联合载荷下角接触球轴承静态刚度仿真研究

2022-09-23王建祥俞成涛

江苏理工学院学报 2022年4期

王建祥，俞成涛，蒋鹏，陈宇

（1.江苏理工学院机械工程学院，江苏常州 213000；2常州技师学院智能制造学院，江苏常州 213032）

凭借在不同工况下能够稳定地以较高转速工作的显著优点，角接触球轴承成为各类转子-轴承系统中的关键支承件之一。在实际装备设计中，由试验来得出轴承的性能参数往往需要付出高昂的代价；因此，随着技术的发展，对轴承进行仿真研究已成为工程应用中的通用方法。

角接触球轴承的静态特性对转子系统的性能起着关键作用，而静态刚度又最能突出轴承的静态特性；因此，对这方面的研究应加以重视。目前，国内外学者对角接触球轴承静态特性理论的研究基本集中在以下两个方面。

其一，是通过赫兹接触理论建立轴承的滚珠受力接触模型。如：Jones[1]提出了沟道控制理论并建立了三自由度计算模型，分析了联合载荷下球轴承的载荷分布、变形以及应力之间的关系；陈宗农等人[2]基于Jones的沟道控制理论建立了联合载荷下球轴承的五自由度刚度求解矩阵；张迅雷等人[3]提出一种角接触球轴承静态刚度的精确计算公式，并通过对比简化计算值和试验值，验证了计算公式的准确性；刘艳华等人[4]针对定位与定压两种不同预紧方式，分析计算了联合载荷下角接触球轴承的静态刚度；方兵等人[5]通过坐标变换法分析轴承滚珠受力与变形的关系，并对刚度进行了求解与试验验证；Liu等人[6]提出了一种在预加载下提高轴承载荷分布及刚度的精度和计算效率的方法；师浩浩等人[7]借助最小二乘法和线性回归方法，对赫兹接触理论进行计算方法简化，并分析了轴承的静态刚度；李震等人[8]基于Demul理论和赫兹接触理论建立了五自由度的静态分析模型，研究了外载荷对接触角、接触力及静态刚度的影响。

其二，是利用有限元分析法对球轴承的几何模型进行约束加载分析。如：Tang等人[9]利用ANSYS的APDL参数化命令流对球轴承进行有限元建模，将加载后的接触特性结果与理论结果进行对比，并证明了方法的实用性；Guo等人[10]采用接触力学和有限元相结合的方法求解两种滚动轴承的刚度矩阵，并提出了一种数值方法来确定轴承的刚度。张永强[11]使用了球-板接触的有限元模型，研究了网格单元密度对接触应力结果的影响，并通过对比轴向变形的有限元值与理论值，证明了方法的可行性。

然而，以上研究中角接触球轴承有限元法的分析，对变形和刚度的变化规律并未与理论计算作详细的对比；因此，本文以赫兹接触理论为理论计算模型的基础，应用有限元仿真方法研究联合载荷对角接触球轴承变形和刚度的影响，通过对比验证，为实际装备设计中轴承的静态刚度仿真分析提供一定的理论参考。

1 角接触球轴承理论计算模型

1.1 滚珠受力变形分析

如图1所示，为角接触球轴承第j个滚珠的受力接触示意图。设置坐标OXr、OX与Or分别为轴向载荷与径向载荷的施加方向；Oi与Oo分别为内外圈滚道的沟曲率中心位置；a0为受载荷前滚珠与内外圈的初始接触角。

图1 滚珠受力接触示意图

受载荷前内外圈沟曲率中心Oi与Oo间的初始距离A0为：

式中：ri、ro、Dw分别为内、外圈沟曲率半径和滚珠直径；fo、fi分别为内、外圈的沟道比。

固定轴承外圈，对内圈同时施加径向载荷Fr和轴向载荷Fa，滚珠会受到由内、外圈沟滚道对其的法向作用力。基于赫兹接触理论[12]，第j个滚珠受到的接触力Qj与其变形δj的关系式为：

式中，Kn为内外圈与滚珠间的总接触刚度，由以下关系式求得：

其中：Ki为内圈与滚珠间的法向接触刚度；Ko为外圈与滚珠间的法向接触刚度。

如图2所示，为联合载荷下轴承沟曲率中心轨迹。受载后，轴承外滚道曲率中心轨迹不变，而内滚道发生变化并产生轴向位移δa、径向位移δr和角位移θ，且滚珠与内外圈的接触角由a0变为a j。在滚珠位置角φ j处的内外圈沟曲率中心距离由A0变为Aj，关系式为：

图2 联合载荷下沟曲率中心轨迹

式（4）中滚珠位置角φj可由下式确定：

内圈沟曲率中心轨迹半径Ri表达式为：

第j个滚珠的接触变形总量δj为：

受载后第j个滚珠实际接触角αj为：

1.2 轴承的整体载荷-位移关系及刚度求解

在具有N个滚珠的角接触球轴承内，可列出轴向、径向以及力矩的平衡方程[13]为：

式（9）是以位移δa、δr和θ为未知量的非线性方程组。编写Matlab程序并设置加载的已知联合载荷进行理论计算，方程求解采用Newton-Raphson迭代法。对轴承位移未知量进行迭代计算并对位移求导，其刚度矩阵解析表达式为：

2 角接触球轴承有限元仿真模型

2.1 轴承模型三维实体设置

选用7003C角接触球轴承作为仿真对象并建立有限元分析模型，材料为轴承钢，弹性模量为2.07×105MPa，泊松比为0.3。如表1所示，为轴承具体的尺寸参数。

表1 轴承基本参数

为简化计算，不考虑保持架的建模，在SolidWorks中严格按照表中轴承实际尺寸建立三维模型，再导入ANSYS Workbench的静力学模块中，并设置轴承的相关材料属性。首先，对内外圈采用扫掠网格划分的方法（单元尺寸为0.4 mm），滚珠设置为自动四面体网格划分（单元尺寸为0.1 mm），以保证滚珠接触部分的网格细化；然后，对滚珠与内外圈滚道的接触部分进行局部细化（细化网格单元尺寸为0.1 mm），局部细化可采用Contact Sizing、Face Sizing和Inflation等方法。

如图3所示，为模型的网格分布。网格单元类型默认为solid186，共节点2 227 060个，单元1 146 185个。

图3 7003C角接触球轴承有限元网格划分

2.2 模型条件设定

2.2.1 接触设置

（1）依据凸面或者易变形面为接触面的准则[14]来设置接触对，滚珠为接触面，内外圈滚道为目标面。

（2）接触类型为摩擦接触，设置接触摩擦系数为0.1，打开Small Sliding并设置穿透容差系数为0.1，以提高收敛速度。

（3）接触算法可以采用纯罚函数法或增广拉格朗日法，这两种方法的计算原理与理论计算中滚珠接触面的接触刚度均接近，考虑到接触刚度的设置，此处采用纯罚函数法。

（4）法向接触刚度设置可采用调节接触刚度因子或定义绝对接触刚度值的方法，理论计算模型已计算出内外圈接触刚度系数Ki、Ko，因此，此处直接定义绝对接触刚度值。其中：滚珠与内圈的接触设置为7.037×105N/mm3，外圈设置为6.259×105N/mm3，在有限元软件中该参数的单位意义是接触刚度对域的比值，其参数值可参考文献[12]中有关内外圈接触刚度系数的计算。

2.2.2 约束设置

（1）由于轴承外圈固定，选择其侧面和外圆柱面施加Fixed Support全约束。

（2）为模拟保持架对滚珠的约束作用，首先，需要根据每个滚珠所在的方位角，在内圈圆心处建立多个沿内圈滚道切向重合的局部坐标系；然后，所有滚珠通过在对应坐标系上施加沿内圈的切向位移约束，使滚珠在仿真时只会产生轴向和径向的位移变形。

（3）将轴承内圈内环面的一半单元节点通过Remote Points的方式耦合到一中心节点，用于模拟对耦合点施加径向力下，轴承内圈同转轴配合时其内圈实际受到的径向力分布情况。

2.2.3 加载设置

将轴向载荷施加到轴承内圈面部，径向载荷施加到耦合的节点上，其中，轴向力与径向力的实际施加方向分别为三维坐标的-X与Y。

如图4所示，为轴承施加约束和载荷后的模型。

图4 施加约束和载荷后的模型

2.3 求解设置

求解的分析类型为准静态结构分析，将求解方式设置为几何非线性，开启大变形选项，并设置计算子步进行求解。

2.4 结果处理

如图5（a）、图5（b）所示，分别为轴向力1 500 N、径向力500 N下轴承轴向与径向变形，在轴承内圈背部的网格单元或节点添加探针拾取位移结果。图中标签处即模拟实际试验过程中传感器的探测位置，通过力除以位移坐标差的方法可得到不同载荷下的刚度值。

图5 联合载荷下的变形结果

3 联合加载仿真结果对比分析

以7003C轴承为例，对轴承的理论值与有限元值进行仿真结果对比分析，以模拟轴向预紧力下对轴承进行加载的静态试验[5]。

3.1 轴向载荷对轴向变形及刚度的影响

如图6所示，为施加轴向力与产生的轴向变形的关系曲线。可以看出：轴向载荷（0～2 000 N）的增大会使得轴承轴向变形的理论值与有限元值均呈非线性增长；总体上轴向变形的有限元值略大于理论值。

图6 轴向载荷与轴承轴向变形的关系

如图7所示，为轴向载荷与轴向刚度的关系曲线。可以看出：图中轴向载荷的增大会使得轴承轴向刚度的理论值与有限元值均呈非线性增长；轴向刚度的理论值略大于有限元值。

图7 轴向载荷与轴承轴向刚度的关系

3.2 径向载荷对径向变形及刚度的影响

如图8所示，为在两种轴向载荷条件下径向载荷与径向变形的关系图。可以看出：在轴向载荷分别为1 000 N和1 500 N时，径向载荷（0～500 N）的增大会使轴承径向变形的理论值与有限元值均接近于线性增长；径向变形的有限元值大于理论值，且所施加径向载荷的增大会使差别变得明显；轴向载荷为1 500 N时比1 000 N时的径向变形小，并且轴向载荷越大，径向载荷对径向变形影响的理论值与有限元值更加接近。

图8 径向载荷与轴承径向变形的关系

如图9所示，为在两种轴向载荷条件下径向载荷与径向刚度的关系图。可以看出：在轴向载荷分别为1 000 N和1 500 N时，径向载荷（0～500 N）的增大会使得径向刚度的理论值呈非线性增长，而径向刚度的有限元值先增长后缓慢减小，说明径向力对径向刚度的弱化影响在有限元仿真中较为明显；各径向载荷下的有限元值均小于理论值；相同径向力时，轴向载荷1 500 N下的径向刚度大于轴向载荷1 000 N下的径向刚度。

图9 径向载荷与轴承径向刚度的关系

径向刚度的两种仿真结果出现差别其原因在于：一方面，有限元仿真时探测点的结果不仅有内外圈与滚珠的接触变形，还包括了轴承内外圈自身的变形、内外圈与滚珠间的相对滑移和接触算法产生的穿透量；另一方面，由于径向力的增加会导致轴承内圈产生偏转，进而使得径向刚度出现弱化现象，本文的理论计算模型未能体现出这一点，而在有限元仿真中，接触滑移和接触穿透会使得这种情况较为明显，这也会导致探测点的结果与理论值有些偏差。