klobuchar模型可求得天顶电离层时延，利用式(4)即可得到广播星历预报的VTEC

(5)

其中为光速，为测量时延时相应的频率。

2.3 iGMAS 电离层产品

iGMAS导航数据分析中心利用分布在全球的观测站资料解算电离层TEC分布图，并从当日UTC0起每隔两小时生成一张TEC地图产品，全天共12张，其沿纬度和经度方向的数据点间隔分别为2.5°和5°，最后以IONEX(Ionospheric Map Exchange，IONEX)格式对外发布。iGMAS能够提供高精度的全球电离层延迟模型事后产品，到无论是时空覆盖率还是精度都是相当高的水准。因此本文将iGMAS的最终产品作为客观标准，在此基础上进行误差分析。

2.4 误差分析

图1给出了GPS L1信号频率下，2020年2月13日14点的Klobuchar模型VTEC预报误差。从图中可以看出Klobuchar模型给出的VTEC与iGMAS的精密VTEC相比之下较粗糙，Klobuchar模型能大致拟合VTEC分布，且在低纬度地区的拟合情况相对较好，但在中纬度地区和高纬度地区存在着不小的误差。

图2给出了不同纬度下单点的10天内电离层VTEC变化，从图中可以看出在不同纬度条件下电离层VTEC变化有差异，低纬度区域拟合效果最好，中纬度区域和高纬度区域拟合效果较差，Klobuchar模型的预报精度也不够精确。

图2 不同点处电离层VTEC变化情况

图3给出了中纬度一点(30°N，90°E)在不同季节下一周内电离层VTEC变化，从图中可以看出Klobuchar模型能大致拟合其变化趋势，且由于太阳光照、地球运动等因素，不同季节下的VTEC变化情况也不一样，夏季拟合效果较好，春、秋和冬季较差。同时，从图3中也可看出Klobuchar模型与iGMAS精密产品的误差呈现出了一定的周期性变化规律，尤其秋季和冬季更为明显。

图3 不同季节电离层VTEC变化情况

3 改进广义回归神经网络误差预测模型

3.1 广义回归神经网络

1991年D.F.Specht博士提出广义回归神经网络，它是径向基网络的变种。GRNN建立在非参数回归的基础上，以样本数据为后验条件，执行Parzen非参数估计，依据最大概率原则计算网络输出。

GRNN具有很强的非线性映射能力和柔性网络结构以及高度的容错性和鲁棒性，适用于解决非线性问题。相较于径向基网络，GRNN在逼近能力和学习速度上有更强的优势。

GRNN在有4层结构，如图4所示，分别为输入层、模式层、求和层和输出层。

图4 GRNN结构

1)输入层

输入层神经元的数目等于输入数据向量的维数n，各神经元将输入向量直接传递给下一层神经元。

2)模式层

模式层神经元数目为输入数据样本的数目m，每个神经元接收不同的样本，模式层神经元的传递函数为

(6)

其中神经元的输出为输入数据与其对应的样本之间的欧氏距离平方的指数平方=(-)(-)的指数形式。式中，为输入；为第个神经元对应的输入数据样本。

3)求和层

求和层包含两种类型神经元。第一种是对所有上一层神经元的输出进行算术求和，计算公式为

(7)

与上一层神经元的连接权值均为1，传递函数为

(8)

第二种是对所有模式层的神经元进行加权求和，计算公式为

(9)

模式层中第个神经元与求和层中第个分子求和神经元之间的连接权值为第分输出样本中的第个元素，传递函数为

(10)

4)输出层

(11)

3.2 基于K-折交叉验证的GRNN电离层VTEC误差预报模型

GRNN是在径向基网络的基础上改进的，径向基网络是由输入层、隐含层和输出层构成，隐含层采用的径向基函数的阈值B能够影响输出对输入的响应灵敏度，但B本身不是训练GRNN的可见参数，在MATLAB内部，网络分布密度spread(S)起到了B的作用。根据文献[15]，B与S的关系为

(12)

通常情况下，S越小，函数的逼近越精确，但逼近过程会不平滑，网络性能差，可能导致过适应现象；S越大，函数拟合越平滑，但是逼近误差会变大，需要的隐藏神经元也越多，计算量也越大。因此本文提出利用K-折交叉验证(K-fold Cross Validation，K-CV)的方法来选取最佳S值。即，将训练数据分成K组，每个子集数据分别做一次验证集，其余K-1组子集作为训练集，以验证集的最小均方误差为性能指标，这样会得到K个模型下的最佳S，取这K个S的平均值作为GRNN电离层VTEC误差预报模型的最终S。在电离层TEC网格里，每一个点都能自动匹配最适合自身的S值。

具体实施步骤如下：

1)选取网络输入输出，本文将数据时序、穿刺点经度、纬度、周内秒、小时数以及Klobuchar模型计算出来的VTEC作为输入，故输入层有6个神经元；将VTEC误差作为输出；

2)归一化处理，不同的参数往往具有不同的量纲，这样的情况会影响到数据分析，因此需要对数据进行量纲统一；

3)数据分类与交叉验证，将用到的样本数据合理分为训练数据和测试数据，在训练数据中利用K-CV来寻找最佳S值；

4)将上一步得到的S值与样本数据训练GRNN模型得到基于K-折交叉验证的GRNN电离层VTEC误差预报模型。

4 试验与分析

为验证该模型的有效性和实用性，试验数据选取从武汉大学IGS数据中心获取的2020年8月21日起共10天广播星历数据，计算出Klobuchar模型与精密电离层产品的VTEC误差。考虑到电离层VTEC每隔两小时播报1次，为体现预报效果，将前7天的数据用于训练GRNN模型，故K-CV中的K值选为7，后3天的数据作为测试数据来评价该模型的预报效果。本试验选取包含低、中、高纬度的9个电离层穿刺点作为试验点，如图5所示，分别为

P1(0°,120°E)P2(0°,90°E)P3(0°,60°E)P4(30°N,120°E)P5(30°N,90°E)P6(30°N,60°E)P7(60°N,120°E)P8(60°N,90°E)P9(60°N,60°E)

图5 试验点选取分布图

试验时还加入了未优化S值的原始GRNN模型进行对比，试验结果如图6所示。从图中可以看到，原始GRNN模型对真实误差的预测效果差，仅能大致拟合变化趋势，在数值上存在较大差异，而改进后的GRNN模型在不同纬度的表现均优于原始GRNN模型，能较好拟合Klobuchar模型电离层VTEC值误差，且得益于优化的S值，在不同纬度表现均很稳定。

为进一步说明改进后GRNN模型的预测效果，表1中计算了该模型在不同穿刺点下的预测值的绝对值的均值偏差，并与原始GRNN模型进行比较。原始GRNN模型能够大致拟合Klobuchar模型中电离层VTEC值误差，但精度不高，误差补偿精度平均为47.7%，同时原始GRNN模型表现也不稳定，在9个试验点中，误差补偿精度最高达到80%，最差低至2%。而改进后的GRMM模型则表现得更稳定，误差补偿精度平均为62.4%，且能够在原始GRNN模型的基础上将再提升5%-30%，对Klobuchar模型的误差补偿精度为32%-89%。

图6 9个试验点的模型预测情况

表1 不同模型补偿精度提升情况

为更进一步说明模型的有效性，图7给出了中纬度一点(30°N，90°E)在不同季节下10天(2019年12月21日至30日；2020年3月20日至29日；2020年6月21日至30日；2020年8月21日至30日)的电离层VTEC误差值预测情况，不同季节下各选10天的数据，前7天用来训练，后3天用来预测，同样也与原始GRNN模型进行对比。

图7 不同季节模型VTEC预测情况

表2给出了对应的预测均值偏差，从表中数据可看出GRNN模型可有效补偿Klobuchar模型误差，且改进后的GRNN模型补偿效果更好，误差补偿精度为46%-90%，相对原始GRNN模型提升10%-20%。

表2 不同季节不同模型补偿精度对比

事实上，影响电离层VTEC值的因素非常多，除了地理位置和时间之外，太阳活动，宇宙射线等都会对其产生影响。随着对这些因素的不断了解深入，将相关因素也作为模型的输入参数以更进一步提高模型精度是下一步的研究方向。

5 结论

在利用Klobuchar模型计算电离层VTEC值时发现该模型计算得到的VTEC值与iGMAS提供的最终电离层产品中的值之间存在着一些周期性变化的规律，针对这一现象本文提出了一种改进GRNN对该模型VTEC值误差进行预测和补偿。在Klobuchar模型的基础上，利用改进GRNN模型对不同经纬度穿刺点和不同季节的VTEC误差进行预测，并与原始GRNN模型进行对比验证了本文提出优化方法的有效性和实用性。应用改进后的GRNN模型对本文选取的不同试验点的VTEC误差进行预测和补偿，可减小Klobuchar模型预报误差的32%-90%，对于减小导航系统级误差具有重要意义。