白保存，冯孝辉

(1. 航天系统部装备部项目管理中心，北京100094；2. 航天东方红卫星有限公司，北京100094)

1 引言

遥感星座设计是一个反复迭代，对各种备选方案权衡取舍的过程，这就涉及到权衡取舍所采取的标准，这种标准的选取直接决定了星座设计结果能否满足设计者的预期目标并发挥其既定的各项功能。因此，星座设计所面临的首要问题是建立星座方案的品质指标评价体系，通过该体系的建立，确定星座方案权衡取舍的标准，且该标准应当充分挖掘反映星座系统本身和运行维持过程中的种种内在特性。在卫星星座设计研究领域，星座方案所能提供的系统能力是设计和方案评价过程中人们最为关心，认为最重要的品质指标。根据不同的任务需求，国内外现有的研究成果主要分为以覆盖特性为核心的传统评价指标、基于导航精度的评价指标、卫星网络的连通性指标和路由策略、从星座实际运营角度提出的系统评价指标、功能复合型星座的评价指标、通用化的卫星星座系统构架描述和系统设计评价指标。

美国的GPS最早开展导航系统性能评估，继承了无线电导航领域的部分用以评定精度的一般方法，并在此基础上根据卫星导航系统本身的一些特点发展或修改了部分指标的定义，针对GPS、SPS和PS建立了一套比较完善的卫星导航系统性能评估体系。Karl Kovach等人对四大性能指标(精度、完好性、连续性和可用性)概念进行深入研究，在此基础上给出了四大性能指标关系模型。Heng L等人研究了2009-2011年间GLONASS空间信号误差的特性，结果表明GLONASS的长期稳定性良好，空间信号精度达1.5-4米。Oehler等人系统地提出了Galileo系统地完好性概念和相应的计算方法，奠定了Galileo的完好性研究基础。吕志平介绍了GPS通过更换更为先进的导航卫星、取消选择可用性、增加民用信号等措施后的卫星性能改进。陈金平在系统总结GPS广域增强系统和局域增强系统的基本原理和方法上，针对广域增强系统RAIM多故障问题，提出了基于漏检概率的方差放大的可用性分析方法，基于多元假设故障容错处理技术提出了在用户定位域进行LAAS多参考站故障检测和排除方法，提高了系统的可用性能。秘金钟提出了基于聚类分析的相关距离法的QR奇偶检校法的新型RAIM算法。

航天器编队构形重构的最优冲量控制本质上属于两点边值问题，应用哈密顿原理、母函数、正则变换以及Hamilton-Jacobi方程为两点边值问题提供了一种解法，该方法可应用于最优轨道交会，同样可应用于构形重构。从本质上说，编队捕获也可视作一种特殊的构形重构，其研究都可用于一般性的构形重构控制。

此外，许多针对在重构的研究基于LQR理论，Lyapunov函数等关注于脉冲控制用于重构。而考虑离子发动机技术具有轻质量，高脉冲和长持续时间等优点，可以将其应用于编队飞行重构操作。但是当前关于该应用方向的研究较少。Huntington和Rao将燃料最少消耗的四面体编队重构转化为多阶段非线性最优控制问题，并采用高斯伪谱法求解。Garcia-Taberner和Masdemont将有限元方法应用于圆形限制性三体问题框架的Halo轨道编队飞行重构任务中，显示了该方法的有效性，但是他们所研究的重构时间相对于日地系统L点Halo轨道周期较短(8小时和24小时)，因此实际上所研究问题的本质还是时不变系统，而针对近地编队飞行，重构时间相对于绕地周期往往较长，需要在数个轨道周期内完成，时不变系统方法并不直接适用于近地编队飞行的重构问题。因此，需要研究适用于近地编队飞行的重构优化方法。

Alfriend研究编队飞行构型初始化和重构的混杂策略，并首次提出闭环自主控制回路；McInnes在绕飞构型归一化描述的基础上，提出了两次脉冲速度增量实现绕飞的两种方案：在一种分层控制结构下，通过两种初始化方案的合理组合，可保证卫星群整体的初始化可在一个轨道周期内完成，从而降低了初始化误差。Xu构造保Hamiltonian结构控制器用以维持编队构型稳定。

国内的韩潮、邓丽等人采用网格点仿真法对卫星星座的覆盖性能进行了统计评估。徐敏等人应用视函数法和地心法建立了星座覆盖性能评定的数值仿真方法，并对星座的对地覆盖性能进行了数值仿真。刘会杰在其博士学位论文中对区域卫星定位系统卫星星座设计和星座系统性能评价的有关问题进行了研究。该文给出了两种覆盖性的定义，推导了相应的覆盖判据，并对两种覆盖性定义的等价性进行了证明；深入研究了DOP因子的物理含义和性质，利用矩阵特征值法推导了DOP因子最小化条件，利用几何效应矩阵证明了DOP因子对坐标变换的不变性，设计了基于m序列的组合计数算法对于DOP因子仿真计算，避免了矩阵求逆运算，从而选择出合适的星座构型。

陈晓宇等人针对卫星系统总体设计方案科学评估和论证问题，根据遥感卫星的应用模式和任务完成要求，研究了面向任务的遥感卫星综合能力评估技术，基于层次结构模型的特点和适用性，采用层次分析法建立卫星星座综合性能评估指标体系，在此基础上，通过静态评估体系、动态评估体系和运行维持性能三方面对星座总体性能和效能指标进行全面分析。王小康提出了一种基于IP协议的卫星通信系统评估要求和评估方法，并进行了评估测试。李维国等人根据我国战术卫星通讯系统的建立需求，提出了一种用模糊综合评判方法评估战术卫星通信系统的性能。

遥感星座通常对目标区域有一定的重访时间要求，因此最大或平均重访时间是其一个重要的品质评价指标，另一方面，卫星对地面的观测分辨率直接影响观测效果，它也应当作为星座的品质评价指标，观测分辨率与光学相机物理属性、卫星到待观测点距离及待观测点对卫星的最小可视仰角有关。

本文针对典型遥感星座的标称效能和星座受损后的性能损失的进行了具体研究分析。针对遥感星座在受到小规模损坏或者大规模冲击后的PDOP性能的具体损失，比较了受损前后的损失效果图，并据此提供了遥感星座的具体卫星备份策略；针对定位星座的性能，以时间分辨率为参考依据，比较了受损前后星座的时间分辨率变化值；针对观测星座的效能参数，分情况讨论了受损卫星为内星座或者外星座时的时间分辨率和覆盖时长变化情况。

2 遥感星座参数

遥感星座已经发射十余颗卫星，本节选取目前space-track网站已知的十五颗卫星中的十二颗作为有代表性卫星星座为例研究星座的整体特性。该星座卫星均为近地轨道卫星，轨道高度约为600km，偏心率很小，近似为圆轨道，保证了对全球中低纬度地区的均匀覆盖。标称轨道详细参数如表1所示，表中列出了2019年9月21日零时卫星星座在J2000坐标系下的位置。地面采样点以该星座的设计覆盖区域中国东部地区为主要目标，采用十六个采样点(表2)代表此区域。

表1 遥感卫星星座构型参数

表2 地面采样点位置

3 遥感星座的静态性能指标

卫星载荷视场角为60°，仿真开始时间为2019年9月21日0时，对地面十六个目标点进行为期1天的仿真分析，初始时刻覆盖效果图如图1所示。

图1 遥感星座覆盖效果图

参考前述的计算原理，设置权重值，，，均为1，计算遥感星座的静态性能指标。位置精度衰减因子在仿真周期内对地面指定目标的平均值为8134，重定义的位置精度衰减因子值为1866，地面采样距离在仿真周期内对地面指定目标的平均值为1749，覆盖时间百分比cov在仿真周期内对地面指定目标的平均值为0481，通信容量期望值在仿真周期内对地面指定目标的平均值为0157，静态性能综合评价指标为43827。对比发现遥感星座对地面指定目标点的覆盖性能较好，符合遥感星座设计的目标特性要求。

4 遥感星座的可用性模型

对遥感星座的可用性模型采用威布尔(Weibull)函数可靠性估算方法，卫星在运行周期中运行了时间(年)后正常运行的概率按下式估算

(1)

式中是与卫星设计寿命有关的一个时间常数；取为典型值16。已知卫星在运行=8年后的正常运行概率为=092，则有

(2)

由式(2)可求得=377938，再由式(1)即可求得卫星运行年后的正常运行概率详见表3。

表3 卫星在不同时期的正常运行概率

令=12为星座中卫星总数，运行年后星座中失效卫星数目为，则随变化的拟合图如图2所示。

图2 单星可用性模型图

从概率的角度上讲的取值范围应为0到=12，星座中恰有颗失效卫星的概率是

()=(1-())×(())-

(3)

考虑到由于从遥感星座中选择颗失效卫星有多种组合方式，设组合方式的数目为(对应损坏卫星数目不同的情况)，则应对式(3)作如下修正

()=×(1-())×(())-

(4)

取表3中卫星正常运行概率，初始时刻在轨卫星12个为例。随时间推移，分别运行一年，四年，八年后还在轨运行的卫星个数与概率关系的分布图如图3所示。

图3 遥感星座星座可用性预测图

由上图可知工作一年后，遥感星座失效概率极小，可继续完全状态运行。四年后，遥感星座可能会有一颗卫星失效，由于星座构型设计的对称性，单颗卫星失效无论哪一颗对星座整体性能的影响是一致的，均可以通过任何一颗的失效模型相对应。八年后，遥感星座可能会有两颗卫星失效，分两种情况讨论，若两颗失效卫星在同一轨道平面上，则受损星座在局部地区瞬时覆盖区性能损失较大；若两颗失效卫星在不同轨道平面上，将对星座整体性能产生影响。

5 利用遗传算法重构受损星座

针对六个指标评价参数进行整个仿真周期内评价调用，根据遥感星座的使用需求，对不同评价指标赋予不同权重因子，得综合评价因子为

=×(·+·

+·+·-·)

(5)

采用遗传算法对该星座设计优化参数设置为种群数量为20×剩余卫星个数，遗传代数设置为10×剩余卫星个数，代际偏差容忍极限值默认，容忍极限代数设置为10。

若一颗卫星受损，以未损伤卫星轨道根数为初始参数，令=0，其余权重因子均取1，仿真周期为一天，取相同，用遗传算法优化一颗卫星损伤后剩余两颗同轨面的两颗卫星的纬度幅角和升交点赤经得综合效能指标评价函数1=52451，升交点赤经分别为193624和452314，纬度幅角分别为253016和1916543。

若两颗受损卫星在相同轨道平面，优化受损卫星轨道面的剩余一颗卫星和受损卫星相邻轨道面的两颗卫星的升交点赤经和纬度幅角，取相同权重因子作为输入得2=56626，优化结果升交点赤经和纬度幅角分别为1761441，565813，290179和1931648，2350631，2182672。

若两颗受损卫星在不同轨道平面，分别优化受损卫星轨道面的剩余两颗卫星共四颗卫星的升交点赤经和纬度幅角，取相同权重因子作为输入得3=53518。由以上优化过程知，星座受损情况不同，优化对象也应根据受损情况做出不同优化才能得到较好优化结果，尽可能恢复星座性能。

6 遥感星座的构型重构路径优化

根据上节遗传算法的优化结果，利用伪谱法构型重构路径优化策略，实现由初始构型到目标构型的重构路径求解。图4给出编队重构前后的初始轨道、目标轨道以及重构轨道；图5给出重构过程中的小推力加速度时间历程；图6给出编队轨道构型不变量在重构期间的时间历程。

图4 采用伪谱法，得到的重构前后轨迹以及重构路径

图5 采用伪谱法，重构期间的小推力加速度时间历程

图6 采用伪谱法，构型不变量z在重构期间的时间历程

星座构型重构不同于编队构型重构，初始轨道与目标轨道在径向尺度上存在较大偏移，而线性相对运动方程-方程要求主星与从星相对距离尺度较小，此时将不再适用于星座间的轨道重构。因此，将星座构型转移重构过程划分为一定数量的编队构型重构组合问题，设定相应的“虚拟主星”，将不同主星的相对轨道重构路径进行拼接，从而实现大尺度星座构型重构。

考虑星座的主星与从星均位于近地无摄圆轨道的情况，星座构型重构步骤如下：首先确定初始构型，主星轨道倾角为从星与主星相对距离较近，组成卫星编队，相对构型为，相对运动关系可线性化，-方程成立。假定从星目标轨道半长轴与星座主星相同，则存在一个“虚拟主星”轨道，使得从星目标轨道相对于“虚拟主星”存在小尺度的稳定相对构型，其相对运动关系符合-方程，此“虚拟主星”的轨道倾角为。该“虚拟主星”除轨道倾角外，其余轨道根数均与星座真实主星相同。接着，在地球惯性坐标系下，建立-1个“虚拟主星”轨道，半长轴与轨道周期与主星相同，轨道倾角分别为

(6)

将在目标轨道中的相对构型通过坐标变换，分别求解出在各个“虚拟主星”相对轨道坐标系中的构型。最后，通过伪谱法优化，分别求解由构型-1到在一个轨道周期内的重构路径，并将所有路径进行拼接，从而实现大尺度星座构型重构。

将以初始主星为坐标原点，绘制轨道构型重构路径，如图7所示。值得一提的是，由于星座重构后的从星与主星不再构成稳定的相对构型，因此其运动轨迹存在漂移。

图7 采用伪谱法，星座构型重构路径

7 遥感星座的重构LQR跟踪控制

以两个航天器组成的编队任务为例，主星运行于800km近地圆开普勒轨道，不考虑摄动等因素影响；重构前后的构型参数，即初始轨道和目标轨道的参数选取如下：=[1，0，1，1，0，0](构型中心位于沿迹向7处、构型半径为335)和=[-1，0，0，2，2，0](构型中心位于沿迹向-7处、构型半径为608)；重构周期为1个轨道周期=60524。采用基于多项式函数拟合的重构路径优化方法，实现相对轨道由初始构型到目标构型的重构。设定转移的初始误差=[01，01，01，01，01，01]。控制时间为3个轨道周期(3×)，其中第一个轨道周期完成重构，接下来两个轨道周期维持在新轨道上。，，三个参数分别取为如下的对角矩阵

仿真结果如下：状态量的变化如图8所示(蓝线表示实际状态，红线表示标称状态)。

图8 状态量-时间曲线图

状态误差的变化如图9所示。

图9 状态误差-时间曲线图

控制量的变化如图10所示。

图10 控制量-时间曲线

从仿真结果可以看出，跟踪效果良好，误差有收敛趋势，控制量满足要求，表明LQR跟踪控制效果较好。

结合以上重构和控制看结果，重构过程中星座的效能如下图所示。由图可知，重构过程中，星座性能现时快速下降，最后提升至原星座性能的82%，重构过程大约需要3.5天，符合计划时间。

图11 优化过程中星座效能随时间变化图

8 结论

本文基于最新的遥感卫星星座，建立了综合指标评价函数分析其星座性能，并根据星座服务可用性的寿命预测模型分析其在轨服务故障特性。针对不同故障模式，分别分析了星座剩余性能，并选择合理的星座重构优化策略对剩余星座进行优化重构。最后通过最优控制方法，求解重构路径并采用LQR控制优化重构路径，评估星座损坏前后和重构过程中星座的整体性能和重构方案的合理性。结果表明，本文提供的重构算法能够显著提升损坏后的星座整体性能。