一类双曲方程行波解的存在性及渐近稳定性
2022-09-24宋文晶闫东泽
孙 聪, 宋文晶, 闫东泽
(1. 吉林财经大学 应用数学学院, 长春 130117; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)
0 引 言
考虑Klein-Gordon方程:
utt-Δu+u=aup-1-buq-1,t>0, (x,y)∈2,
(1)
设c>0为一个常数, 考虑方程(1)的形如u(x,y,t)=u(x-ct,y)的行波解, 将其代入方程(1)可得
(c2-1)uξξ-uyy+u-aup-1+buq-1=0,ξ=x-ct.
(2)
因此, 讨论方程(1)行波解的存在性只需讨论方程(2)非平凡解的存在性即可.
1 预备知识
(3)
该内积诱导的模为
(4)
令E表示以式(4)为模的X的完备化空间, 显然其为Hilbert空间.
引理1[15]对μ>0,λ≥0, 2≤p<∞, 有连续嵌入关系E⊂Lp(2).
引理3[13]设un为E中的有界列, 且
其中B(x,y,δ)表示以(x,y)为圆心、 以δ为半径的圆.则对∀p>2, 在Lp(2)中有un→0.
引理4(山路引理)[16]设Y是Banach空间,I∈C1(Y,)满足下列条件:
1)I(0)=0, 且存在ρ>0使得I|∂Bρ(0)≥α>0;
Γ={g∈C([0,1],Y):g(0)=0,g(1)=1}.
2 主要结果
考虑问题
(5)
(H3) 存在γ>2, 使得∀s∈,γF(s)≤sf(s).
引入E上的泛函
(6)
显然有J′(u)∈C2(E,), 可知问题(5)的解即为式(6)的临界点.
定理1若假设条件(H1)~(H3)成立, 则问题(5)存在非平凡解.
证明: 对∀ε>0, 由(H1)可知, ∃C(ε), 使得
(7)
从而
(8)
其中C1(ε)=C(ε)/q.
由引理1及式(6)可知, ∃C2,C3, 使得
(9)
J(un)→c,J′(un)→0.
(10)
由条件(H3)可知, 当n充分大时, 有
其中〈J′(un),un〉表示泛函J′(un)在un处的值.由式(11)可知, ‖un‖E有界.
下面令
(12)
若θ=0, 则由引理3可知, 对∀p>2, 在L2()中有un→0.从而
但这与已知矛盾, 进而θ>0.
由式(12)可知, 当n充分大时, 有
(14)
由式(14)可知, ∃{(ξn,yn)∈2}满足
(15)
由式(15)可知,J′(ν)=0, 从而ν即为方程(1)的非平凡解.证毕.
下面采用加权能量估计方法证明方程(1)行波解的渐近稳定性.考虑方程(1)的初值问题
(16)
假设方程(1)的行波解为u(x,y,t)=φ(x-ct,y)=φ(ξ,y), 满足
(c2-1)φξξ-φyy+φ-aφp-1+bφq-1=0,ξ=x-ct.
定义v(ξ,y)=u(x,y,t)-φ(ξ,y), 则可得如下扰动问题:
(17)
定义函数空间及范数:
X(0,T)={v(ξ,y)|v∈C([0,T];H2;H2),vξξ,vyy∈L2((0,T);H2;H2)},
特别地, 定义
X(0,∞)={v(ξ,y)|v∈C([0,∞);H2;H2),vξξ,vyy∈L2((0,∞);H2;H2)},
N2(T)≤CTN2(0),
(18)
其中CT>0为常数.
引理6若引理5的条件成立, 则方程(17)存在全局解v(ξ,y)∈X(0,+∞), 同时存在一个不依赖于t的常数C, 使得
N2(∞)≤CN2(0).
(19)
引理5的证明与文献[17]中定理2.2的证明类似, 引理6的证明与文献[18]中命题4.3的证明类似, 故略.
定理2若φ是初值问题(16)的行波解, 满足
(20)
证明: 首先, 定义一个加权函数ω(ξ)=e-2ξ.由式(19),(20), 有
表明
(22)
由相应的能量估计及Sobolev不等式[19]H1()C(), 可得
max‖V(ξ,y)‖≤2‖v(ξ,y)‖1/2·‖vξ(ξ,y)‖1/2.
因为max‖V(ξ,y)‖有界, 结合式(21), 有
(23)