曹胜芳，王文科，胡红萍

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)

0 引 言

图像复原是图像处理领域中一项非常重要的处理技术，其主要目的是去除图像中的噪声和模糊等退化现象，以提高图像视觉质量[1]. 图像复原技术广泛应用于众多的科学领域和技术领域，如医学影像、 天文观测、 遥感遥测、 军事科学等.

图像复原过程实际上是一个根据某些退化模型对清晰图像进行估计的过程，它可以表示为如下线性模型：

y=Hx+n，

(1)

式中：y为观测图像，即模糊或者含噪声的图像；H是线性退化算子；x是原始图像；n为噪声.

目前，已有的图像复原方法包括空间域滤波、 变换域滤波、 偏微分方程、 变分法等[2]. 空间域滤波方法中的非局部均值去噪方法应用较为广泛，但是，其在边缘处理上容易出现过平滑现象. 小波变换对图像进行去噪能够保留图像的频率信息，同时，保留了图像的空间信息，但是，其只能捕捉有限的方向信息，不包含各阶的各向异性的因素. 变分法能够很好地保留图像边缘，但是，会出现严重的阶梯效应.

压缩感知(Compressed Sensing, CS)是一种探寻欠定线性系统稀疏解的技术，近年来，也用于复原稀疏或可压缩的信号[3]. 图像复原与压缩感知理论之间存在着紧密的联系，两者都直接面对数学中的求逆问题，部分解决方法是互通的[4].

CS理论分为信号稀疏表示、 观测矩阵和复原算法三部分[5]. 信号稀疏表示是指将信号投影到正交变换基时，绝大部分变换系数的值很小或者为零，所得到的变换向量是稀疏或者近似稀疏的，即信号在某种变换下可以稀疏表示[6]，常见的变换基有离散余弦变换基、 快速傅里叶变换基、 离散小波变换基、 Curvelet变换基、 Gabor基以及冗余字典等. 观测矩阵是在不丢失原始信号信息的前提下，将信号通过域的转换对原始信号进行降维，常见的观测矩阵有高斯/伯努利型随机矩阵、 傅里叶测量矩阵等. 复原算法是最重要的一步，信号的复原过程即欠定方程组的求解问题，该算法包括组合算法、 凸优化算法和贪婪匹配算法[7].

本文主要利用压缩感知理论对图像进行复原，将一维信号的复原过程扩展到二维图像，并选用离散小波变换矩阵对原始图像信号进行稀疏表示. 本文在压缩感知和图像分割(Image Segmentation, IS)的基础上，结合滤波(Filter, F)，提出一种基于F，IS和CS的图像复原的方法，记为F-IS-CS. 在该方法中，选用高斯矩阵作为测量矩阵，对原始图像进行压缩，而复原算法采用正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法. 通过三种不同的图像复原的实验结果表明，提出的F-IS-CS方法在压缩比为0.5时，对含有泊松噪声的图像进行均值滤波，再进行分割、 压缩、 重构和合并后，得到的图像复原效果最佳，并且与F-CS方法相比，F-IS-CS具有较高的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR).

1 正交匹配追踪算法

压缩感知理论是一种利用信号的稀疏性或可压缩性进行信号获取或信号处理的理论，如果给定的信号在某种正交基(Orthogonal Basis)的表示下是稀疏(Sparse)或者近似稀疏的，那么通过测量矩阵(Measurement Matrix)进行投影，可以得到比原始信号长度小的观测结果，其中包含了原始信号的大部分信息[8]. 当信号在空域或者某变换域具有稀疏性或者可压缩性时，由少量观测结果就可以高概率实现信号的近似复原，且具有较高的峰值信噪比.

信号在经过压缩之后的复原过程实质上是一个解欠定线性方程组y=AS的问题. 复原算法是其中最重要的一步，该算法分为组合算法、 凸优化算法和贪婪匹配追踪算法三类. 贪婪匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit)算法由于复原速度快、 计算量小等特点被广泛研究[9]. 正交匹配追踪算法[10-12]是通过贪婪思想每次迭代选择一个局部最优解来逼近原始信号，相比匹配追踪算法，OMP算法的迭代速度更快. OMP算法的具体步骤为：

步骤1： 初始化： 残差r_n=y，复原信号x=0，索引集Pos_theta=0，更新过程中被选中的原子集合At=0，计数器ii=1；

步骤2： 计算残差和感知矩阵A每一列的投影系数(内积值)P；

步骤3： 找出其中最大的元素以及对应的位置Pos；

步骤4： 更新索引集Pos_theta以及原子集合At；

步骤5： 利用最小二乘法求得近似解theta；

步骤6： 更新残差r_n；

步骤7： 判断迭代是否满足停止条件，满足则停止， 输出theta，否则转步骤2.

OMP算法的流程图如图 1 所示.

图 1 OMP算法流程图

2 F-IS-CS图像复原算法

本文先对含有噪声的图像进行滤波，再对滤波后的图像进行分割，对分割后的子图分别进行压缩感知重构，最后再对重构后的子图进行合并，得到复原后的图像. 这样就建立了基于F，IS和CS的图像复原算法，记为F-IS-CS.

2.1 滤波(F)

F是采用多种滤波方法对噪声图像进行预处理，包括维纳滤波、 均值滤波、 二维中值滤波、 二维排序滤波四种方法，分别对四种滤波下的复原图像进行比较，通过客观的评价指标，选择最优的滤波方法.

2.2 图像分割过程(IS)

IS是图像分割过程，由于图像矩阵维度较大，对每一列压缩再复原的过程会产生较大误差，且采用OMP算法进行重构时，优先选择与残差最匹配的原子，当原子维数过大时，也会导致结果不准确，因此，对图像的灰度矩阵进行分割. 首先进行2×2分割将滤波后的图像img2分成A,B,C,D四个子图，然后对每一个子图，采用CS方法进行重构，得到恢复后的A′,B′,C′,D′四个子图，再将复原后的四个子图进行合并，得到最终的复原图像img′.

2.3 压缩感知(CS)

CS是图像压缩感知过程，由于压缩感知过程中是对一维信号进行欠采样，而图像是二维信号，对图像进行压缩感知时，采用循环结构，分别对图像灰度矩阵的每一列进行压缩，采用正交匹配追踪算法对图像进行重构，得到最终的复原图像.

压缩感知要求信号是稀疏的，或者在一组基底下是可稀疏的，即信号x可以被表示为

(2)

如果信号在某基底下是可稀疏的，我们使用一个测量矩阵Φ∈RM×N，其中，M≪N，M称为测量次数，CR=M/N称为采样比或者压缩比，使用测量矩阵对信号x进行测量[14]，得到观测结果y，即

y=Φx,

(3)

y=ΦψS=AS,

(4)

式中：A=Φψ可以看作是对信号S的测量矩阵；S是稀疏的.

F-IS-CS图像复原算法的具体步骤为：

步骤1： 首先对原始图像img加入某种噪声，得到含噪图像img1；

步骤2： 对含噪图像进行滤波，得到图像img2；

步骤3： 对图像img2进行等量分割，得到四个子图A,B,C,D；

步骤4： 选用高斯测量矩阵对每一个子图进行压缩，得到压缩后的图像分别是A1,B1,C1,D1；

步骤5： OMP算法对子图的每一列进行重构，重构后的子图记为A′,B′,C′,D′；

步骤6： 重构后的子图进行合并，得到最后的复原图像img′.

3 仿真实验

本文采用配置为AMD A6-6420B APU with Radeon(tm) HD Graphics，4.00 GHz，4.00 GB内存的计算机在Matlab R2014a环境下进行实验. 其他条件相同时，在压缩比分别为0.3，0.4，0.5的情况下对图像进行复原，将复原结果进行对比，当压缩比CR=0.5时，复原效果最佳. 考虑到算法的时间复杂度，将0.5设为最大的压缩比. 选择不同的迭代次数进行多次实验，最终固定最大迭代次数t=100，给三类不同的原始图像添加泊松噪声、 高斯噪声和椒盐噪声，采用本文提出的F-IS-CS方法分别对加噪图像进行复原，并对复原结果进行对比. 图像复原通过峰值信噪比(PSNR)进行评价，PSNR的计算公式为

PSNR=

(5)

式中： MAX是指图像像素点的最大数值；M×N是图像大小；f(i,j)，f1(i,j)分别表示原始图像和复原图像的像素值.

3.1 F-CS图像复原结果

F-CS方法是对含有噪声的图像先进行滤波，再对滤波后的图像进行压缩感知重构，最后得到复原图像. 本文中三类图像在不同噪声和滤波下，图像复原的PSNR见表 1～表 3. 噪声分别为泊松噪声、 高斯噪声和椒盐噪声. 滤波分别为维纳滤波、 均值滤波、 二维排序滤波和二维中值滤波.

表 1 Lena图像在F-CS算法不同噪声和不同滤波下的PSNR

表 2 Barbara图像在F-CS算法不同噪声和滤波下的PSNR

表 3 Cameraman图像在F-CS算法不同噪声和滤波下的PSNR

由表 1～表 3可知，采用F-CS方法进行复原，Lena图像在椒盐噪声二维中值滤波下压缩感知复原效果最佳，PSNR值为31.785 2. Barbara图像在泊松噪声维纳滤波下压缩感知复原效果最佳，PSNR值为25.844 6. Cameraman图像在泊松噪声维纳滤波下压缩感知复原效果最佳，PSNR值为26.719.

以Lena图像为例，在泊松噪声和四种不同滤波下的复原图像如图 2～图 5 所示. 对于Lena图像来说，采用F-CS方法进行复原，在添加泊松噪声的情况下，使用自适应维纳滤波复原效果最佳； 在添加高斯噪声的情况下，使用均值滤波效果最佳； 在添加椒盐噪声的情况下，使用二维中值滤波效果最佳.

图 2 Lena图像泊松噪声维纳滤波压缩复原

图 3 Lena图像泊松噪声均值滤波压缩复原

图 4 Lena图像泊松噪声二维排序滤波压缩复原

图 5 Lena图像泊松噪声二维中值滤波压缩复原

3.2 F-IS-CS图像复原结果

F-IS-CS方法是图像在经过加噪声和滤波之后，为了提高精度，先将图像进行分割，再进行压缩复原过程. 三类图像在采用F-IS-CS方法进行复原之后的PSNR值如表 4～表 6 所示.

表 4 Lena图像在F-IS-CS方法不同噪声和滤波下的PSNR

表 5 Barbara图像在F-IS-CS方法不同噪声和滤波下的PSNR

表 6 Cameraman图像在F-IS-CS方法不同噪声和滤波下的PSNR

由表 4～表 6 可以看出，采用F-IS-CS方法进行复原，Lena图像在泊松噪声二维中值滤波下复原效果最佳，PSNR值达到了32.219 8. Barbara图像在泊松噪声维纳滤波下压缩感知复原效果最佳，PSNR值为26.376 4. Cameraman图像在泊松噪声维纳滤波下压缩感知复原效果最佳，PSNR值为27.115 8. 同样以Lena图像为例，分割后的图像如图 6 所示. 在其他参数不变的条件下，F-IS-CS方法的图像复原结果分别如图 7～图 10 所示.

对于Lena图像来说，采用F-IS-CS方法进行复原，在添加泊松噪声的情况下，使用二维中值滤波复原效果最佳； 在添加高斯噪声的情况下，使用均值滤波效果最佳； 在添加椒盐噪声的情况下，使用二维中值滤波效果最佳.

图 6 Lena图像分割

图 7 Lena图像泊松噪声维纳分割滤波压缩复原

图 8 Lena图像泊松噪声均值分割滤波压缩复原

图 9 Lena图像泊松噪声二维排序滤波分割压缩复原

图 10 Lena图像泊松噪声二维中值滤波分割压缩复原

3.3 F-CS算法与F-IS-CS方法的比较

对F-CS算法与F-IS-CS方法复原图像的PSNR值进行对比，分别对比表 1 和表 4、 表 2 和表 5、 表 3 和表 6，即固定迭代次数和压缩比时，对同一图像，在相同的噪声和滤波作用下，比较其复原图像的PSNR值.

表 1 和表 4 是关于Lena图像在不同噪声和不同滤波下通过两种算法得到的复原图像的PSNR值. F-CS算法中，含有泊松噪声的图像经过维纳滤波和均值滤波后进行压缩重构得到的复原图像的PSNR值比其他噪声高，含有椒盐噪声的图像在经过二维排序滤波和二维中值滤波后再进行压缩重构得到的复原图像的PSNR值略高，但与含有泊松噪声的图像经这两种滤波后再压缩重构得到的复原图像的PSNR值相差不大，因此，对于Lena图像来说，F-CS算法对含有泊松噪声的图像复原效果更好. F-IS-CS方法中，含有泊松噪声的图像经过维纳滤波、 均值滤波和二维中值滤波后进行分割、 压缩、 重构、 合并得到的复原图像的PSNR值相对于其他噪声高，含有椒盐噪声的图像在经过二维排序滤波后再进行分割、 压缩、 重构、 合并得到的复原图像的PSNR值略高，但与含有泊松噪声的图像经二维排序滤波再分割、 压缩、 重构、 合并得到的复原图像的PSNR值相差不大，因此，对于Lena图像来说，F-IS-CS方法对含有泊松噪声的图像复原效果更好. 对比表 1 和表 4 可知，在两种算法下含有泊松噪声的图像比含有其他噪声的图像的复原图像的PSNR值都要高，改进后的F-IS-CS方法下得到的复原图像的PSNR值比F-CS算法的更高，图像的复原效果更好.

对于Cameraman图像和Barbara图像来说，分别对比表 2和表 5、 表 3和表 6 可知，F-IS-CS方法复原图像的PSNR值相比F-CS算法也有不同程度的提高，且都对含有泊松噪声的图像复原效果好.

3.4 与其他方法的对比

分别利用本文方法、 基于梯度的小波阈值方法、 基于硬阈值的小波变换方法以及基于软阈值的小波变换方法对Lena、 Cameraman和Barbara 3幅图像进行复原，得到如图 11～图 13 的结果. 由图可以看出，基于梯度的小波阈值方法对噪声图像复原的效果图过于平滑，小波变换复原的结果会有伪影. 通过对不同方法复原后的图像进行客观评价，得到的PSNR值如表 7 所示.

图 11 不同方法下的Lena图像复原

图 12 不同方法下的Cameraman图像复原

图 13 不同方法下的Barbara图像复原

表 7 不同方法的PSNR对比

由表 7 可以看出，对Lena图像和Barbara图像，本文方法复原的图像的PSNR值较高，而对Cameraman图像，本文方法复原的图像的PSNR值较低，对于3幅图像的PSNR均值，本文方法比较具有优势，因此，本文方法能够以较高的质量复原图像.

3.5 真实图像的复原

上述退化图像是基于Matlab中的噪声函数人为添加的，为了使本文方法更具说服力，实验中选取了2幅本身含有噪声的图像，采用F-IS-CS方法对其进行复原，得到图 14 和图 15.

图 14 Dark图均值滤波分割压缩复原

图 15 Moon图均值滤波分割压缩复原

由图 14 和图 15 可知，本文提出的方法可以很好地去除图像的噪声，由于图像本身含有噪声，无法用PSNR对其进行评价，但从主观上来看，图像的复原效果较好.

4 结 论

本文在压缩感知、 滤波和图像分割的基础上提出了图像复原的F-IS-CS方法. 在3种不同的图像中人为添加3种不同类型的噪声. 通过实验比较，在泊松噪声和椒盐噪声下，采用4种不同的滤波方法，F-IS-CS方法均优于F-CS方法，特别是在泊松噪声和维纳滤波下. 因此，对比实验中F-IS-CS方法采用维纳滤波和泊松噪声. 将F-IS-CS方法与基于梯度的小波阈值方法、 基于硬阈值的小波变换方法和基于软阈值的小波变换方法在相同条件下对这3种退化图像进行复原. 实验结果表明，本文提出的F-IS-CS方法对Lena图像复原具有最高的PSNR(32.064 7)和对Barbara图像的复原具有最高的PSNR(27.115 8)，且3种图像的PSNR均值最高(28.570 7)，有效地去除了图像噪声，获得了高质量的复原图像. 最后，利用F-IS-CS方法对真实的噪声图像进行去噪，得到较为清晰的复原图像，说明本文提出的F-IS-CS方法具有一定的实用性.