李冰，张子文，徐武彬，陈振宇

(1.广西科技大学机械与交通工程学院，广西柳州 545006；2.广西土方机械协同创新中心，广西柳州 545006)

0 前言

轴承作为支撑结构的一种重要零件，其性能与各种误差有着十分密切的联系。已有学者研究证明，制造误差对轴颈轴承的性能有着显著的影响。XU等研究了滑动轴承轴颈的圆度误差对旋转机械动态性能的影响，建立了轴颈存在圆度误差时的轴承系统模型，结果表明，轴颈圆度误差影响油膜厚度，进而影响系统的动态特性。张宏献研究了圆度误差对滑动轴承转子系统稳定性的影响，并建立了带圆度误差的滑动轴承油膜力力学模型，通过有限差分法求解雷诺方程，验证了理论与实验结果的一致性，结果表明：圆度误差对稳定性有明显的影响。魏塬等人采用2因子方法研究了轴承的轴颈直径、轴承宽度等制造公差对摩擦功率损失的影响，结果表明：轴颈制造公差会导致能量损失增加。向建华等研究了轴颈为椭圆和齿形时圆度误差对润滑性能、轴心轨迹的影响。肖云峰等以气体动压轴承为研究对象，研究了Sommerfeld数对偏心率、气膜厚度、摩擦功耗等的影响，结果表明：随着Sommerfeld数的增大，气膜厚度增大，摩擦功耗增加。VELSHER等利用将形状误差和表面粗糙度考虑在内的数学模型研究了圆形轴承，建议在轴承设计过程中应更好地考虑轴颈失圆度。PANDE和SOMASUNDARAM从理论上研究了制造误差对气体静压滑动轴承性能的影响。张新宝等探究了圆度和圆柱度误差对滑动轴承润滑性能的影响，通过建立轴颈的误差模型，推导出误差对应的间隙函数，结果表明：误差会导致润滑性能下降，并引起轴承的承载能力和摩擦力出现周期性波动。CUI等研究了制造误差对静压多孔滑动轴承静态性能影响。作者将轴颈模拟为周向波纹度、凹度和凸度，并基于Navier-Stokes方程，研究了振幅和空间波长对轴承油膜厚度、油膜压力、承载能力的影响。王莉针对3种水润滑滑动轴承(圆柱、椭圆、可倾瓦),分别建立了不同结构参数的水膜模型,通过数值计算探究其动静特性。李冰等人考虑轴颈波纹度对滑动轴承转子系统稳定性的影响，研究结果表明：轴颈表面波纹度对轴承油膜厚度、能量损失、承载能力等有着明显的影响。

综上可知，径向滑动轴承轴颈的表面误差对系统运行性能产生显著影响。然而已开展的关于轴颈的制造误差都是看作一些特定的形状或使用传统的误差表达方法。本文作者引入SDT(Small Displacement Torsors)理论来表征滑动轴承轴颈表面的形状误差，给出一种新的膜厚公式，建立了公差和基本几何尺寸之间的关系。并通过研究旋量参数对运行特性的影响，表明了SDT误差模型的可行性，由于实际生产中误差总是要求在公差范围内，所以当确定径向轴承设计公差等级时可以预测径向轴承的性能。

1 基于SDT理论的轴颈误差的表征与滑动轴承动力学模型

1.1 点的空间理论

公差带表示限制实际尺寸变动的范围。实际尺寸可理解为是理想尺寸上的点经一定的空间运动后所形成的带有误差的尺寸。在度量几何学中定义点的空间运动为平移和旋转的乘积,可采用齐次矩阵的形式来表示。考虑到研究轴颈形状误差，根据点的空间理论把轴颈误差看作是在理想轴颈的基础上由点的平移和旋转构成。

假设空间中存在理想点=[1]，实际点=[1]，沿着、、轴分别平移了、、，绕着、、轴分别旋转了、、角度。则=·,其中为变换矩阵：

(1)

1.2 基于SDT理论的轴颈误差表征

以往对误差的表征局限于把轴颈表面看作特定的形状(椭圆、凸台、马鞍、鼓形等)进行研究，而实际的轴颈表面误差具有随机性，这种特定形状的研究不仅不能全面反映轴承的真实情况，而且由于每种形状的模型不同，无法对比不同形状对轴承系统的影响程度。所以针对该问题文中引入了SDT理论，建立了SDT误差模型，推导出了一种新的方程来表征轴颈表面的误差。

根据图1所示的SDT表达原理，采用矢量方程可以表征出轴颈存在误差时的实际轴颈半径。则SDT误差模型矢量方程表示为

图1 轴承轴颈上误差的SDT表达原理

(2)

其中:为公差值;为理想轴颈半径;定位矢量=0，定向矢量=[1 0 0]。通过公式(2)，轴颈圆柱面的随机误差可以用公式(3)表示，而该公式不局限于任何特定的形状。

≤2

(3)

公式(3)中所有的旋量参数均符合下列公式：

(4)

式中：、和是轴颈表面任意点的坐标；为轴承宽度。在设计阶段作者发现，误差值总是为微米级，而轴颈为毫米级，所以误差值总是远远小于公差值所对应的轴颈直径，则可以将公式(3)化简为

(5)

为了更好地理解公式(3)对滑动轴承轴颈误差的表征，给出旋量参数在轴承轴颈中的示意，如图2所示。

图2 在轴承系统中SDT参数对轴颈公差的表征

图2中，为实际轴颈中心，为轴承中心，为理想轴颈中心，为角速度，为轴承半径，为考虑了误差的油膜厚度。

由公式(3)可知随机误差包含、、、4个旋量参数，而文中只针对平移旋量参数对误差的影响进行研究，所以令=0，=0，则公式(5)可以化简为

(6)

为了便于计算表达，将公式(6)转换到极坐标中，令=cos，=sin,代入式(6)中得到实际轴颈半径为

(7)

式中：令=cos+sin；为实际轴颈半径。

1.3 考虑轴颈误差下的油膜厚度计算

假设润滑油不可压缩和流动为层流，根据油膜的形成楔形原理，在轴颈与轴瓦之间产生润滑油膜，形成油膜压力，滑动轴承在油膜力的支撑下进行工作。为了研究SDT圆度误差模型下轴承的运行特性，建立了图3所示的动力学模型。

关于图3中理想圆轴颈所对应的油膜厚的计算，取决于轴承的结构参数以及它所在的位置角度。其表达式可根据几何关系表示为

=(1+cos)

(8)

式中：为轴承间隙；为位置角；=，为偏心率。

根据图3几何关系及公式(7)所示的实际轴颈半径，则轴颈表面轮廓函数表示为：Δ=-，考虑轴承轴颈表面的误差时，实际轴承油膜厚度可以由理想圆油膜厚与轴颈表面轮廓函数Δ描述，则油膜厚度为

图3 考虑轴承轴颈误差动力学模型

=+Δ

(9)

然后将得到的油厚度代入到雷诺方程中，如式(10)所示：

(10)

其中:为油膜表面切向速度；为润滑油黏度；为时间。

通过有限差分法求解Reynolds方程，首先将轴颈表面离散为×的矩形网格，取=37,=11，边界条件采用Swift-Stieber边界，将膜压的收敛准则设为1×10，得出轴颈表面油膜力的分布，则得出任意点油膜压力,为

(11)

文中采用的轴承结构参数为：轴承长度=76.2 mm，轴承直径=76.454 mm，轴颈直径=75.692 mm，轴承间隙=(-)/2，润滑油黏度=0.017 N·s/m。根据所给出的轴承参数可以得出如图4所示的油膜压力。

图4 油膜压力

通过公式(11)求出油膜压力，并基于此通过积分求出油膜分力和油膜表面速度，从而进一步对轴承系统的运行特性进行研究。

2 SDT圆度误差模型下轴承运行特性的研究

在轴的实际设计中，要求加工误差在所给定的公差范围内。由式(4)可知：旋量参数值要求在公差范围内，而为了便于研究公差范围内误差值对轴承系统所产生的影响，选取=13 μm和=46 μm 2种公差值进行研究。同时根据上述的轴承结构参数，来说明选定不同公差值时轴颈圆度误差对滑动轴承运行特性的影响。

2.1 SDT圆度误差模型下对临界转速和轴心轨迹的研究

根据上述计算的油膜压力，给出不同的润滑油黏度值，通过MATLAB计算及判断轴颈轴心轨迹收敛情况，得出不同润滑油黏度值对应的临界转速，其中润滑油黏度值如表1所示。

(3) 支护效果分析：巷道表面位移矿压监测结果，顶底板最大位移量为120mm，两帮最大位移量为35mm，底板和拱部左上角未出现变形破坏现象，表明加强巷道拱部与底板的支护强度，有效控制超千米深井巷道围岩变形破坏。

表1 润滑油黏度值

由图5可以看出：在同一润滑油黏度下，当转子的转速达到临界转速时，轴颈轴心的运动轨迹为一个椭圆环，说明系统运行到稳态；而不同方向的旋量参数、的大小对转子临界转速大小有着相同的影响，即对同一旋量参数而言，随着旋量参数值的增大，系统的临界转速增大。而图6表明：随着偏心率的增大临界转速增大，特别是在偏心率大于0.6时临界转速的增加更加明显。

图5 不同旋量参数下对应的临界转速下的轴心轨迹

图6 不同旋量参数下的临界转速

2.2 SDT圆度误差模型下对摩擦功率损耗的研究

在轴承转子的工作过程中，轴承轴颈与润滑油膜之间的相对运动必然产生摩擦，摩擦力导致产生摩擦功率损耗，而摩擦功率损失导致系统的稳定性受到影响。根据文献[14]可知摩擦功率损耗公式为

(12)

式中:为摩擦力；为表面切向速度。

旋量参数对摩擦功率损耗的影响如图7所示。图中显示不同旋量参数值下摩擦功率损耗随着偏心率的变化，通过对比其他学者关于摩擦功率损耗的研究，文中的摩擦功率损耗曲线与其他学者的研究有着相同的变化趋势，如图7(a)所示。

如图7(b)所示：与理想轴承相比，随着旋量参数的增大摩擦功率损耗曲线左移，且随着旋量参数的增大量越大偏移量越大，摩擦功率损耗减小。同一旋量参数下随着偏心率的增大，摩擦功率损耗逐渐减小，而且在偏心率小于0.5时下降趋势更加明显。

如图7(c)所示：与理想轴承相比，随着旋量参数的增大摩擦功率损耗曲线右移，偏移量随偏心率变化趋势与旋量参数相似。

图7 不同旋量参数下的摩擦功率损耗

2.3 SDT圆度误差模型下对系统稳定性的研究

为了更好地说明轴颈表面的随机误差对系统稳定性的影响，文中引入了量纲为一稳定运行参数，根据2.1节中所求出不同的润滑油黏度下对应的临界转速，以及公式(13)所示的计算公式，可以得出不同旋量参数下的曲线与偏心率的关系，如图8所示。

(13)

图8(a)所示为理想轴颈的稳定性临界曲线，可以看出文中轴承参数下理想轴颈的稳定性临界曲线与其他研究学者的研究有相同的变化趋势，表明文中给出的参数下对计算和仿真程序的正确性。所以在此基础上研究了旋量参数对的影响。由图8(b)和图8(c)可以看出：随着旋量参数值的增大稳定性临界曲线逐渐向下移，说明稳定性区域增大，说明无论哪个方向的旋量参数均对系统的稳定性有促进作用，且随着误差的增大对稳定性的影响越明显。

图8 轴颈误差对系统稳定性的影响

3 结论

为了研究轴颈表面误差对滑动轴承转子动力学特性的影响，建立了SDT误差模型，研究了轴颈为圆度误差时SDT旋量参数对滑动轴承系统特性的影响。研究结果表明：

(1)单一旋量参数值下滑动轴承的能量损失随着偏心率的增大而减小，但随着旋量参数值增大，、对能量损失大小有着不同的影响，表明轴颈表面的形状误差会对系统能量损失造成影响。

(2)当系统在稳定状态临界转速下运行时，轴心轨迹为规则的环形，随着旋量参数、的增大临界转速增大，相同的旋量参数下随着偏心率的增大临界转速增大。

(3)轴颈存在误差时，2个方向的旋量参数均有助于促进系统的稳定性，而且误差值越大对系统的稳定性促进作用越明显。

根据SDT旋量参数对滑动轴承系统运行特性的影响结果，表明滑动轴承轴颈上存在的误差对轴承的性能有显著影响，而且通过对比其他学者的研究表明SDT误差模型的可靠性，为轴承设计过程中公差选择提供依据。