杜柳青, 李祥，吕发良，余永维

(重庆理工大学机械工程学院，重庆 400054)

0 前言

高精度凸轮加工采用CNC控制的-轴联动高速磨削，高端数控磨床上都带有位移补偿装置，想要进一步提升凸轮加工精度，就必须降低-轴联动加工的同步误差，而降低同步误差的最好方式是对加工过程进行闭环微分补偿。-轴联动加工模型实现微分补偿需要计算模型导数，而模型的数学公式非常复杂，导数计算难度和计算量都非常大，在高速加工过程中无法确保数据能够进行实时交互。如何简化模型成为实现在线补偿的一个关键问题。

国内外学者对凸轮-轴联动加工进行了大量研究。陈砚坤等应用-轴联动模型设计了凸轮轮廓误差迭代器。隋振等人研究了分别以仿形误差、切向轮廓位置误差、等效误差算法等方式进行的加工补偿。刘伟等人设计了凸轮加工位移检测实验平台。张培硕等研究了凸轮磨削砂轮磨损误差对凸轮加工的影响。孙海峰等对凸轮在线检测加工工艺进行了一系列研究。程智勇针对圆柱凸轮，提出了一种采用线性误差进行控制的四轴加工方法，与传统的加工方法相比，加工精度明显提升。

现有研究均先分析凸轮-轴联动加工数学模型，然后进行加工补偿。这种补偿方式仅考虑了理论情况下凸轮轮廓的变化情况，而实际加工中其他因素导致的加工误差并未被消除。如果考虑所有因素带来的误差会使数学模型非常复杂，不利于计算。实际加工通常都是对单级运动进行反馈补偿，而消除凸轮-轴联动加工同步误差的研究较少。

为解决上述问题，提出一种凸轮加工检测及补偿方法。利用该方法，在加工的同时可检测凸轮轮廓信息并反馈至终端，然后终端经-轴联动加工模型计算后反馈给NC，实现闭环补偿。实际的-轴联动加工速度非常快，所以本文作者针对这一特点，通过分析升程和速度瞬心数学关系，重构-轴联动加工数学模型，取得了较好效果。

1 凸轮加工补偿数学模型

为得到凸轮加工补偿的数学模型，首先要对已有的-轴联动模型进行分析，以找到一个可行的简化方法。

1.1 磨削时X-C轴联动加工数学模型

进行凸轮磨削加工时，一般提供的是凸轮升程表，或者是轮廓曲线方程()。通常情况下，轮廓曲线方程和升程表是可以相互转换的。升程表的优点是加工时只需要输入升程数据，然后由数控系统自动完成插补；而轮廓曲线方程的优点是理论计算推导时无需拟合轮廓曲线。在实际加工时，为得到规则化输出，通常采用拟合轮廓曲线的方式。

凸轮的升程表是根据工作状况给定的，分为滚子、平顶、尖顶3种从动件，为方便分析，统一用1个滚子代替3种从动件。如图1所示，以为圆心、为半径的圆为工作从动件，=0、=∞、=分别代表尖顶、平顶、滚子3种从动件的半径；为砂轮半径；为砂轮圆心；为基圆半径；为凸轮圆心；为工作转角；为加工转角；为加工状态转角；点为工作状态下的速度瞬心。

图1 凸轮X-C轴联动加工模型

由速度瞬心的相关关系可以推导出：

(1)

=++()

(2)

式中:()为轮廓曲线方程。

令=∠，则:

(3)

在△中,由余弦定理可得：

(4)

为磨削点的极半径大小，用来表示：

(5)

最终可得：

(6)

得到-轴联动加工模型如下：

(7)

1.2 模型重构

凸轮加工时通常是将升程数据直接存储到NC系统中的升程表中，则补偿数据也应以同样形式存储到补偿表中。对-轴联动模型求导得到如下补偿模型:

(8)

其中：

式中:Δ为测头检测出的实际量与理论升程差值，Δ为轴补偿量，Δ为轴的补偿量。

从公式(8)可知,补偿数据计算非常复杂，涉及升程的一阶微分运算和大量的平方和开根号。在实时动态补偿过程中需要做到毫秒级的计算速度，上述公式在NC系统中无法达到这一要求。

根据凸轮工作状态的不同,升程和补偿数据的计算方式不同，当平顶作为从动件时速度瞬心和图1中垂足点刚好重合，当两点重合后模型的几何关系与参数量都得到了大幅简化；而不同工况的升程间可以互相转换，将所有工况的凸轮升程全部转化为平顶工况，采用平顶测头进行在线测量就可以使用简化模型来补偿。简化后的模型如图2所示，为凸轮轴圆心；为砂轮圆心；为工作状态转角；为加工状态转角；点为工作状态下的速度瞬心。

图2 凸轮X-C轴联动加工重构模型

在△中,由几何关系可得：

(9)

=--

(10)

(11)

=++()

(12)

(13)

由图2中角的关系可得：

=+

(14)

(15)

综合可得：

(16)

由此得到最后的简化模型：

(17)

2 基于模型重构的在线补偿

2.1 凸轮升程转换

简化模型是在平顶从动件的基础上推导而来的，但多数情况下升程数据并非一定是平顶工况的，所以还需要对不同工况下的升程数据作相应转换。图3所示为不同工况下升程与转角的关系。

图3 不同从动件下的升程示意

图4中，为滚子圆心、为滚子半径；为平顶工况下转角；为加工转角；为滚子工况下转角。

图4 X-C轴联动凸轮升程转换模型

假设平顶工况下升程定义为

=-

(18)

滚子工况定义为

=--

(19)

又由于+=·cos，最后化简得：

=(++)·cos--

(20)

点为滚子工况下的速度瞬心，∠=∠+∠，由速度瞬心定理可得：

(21)

综合以上公式可以得到升程转换公式如下：

(22)

当升程为尖顶从动件时，令=0。

2.2 在线补偿方法

计算简化模型的微分形式就可以得到简化的在线补偿模型，补偿微分公式如式(23)所示：

(23)

数控系统中补偿表使用的是平均间隔增量数据，然而从补偿公式中得到的是不规则间隔数据，即角度+Δ对应的升程为+Δ，微分算子导致了间隔不可能相同。为得到规则化的补偿数据，可以通过最小二乘法拟合得到原曲线方程，然后通过曲线方程得到规则化的升程数据。

本文作者拟采用的在线补偿方式是通过凸轮前一轮加工的检测数据对下一轮加工进行补偿。这种补偿方式需要模型有极高的灵敏度。而简化模型最大的优势就是模型复杂度低，计算中用到的一阶和二阶微分都可以在加工之前计算存储到系统中，极大地减少了计算量，避免了计算滞后，为实时补偿提供了保障。

在实际补偿时，由于会用到前一轮的检测数据，而初始加工时是没有检测数据的，所以第一轮的加工是不带补偿的。基于这一特点，该补偿方式叫做延迟补偿模式。延迟检测补偿的工作原理是凸轮加工前一轮的检测数据经过模型计算得到补偿后，叠加到下一轮的加工中。延迟补偿工作过程如图5所示，凸轮经过多轮加工后得到最终轮廓曲线。

图5 延迟补偿过程示意

3 实验验证及分析

本文作者对小基圆凸轮加工的检测数据进行模拟验证。首先，根据升程表绘制凸轮的散点图，以观察轮廓曲线变化趋势，如图6所示。然后，根据-轴联动数学模型得到联动加工曲线图，如图7所示，该曲线为理论轮廓曲线的参考曲线。

图6 升程散点 图7 X-C轴联动数据曲线

在高速外圆磨床HBW23-P上对该凸轮进行磨削检测实验，并在线检测记录每轮磨削后的实际轮廓，随机抽取一轮检测结果，绘制出实际与理论轮廓的对比图，如图8所示。

图8 检测对比

以相同条件进行磨削补偿实验，随机抽取一轮补偿测试结果数据与检测数据作对比，如图9所示。可以看出：经过补偿后，每轮的平均误差都会减小，凸轮轮廓更接近理论的轮廓曲线，验证了文中补偿方法能够有效提高凸轮的磨削精度。

图9 补偿测试结果与检测结果对比

4 总结

本文作者通过分析现有-轴联动加工模型，提出了补偿模型重构的方法。该重构模型与原模型相比较，算法复杂程度更低，降低了计算补偿数据的时间，使它能够很好地运用在实际的凸轮检测补偿加工中；结合升程转换理论，使这种模型可以普及到不同从动件工况的凸轮加工中，最终得到通用的补偿模型；通过延迟补偿模式，实现了在线检测补偿功能，通过实验验证了该模型的有效性。