刘 俊 刘俊媛 车轮飞 徐新华

（1.中铁第四勘察设计院集团有限公司 武汉 430064；2.华中科技大学建筑环境与能源应用工程系 武汉 430074）

0 引言

地铁隧道一般浅埋在土壤变温层中，有着独特的热特性，在传热过程、传热范围、边界条件等方面都与其他的结构传热，如巷道围岩的传热[1,2]、埋地管道传热[3-6]等不一样。长期来看，地铁隧道围岩传热可能改变地下土壤温度，影响地铁系统的远期运营环境，威胁地铁的稳定运行[7]。因此研究地铁隧道围岩传热非常有必要。在地铁隧道传热方面，部分学者建立利用数值模拟研究隧道围岩传热。胡文斌[8]建立CFD 地铁隧道模型对活塞风进行模拟，分析了隧道区间的热平衡情况并估算了围岩传热散热量，提出了变风量通风的优化方案。邓昌黎[9]基于BIM 技术搭建车站隧道模型进行数值模拟，在模拟隧道围岩温度场远期分布时，分别采用周期性变化的空气温度场和周期性通过的列车热源两种边界条件，模拟结果比较接近。胡增辉[10]利用FLAC3D 模拟隧道围岩传热，研究了某区间隧道断面围岩传热能力与温度场的演化规律。于连广等[11]建立地铁土壤温度预测模型，利用有限差分法进行数值模拟，利用高频热扰观察模型的温度热响应，结果表明高频热扰对隧道空间的温度影响很大，但是对土壤内部温度的分布影响有限。

有的学者从换热器的角度研究地铁隧道围岩的传热。刘政轩[12]提出了一种基于U 型的垂直埋管土壤-空气换热器VEAHE（Vertical Earth-to-Air Heat Exchanger,VEAHE）系统，该数学模型考虑了垂直方向土壤温度及导热系数的分层。Rotta等[13]将地下隧道视为地下热交换器，研究其热能储存潜力，表明利用地下结构作为热能储存手段有希望建立可持续的能源系统。有的学者提出将毛细管换热器作为热泵前端取热部分置于隧道衬砌内，通过毛细管内的循环介质与隧道围岩换热[14]。该文献进一步采用数值模拟对毛细管换热器在不同气候类型下冬夏季的传热过程进行分析。

刘伊江[15]对隧道周围土壤热沉积效应机理及规律进行研究，提出热沉积作用的计算方法，表明热沉积效应主要影响因素为大气与深层土壤的温度差与以列车散热为主的隧道内热源。还研究了土壤含水量对隧道围岩传热的影响[16]，结果表明土壤含水量对隧道周围土壤热物性以及蓄热能力有显著影响。上述研究都是采用地铁隧道围岩传热的相关内容做了研究，建立不同的模型进行数值计算以及简化为不同的换热器模型等。但在现有的研究隧道土壤传热的方法上，进行远期分析时往往需要的工作量大，效率低。本文建立一种简化模型，与常用热湿软件包结合可以大大增加实用性与提高计算效率。

1 地铁隧道围岩原型及简化

地铁隧道主要分为区间隧道和车站隧道。地铁区间隧道通常是指地铁车站站点与站点之间的隧道，一般在同一轨道中隧道的结构形式较为单一且长度较长。地铁车站隧道通常指的是车站范围部分包含的隧道，位于各个地铁站点，长度较短。本文区间隧道围岩为研究对象，参考实际情况，取两车站之间区间隧道长度为1000m，隧道截面图见图1。

图1 区间隧道截面Fig.1 Cross-section of the running tunnel

参考武汉某地铁区间隧道实际尺寸，其隧道上壁面至地面的高度为13.1m，隧道直径为5.2m，隧道中心至地面高度为15.7m。隧道围岩侧土壤物性参数如表1 所示[17]。

表1 土壤物性参数Table 1 Physical properties of the soil

实际情况下隧道内部情况较为复杂，为方便建立简化热网模型本节将进行一些简化。视表1 中不同深度土壤物性参数在土样一致时物性参数也保持一致性。将实际区间隧道断面简化为半径为2.6m的规则圆形，隧道壁面管片的尺寸相对于围岩土壤尺寸小，采用粉土物性参数。

隧道围岩物理模型如图2 所示。通过恒温层分析以及地铁隧道表面热响应频域特性分析，进行模型尺度的选择，结果表明以下尺寸的设定是合理的：隧道中心到地面参考实际物理模型的尺寸即15.7m，隧道中心至土壤底部尺寸、隧道中心离土壤模型左右两端尺寸均为10m。在物理模型简化的基础上，提出一种简化热网模型（RC 模型），RC模型中只要确定其热阻和热容就可以得到其对应传热系统的传热特性。

图2 隧道围岩物理模型Fig.2 Physical model of the tunnel surrounding rock

2 围岩简化RC 模型与核心层参数确定

2.1 模型概述

简化物理模型按隧道顶和底为界限分为三个部分，分别命名为上结构层、核心层、下结构层。按此划分方式建立RC 简化热网模型，如图3 所示。其中，Ttop为地面的温度，Tpipe为隧道内壁的内表面温度。R1~R9均为模型不同位置的土壤热阻，C1~C6为对应土壤热容。对隧道所处核心层作进一步简化，其中两侧土壤部分与中间隧道与其周边土壤部分视为并联关系，具体RC 阶数划分与并联关系如图3 中间段核心层所示。

图3 简化RC 模型Fig.3 Simplified RC model

上结构物理模型简化为3 阶RC 模型。上结构中总热阻与热容值计算如式（1）与（2）。

式中，L 为与传热方向相同的深度，m；λ 为土壤热导率，W/(m·℃)；δ 为垂直传热方向的宽度，m；ρ为土壤密度，kg/m3；c 为热容，kJ/(kg·℃)；V为面积，m2。在计算式中由于计算的是对应部分的总热阻值，所以需要考虑δ 的影响。

R、C 具体数值的计算需要对此部分进行比例分割，为使地面温度响应更为准确，进行了参数的试算分析。靠近地面的部分划分比例将远小于较深土壤部分，剩余R2、R3部分平分，令R1:R2:R3=1:350:350，则有C1:C2=1:700。该分配方式可获得较理想计算结果。

下结构其物理模型及该部分RC 结构示意图如图3 所示。下结构中总热阻与热容值计算如式（3）、（4）。

本层采用2R1C 形式的RC 结构，考虑到土壤底部为绝热，所以R7数值意义不大，将此部分热阻绝大部分分给R6，R6取值为0.227℃/W，R7取值为0。

2.2 核心层参数确定方法

简化模型中隧道所在的层命名为核心层，该层的物理模型与RC 结构示意图分别如图3 所示。核心层可分为两个部分，其中a 部分代表图中RC 模型中R4、R5、C4所组成的2R1C 结构，b 部分代表其余2R2C 部分，a、b 两部分为并联关系。对b 部分宽度尺寸进行试算，对b 部分不同尺寸模型的热流响应结果进行分析，比较选择后取b 为厚度与宽度分别为5.4m 与8m 的二维矩形。

a 部分的参数计算较为简单，参考上文中上、下结构参数计算方法，并划分相应比例。其中R4:R5的比例需要确定，尝试采用不同的比例并将热流结果与理论模型对比。结果表明R4:R5=1:10 时RC 模型计算结果与理论模型更加接近。R4取值0.019℃/W，R5取值0.194℃/W，C4计算结果为3.5×108J/℃。

将隧道周围土壤分为左右相同的两个部分，隧道空腔部分等效成中间面积相等的矩形空腔，如图4 所示。R8+R9的总热阻值可视为左右两部分并联值，由于面积相同，因此总热阻值为单边阻值的一半，总热阻与热容值计算如式（5）、（6）。

图4 b 部分简化Fig.4 Simplification of Part b

上述只是给出了核心层中b 的热阻热容划分与计算的一种方法（方法A）。本研究还采用另外两种方法进行简化，方法B 与方法C。方法B 将隧道周围土壤分为上下两个部分，隧道空腔部分等效成中间面积相等的矩形空腔。方法C 将隧道周围土壤等效为围绕在隧道周围面积相同的圆环，隧道部分形状域面积均不变。经计算，利用不同的划分方法，虽然土壤部分热容均通过相同面积的等效方法没有变化，但不同计算方法得到的R 值区别很大。方法B 计算出的热阻值为0.163℃/W，方法C计算出的热阻值为0.0536℃/W。

3 简化模型的频域表示

在确定区间隧道简化RC 模型各部分参数后，可以得到系统在边界条件下的节点温度随时间的变化，隧道围岩模型各节点传热方程如（7）~（12）。当系统处于准稳态时，系统温度可以表示为频域下的复指数形式，如式（13），通过拉普拉斯变换，节点传热方程组可表示为矩阵形式，如式（14）所示。

式中：Ri（i 取值1~9）为系统内各部分热阻，℃/W；Ci（i 取值1~6）系统内各部分热容，J/℃；Ti（i 取值1~7）为系统中节点温度，℃；t 为时间，s；ω为频率，s-1；u 为温度实部；ν 为温度虚部。

确定RC 模型各部分热阻与热容值之后，加载温度外扰的边界条件，通过式（14）矩阵计算求解即可获得各温度节点温度谐波的实部与虚部即u和v，结合式（15）、（16），从而可以分析出整个系统在不同外扰作用下的频域特性。

式中，Tt为时域节点温度，℃；φ 为相角，rad；A 为幅值，℃。

4 简化模型验证

以相同物理模型为基准建立频域有限元模型作为基准模型，频域有限元模型与简化热网模型所参考的物理模型与物性参数等具有一致性。因此可以利用频域有限元模型的热响应为基准，与RC 简化模型的热响应结果作对比。判定RC 简化模型准确性的依据为：与频域热特性结果更为接近的计算结果视为更加可靠，即模型更加准确。

4.1 频域有限元模型介绍

有限元法是用离散模型来近似连续函数的一种系统方法。它将问题域离散成有限个节点和子域，不重叠的子域叫做有限单元，单元和单元通过节点进行连接。利用有限元方法进行数值计算一般会分为时域有限元和频域有限元两类。时域模型的模拟往往需要同时考虑到初始条件与模拟周期时间长短的影响，频域模型可以在不考虑初始条件的基础上大大减少计算量，并且同时获得周期性条件下的准稳态传热特性。

图2 的隧道围岩物理模型的传热过程可用二维传热偏微分方程如式（17）进行描述。

式中，T 为求解域的温度，℃；qv为内热源，取0；其他各参数如前所述。利用有限元法将二维模型离散成一系列网格，建立围岩传热的离散模型，如图5 所示。

图5 隧道围岩网格模型Fig.5 Meshing model of the tunnel surrounding rock

温度场离散成若干个温度节点T1、T2、T3…Tn（在简化模型中，也采用这样的方式表示温度节点，只是更为宏观），并在计算域中对它们进行逐 一偏导，可得矩阵形式，如式（18），简写为式（19）。

其中，KD为总体刚度矩阵；ND为总体变温矩阵；PD为总体温度载荷向量或者热流载荷向量。为总体温度向量对时间TD的偏导。

当不考虑系统的初始条件且只受到单一谐波热扰的作用时，可认为该系统处于准稳态，此时的系统温度可以表示为频域下的复指数形式，由实部与虚部共同组成，如式（15），式（16）。对方程（18）直接求解就可以得到在任意频率ω下各个节点的频域温度响应（即各点频率相同、振幅和相位不同的温度谐波）。详细细节可参考文献[18,19]。

4.2 简化模型验证

当系统受到隧道热扰作用时，采用三种计算方法得到的简化模型进行热流幅值的预测，同时采用基准模型对热流幅值进行计算，结果对比如图6 所示。当系统受到地面热扰作用时上述四种模型热流幅值的对比图如图7 所示。由图6 可以看出，三个简化模型与基准模型均在低频区拟合情况较好，但在高频区表现出很大差异。方法A 的简化模型计算得到的热流幅值与基准模型的热流幅值相差最小。在高频区差异最大为方法C 的简化模型计算得到的幅值曲线，方法B 的简化模型次之。图7（a）显示三种方法获得的简化模型与基准模型均差别不大，表现出一致性。图7（b）中，方法B 的简化模型计算所得幅值曲线，与基准模型的幅值相差最大。方法A 的简化模型计算得到的幅值曲线与方法C 的简化模型计算得到的幅值曲线相差不大，在高频区都偏离基准模型的幅值曲线。

图6 简化模型与理论模型在隧道热扰下隧道与地面温度热响应幅值Fig.6 Amplitudes of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the tunnel thermal disturbance

图7 简化模型与理论模型在地面热扰下隧道与地面温度热响应幅值Fig.7 Amplitudes of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the ground surface thermal disturbance

三种方法计算得到的简化模型的相角与基准模型的相角的对比如图8、图9 所示。三个简化模型在相角值上没有表现出明显的差异性，在整体上与基准模型的相角接近。

图8 简化模型与理论模型在隧道热扰下隧道与地面温度热响应相角Fig.8 Phase angles of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the tunnel thermal disturbance

图9 简化模型与理论模型在地面热扰下隧道与地面温度热响应相角Fig.9 Phase angles of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the ground surface thermal disturbance

三种方法确定的简化模型计算出的相角相差不大，但幅值表现出较大的差别。采用热流响应结果中的热流幅值进行比较，选择方法A 得到的简化模型。总的来说，通过方法A 计算得到的简化模型在计算得到的热流响应曲线上与基准模型吻合较好。可以认为该模型在不同的外扰作用下得到的热流响应结果即热流幅值与相角均表现出很好合理性，该模型可用于隧道围岩传热的计算分析。

5 结论

本文以实际地铁隧道物理模型为基础建立了隧道围岩简化RC 模型。确定模型中的RC 参数对模型的准确性十分关键，本文对模型中上层结构与下层结构各个热阻值的比例分配进行了分析选取，对核心层的参数确定不同的方法进行测算，其中采用方法A（即将隧道周围土壤分为左右相同的两个部分进行并联，隧道空腔部分等效成中间面积相等的矩形空腔）计算出的热阻值最为合理。进一步采用频域有限元模型做为基准模型，并采用特征外扰获取基准模型的频域热响应特性。对简化模型方程组进行拉普拉斯变换得到围岩简化模型的频域传热计算矩阵，进一步获得特征外扰下的频域热响应特性。比较基准模型的频域热响应特性与简化模型的频域热响应特性表明，采用方法A 获取的简化模型的频域热特性与基准模型的频域热特性中低频区域（<10-4rad/s）吻合很好。