王舸 黄文君 高德利

中国石油大学石油工程教育部重点实验室

底部钻具组合(BHA)是井眼轨迹控制的核心部件，其造斜率的准确预测和控制是复杂结构井工程的关键技术之一［1-10］。国内外学者对导向钻具造斜率的预测方面做了大量的研究，其预测方法主要经历了几何法［11］、力学法［12-13］、轨迹法［14］、极限造斜率法［15］的过程。

几何法假设BHA处于小变形状态或钻具组合长度较短的情况下，将钻头、下稳定器、上切点当作同一圆弧上的3个点，求解该圆弧的曲率作为BHA的造斜率，然而该方法并未考虑钻具刚度及钻井参数［16-17］。力学法采用静力学计算导向钻具组合钻头处的机械合力，将合力作用线与井眼轴线的夹角作为导向工具造斜率的预测结果，但该方法并未考虑钻头切削性能和地层各向异性［18-21］。轨迹法通过计算钻头侧向力和钻压联合作用下的合位移，确定合位移方向与钻头轴线的夹角，阐明了钻进过程中的运动趋势，但是钻进趋势角与造斜率之间缺少明确的定量关系，不利于造斜率的准确评估。极限曲率法采用了最小势能原理，将钻头侧向力为0或趋近于0时的井眼曲率作为导向工具造斜率的评价标准，但是未充分考虑钻头切削性能和地层各向异性的影响。总之，目前造斜率的计算方法仍存在不足，加之参数的不确定性，使得导向工具造斜率的理论计算值与实际值存在较大的误差。

本文在前人研究的基础上，综合考虑工具结构、钻井参数、轨迹参数及钻头-地层相互作用等影响，建立了基于零侧向钻速准则的滑动钻进造斜率计算方法，并从“杠杆效应”和“钟摆效应”的角度揭示了造斜率的影响机理，为导向钻具组合的结构设计、造斜率预测、钻具优选及钻井参数优化等提供了分析手段。

1 滑动钻进钻具受力分析

1.1 导向钻具力学模型分析

在定向钻进过程中，导向工具受到钻压、扭矩、支反力、自重等载荷作用。将BHA分解成多个梁的组合，针对每一段梁，考虑纵向和横向载荷的作用来计算梁的变形，建立BHA的三维力学模型。由于钻头处在井斜平面、方位平面内都会存在侧向力的作用，在钻压、侧向力的作用下，井下管柱所受多种载荷的大小、方向也会进行相应变化，钻出的井眼轨迹为三维曲线，因此可将三维力学问题转化为两个二维力学问题进行求解，控制方程为

式中，k=1代表井斜平面，k=2代表方位平面；uk为管柱在井斜平面或方位平面上的横向位移，m；s为管柱任意一点的弧长，m；EI为相应的抗弯刚度，N· m2；F为轴向力，N；KB为管柱的浮力系数，KB=1−ρd/ρs；ρd为钻井液密度，g/cm3；ρs为管柱的材料密度，g/cm3；qk为管柱线重投影到井斜平面或方位平面的分量，N/m；由于井斜平面与方位平面相互垂直，管柱线重qk在方位平面上的投影始终为0，即q2为0。

本文利用加权余量法求解了导向钻具组合的变形问题，需要构造BHA的变形试挠度函数作为控制方程的近似解，即可令BHA第j跨的试挠度函数为

式中，Ck,i, j为井斜平面和方位平面的待定系数，无因次；n表示导向钻具单元节点个数，节点包括BHA的结构弯角、稳定器、管柱与井壁的接触点等。

假定底部钻具的下部边界为铰支约束，钻具上端躺在井眼底边，即

将式(2)代入到边界条件式(3)中可得到关于Ck,i, j的线性方程，将式(2)代入到控制方程式(1)并利用子域法可得到关于Ck,i, j的线性方程。由于钻具上切段长度是待定的，因此需要采用迭代法求解所有的未知量。

钻头处(j=1)的轴向力F1和支反力Nsk，1可表示为

其余各跨节点 (j=2,···,n+1)的轴向力Fj和支反力Nsk，j表示为

式中，Wob为钻压，一般无论对于井斜平面还是方位平面，钻头处的轴向力F1等于钻压，N；Nsk，1为钻头处的支反力，可表示为钻头处井斜平面和方位平面的侧向力，N；L j−1为管柱第j−1 跨的弧长，m；Lk, j为管柱在井斜平面和方位平面第j跨的弧长，m；βj−1为管柱第j−1 跨的井斜角，rad。

1.2 滑动钻进时钻具轴向摩阻计算

在定向造斜过程中，一般采用滑动钻进方式进行导向钻进。然而在实际工况中，接触点产生较高的摩阻会使得BHA难以连续滑动，甚至会大大降低管柱的轴向力传递效率，因此需要合理计算滑动钻进时管柱的摩阻分布。依据式(4)、式(5)，可得到三维井眼中各跨段管柱的轴向载荷和摩阻计算公式。

式中，Fr, j为第j跨管柱的实际轴向载荷，N；fj为第j跨管柱的摩阻，N；μ为管柱的轴向摩阻系数。

2 滑动钻进造斜率计算方法

2.1 钻进轨迹三维钻速方程

在钻头与地层相互作用的影响下，钻头的位移方向并非与其机械合力方向一致。为了得到更加精确的造斜率计算模型，本文考虑BHA实际钻进过程的影响，即侧向钻速为0，建立滑动钻进造斜率的计算方法。

根据式(4)，进一步考虑钻头与地层相互作用［18］，建立井斜平面和方位平面上的钻速方程。

式中，Ra、Rk分别为沿井眼轴线方向、井斜以及方位

平面侧向方向上的钻速分量，m/h；Dn为标准(法向)钻井效率；R为井底坐标与地层坐标的转换矩阵；S为井底坐标与钻头坐标的转换矩阵；Irk为地层各向异性指数；Ib为钻头的各向异性指数。

由于式(3)中的井眼曲率κk并未得到解决，因此第1次迭代所得到钻头在井斜平面和方位平面处的侧向力Nsk，1中含有井眼曲率κk。为了确定式(3)中的井眼曲率κk，需要在第1次迭代的基础上，基于零侧向钻速准则，对式(8)再次进行牛顿迭代求解，可构造目标函数为

考虑滑动钻进过程中工具面的影响，结构弯角的存在会导致BHA的作用方向线与管柱轴线构成一个工具面。在滑动钻进时，由于钻头侧向力的变化，导致工具造斜能力无法用某一特定的工具面去进行表述，因此需要通过调整装置角从0°到 360°的变化范围来表征结构弯角的方位，如图1所示。

图1 滑动钻进工具面的示意图Fig.1 Schematic diagram of the tool face during sliding

图1中x、y、z轴相互正交并构成了井斜α平面和方位φ平面，交点为钻头；N表示正北方向；Φc为装置方位角，rad；Azc为导向钻具投影在水平面上的方位角，rad；ω为高边模式中，工具面与井底平面的交线所转过的装置角，rad；θ为导向钻具的结构弯角值，rad。

根据图1，结构弯角的方位表示为

根据式(9)，利用牛顿迭代法进行求解，并引入式(10)中结构弯角方位变化的影响，将侧向钻速为0时井眼曲率作为滑动钻进的造斜率，计算公式为

式中，κL为滑动钻进在某一工具面下的理论造斜率，κ1,ω和κ2,ω分别为BHA在某一工具面对应的造斜率在井斜平面和方位平面上的投影，rad/30 m。

2.2 折算系数反演法

根据钻速方程式(8)可知，钻头各向异性指数Ib和地层各向异性指数Irk的确定是准确预测工具造斜率的关键所在。一般地，Ib和Irk可以通过实钻资料进行反演计算。当Ib=1时，钻头为各向同性；当0＜Ib＜1时，钻头的轴向切削能力强，并且当Ib越小时，钻头的轴向切削能力越强；当Ib＞1时，钻头的侧向切削能力强。然而，即使在均质的各向同性地层条件下，钻头实际的运动轨迹也并非沿着机械合力的方向。对于Irk而言，在考虑地层层面各向差异和Ib的影响下，会使得Irk确定更加困难。因此，本文假设地层为各向同性的均质地层(Irk=1)，进一步简化了式(8)计算的复杂性，并引入折算系数对式(11)进行修正，得到实际造斜率的计算公式为

式中， κA为滑动钻进时真实造斜率，rad/30 m；λ为折算系数，无因次。引入折算系数，可将地层各向异性、实钻过程等参数引入到造斜率预测模型中，λ的取值范围大致为0.3~0.9。

3 实例分析

3.1 折算系数反演

以涪陵地区一口页岩气水平井为例，该井完钻井深 4 734 m，水平段长度 1 930 m (包括口袋长度30 m)，造斜点深度 489 m，水平位移 2 421.45 m。该井的水平井段长，地层承压能力低，密度窗口窄，钻进时易发生窜气、窜水等复杂情况，致使在滑动钻进过程中，随着井深的增加，摩阻越来越大，井眼轨迹难以得到良好的调控。现场施工在造斜段中使用的钻具组合及对应的工况参数如下。

钻具组合：Ø215.9 mm 混合钻头+Ø172 mm×1.25°单弯螺杆+浮阀+Ø127 mm无磁承压钻杆+LWD短节 (411×410)+Ø127 mm 无磁承压钻杆+Ø127 mm 加重钻杆×9 根。参数：钻压 120~160 kN，方位角 180°，钻井液密度1.39 g/cm3，钻头各向异性指数0.2。

依据该井的实钻轨迹数据、钻具组合参数、工况参数以及钻头的切削特性，反演计算了滑动钻进工具的造斜率，绘制了造斜率折算系数反演图版，并采取相对误差来评估造斜率计算模型的精度，如图2所示。工程中一般采用(°)/30 m作为造斜率的单位，因此本文将结果图中造斜率数值的理论结果单位 rad/30 m 换算成 (°)/30 m。

图2 滑动钻进造斜率折算系数反演图版Fig.2 Inversion chart of the build-up rate conversion coefficient during sliding

图2结果表明，滑动钻进工具造斜率的实测值主要分布在折算系数(λ)取值为0.4~0.5之间，当折算系数取值为0.45时，造斜率实测值与预测值的平均相对误差为6.36%，验证了造斜率预测模型的合理性。该折算系数综合考虑了地层各向异性、钻进过程等影响，为涪陵地区钻具优选、钻井参数优化等提供依据。

3.2 滑动钻进造斜率敏感性分析

针对于不同的工具结构，本文分析了滑动导向在不同钻压、井斜角、钻头各向异性及工具面下造斜率的影响规律，计算结果如图3~图6所示。整体结果表明，滑动导向模式下导向工具结构弯角(θ)对造斜率的敏感性大于钻井参数、轨迹参数及钻头侧向切削能力的敏感程度。由于结构弯角值的增加，加大了弯角与井壁之间的接触，有利于杠杆效应的充分发挥，因此BHA的整体造斜能力也将不断提高。

3.2.1 钻压的影响

图3为滑动钻进过程中，井斜角为60°条件下，造斜率随钻压的变化。对于具有增斜效应的滑动导向工具而言，造斜能力随钻压的增加而增强，然而当钻压增加至120 kN后，造斜率的整体趋势略微下降，其主要原因是高钻压下结构弯角处的支反力与钻压之比变小，进而减弱了结构弯角对钻进轨迹的作用。

图3 滑动钻进时造斜率随钻压的变化Fig.3 Build-up rate vs.weight on bit during sliding

3.2.2 井斜角的影响

图4为滑动钻进过程中，钻压值为140 kN条件下，造斜率随着井斜角的变化规律。结果表明，当井斜角由40°变化至60°时，造斜率呈现略微增大的趋势。因为该过程结构弯角接触井壁产生的杠杆效应大于BHA在重力作用下产生的钟摆效应，并且产生的杠杆效应会增加钻头对地层的侧向切削作用；随着井斜角继续增加，造斜率略微下降，因为随着滑动钻进接近于水平段，BHA在重力作用下产生的钟摆效应逐渐增强。

图4 滑动钻进时造斜率随井斜角的变化Fig.4 Build-up rate vs.well inclination during sliding

3.2.3 钻头各向异性指数的影响

图5分析了钻压140 kN、井斜角60°条件下，钻头各向异性指数Ib对造斜率的影响规律。随着Ib的增大，钻头的侧向切削能力不断增强，进而提高了工具的造斜能力。说明轨迹变化能力与钻头的侧向切削能力密切相关，提高钻头的侧向切削能力，有利于导向工具杠杆效应的充分发挥。

图5 滑动钻进时造斜率随钻头各向异性指数的变化Fig.5 Built-up rate vs.bit anisotropy during sliding

3.2.4 工具面的影响

图6分析了钻压140 kN、井斜角60°条件下，不同工具面对造斜率的影响规律。对于具有增斜效应导向工具而言，当工具面指向井眼高边 (ω=0°) 时，结构弯角上部钻柱重力会加强结构弯角处产生的杠杆效应，此时工具造斜率最大；随着工具面顺时针旋转至井眼低边(ω=180°) ，结构弯角上部钻柱重力会抑制杠杆效应，使得造斜率逐渐降低。

图6 滑动钻进时造斜率随工具面的变化Fig.6 Built-up rate vs.tool face during sliding

3.3 滑动钻进工具的摩阻影响

结构弯角的增加虽然会增大工具的造斜性能，但过大的弯角会造成BHA在井内难以滑动。图7为BHA在滑动钻进过程中钻压140 kN、轴向摩阻系数0.7条件下的平均摩阻，通过计算得出，随着钻进轨迹的变化、钟摆效应的逐渐增强，BHA与井壁间产生的平均摩阻增加。结构弯角的增大，加大了BHA与井壁产生的支反力，因此管柱的平均摩阻会随结构弯角的增加而增加。

图7 不同结构弯角下的平均摩阻Fig.7 Average friction vs.structural bend angle

4 结论

(1)针对滑动钻进过程，基于零侧向钻速准则，建立了滑动钻进过程中造斜率的计算方法。通过现场实钻数据进行验证，其计算值与理论值吻合良好，该方法可为后续的理论研究及实际应用提供依据。

(2)滑动导向模式下，造斜率对工具结构弯角的敏感性大于钻井参数、轨迹参数及钻头侧向切削能力的敏感程度。这是因为结构弯角值的增加，明显加大了杠杆效应，因此在实际钻进过程中，可根据滑动钻进过程的特点，合理设计优化工具结构。

(3)在杠杆效应的作用下，钻压和井斜角的增加，均有助于提高工具的造斜能力。然而，过高的钻压会减弱结构弯角对轨迹的相对作用，过大的井斜角会加大管柱对地层的钟摆效应，这些因素均会降低工具的造斜能力，其结果对于钻压影响而言更为明显。

(4)随着工具面由井眼高边旋转至井眼低边，结构弯角上部钻柱重力对结构弯角处的杠杆效应由加强转为抑制，因而钻具的造斜性能会逐渐降低，且结构弯角值越大，造斜率减弱的趋势越明显。

(5)在滑动钻进工况下，不同的结构弯角不仅会影响工具造斜率，也会导致导向钻具上摩阻的不同。因此，需要综合考虑工具造斜率、摩阻扭矩等因素的影响，合理地设计工具结构，优化钻井参数，以充分提高滑动钻进效率。