李香港

（天津理工大学机械工程学院，天津 300384）

形状记忆合金是一种智能材料，以其特有的形状记忆效应和伪弹性[1]，被广泛用于机械、土木、医疗器械、航天等多领域，目前对于形状记忆合金结构动力特性的研究已普遍展开。文献[2]根据形状记忆合金多项式函数本构关系，建立了形状记忆合金梁横向振动的非线性动力学方程，利用平衡态定性分析法分析讨论了外载荷、温度对系统动力稳定性的影响；文献[3]引入范德波尔项，建立了形状记忆合金迟滞非线性动力学模型，研究了随机激励下形状记忆合金悬臂梁的分岔特性；文献[4]研究了动态载荷下形状记忆合金梁的响应特性；文献[5]基于动力学奇异性理论，研究了形状记忆合金层合梁的分岔现象，分析了激励参数、形状记忆合金层厚度等因素对系统减振效果的影响。本文针对轴向运动的形状记忆合金矩形薄板进行分析，研究系统发生主共振时的稳态响应，分析薄板尺寸、外载荷、轴向运动速度等因素对系统稳态响应的影响。

1 轴向运动形状记忆合金矩形薄板的动力学方程

1.1 形状记忆合金多项式本构关系

根据文献[6]，将形状记忆合金应力-应变关系表示为一个五次多项式，即：

式（1）中：a1、a2、a3为多项式系数；T为温度；TM为马氏体相变温度。

马氏体临界温度以下，马氏体相稳定；奥氏体临界温度以上，奥氏体相稳定。应用多项式函数来表示形状记忆合金本构关系更容易得到复杂系统的动力学方程。

1.2 轴向运动形状记忆合金矩形薄板的动力学建模

假设形状记忆合金矩形薄板长为a，宽为b，厚度为h，密度为ρ，阻尼系数为c，薄板在x轴方向的移动速度为v，如图1所示。

图1 轴向运动形状记忆合金矩形薄板示意图

轴向运动矩形薄板的平衡方程为：

由式（1）可知，对于薄板，非线性应力-应变关系可表示为：

式（3）中：μ为泊松比；εx、εy、γxy为应变分量。

设u0、v0为薄板中面沿x、y轴的位移，可得：

薄板的几何方程为：

厚度为h的矩形板的内力矩表达式为：

将式（4）代入式（3）中，可得非线性应力-应变表达式，再将3个表达式代入式（5），对Z坐标沿厚度h的方向进行积分，最后将结果代入式（2）中得轴向运动形状记忆合金薄板的振动方程，为：

式（6）中：

2 系统受迫振动分析

2.1 四边简支边界下薄板的振动微分方程

假设强迫激励P=fcos（ω0t），考虑四边简支薄板的边界条件，取位移模式如下：

通过伽辽金法将振动方程及位移模式离散化，可得振动微分方程：

式（7）中：

2.2 多尺度法求解

应用多尺度法进行求解，引入小参数ε，微分方程表示为如下形式：

矩形薄板的横向位移展开式：

将式（9）代入（8）中，并忽略ε的高阶项，得：

方程的通解为：

将通解（11）代入式（10）中，并消除久期项，可得：

将A表示为极坐标形式：

式（13）中：a为幅值；θ为相角。

将式（14）（15）代入式（13）中，分离实部和虚部，并引入新的变量γ=σT1－θ，对于系统的稳态运动情况，令˙＝γ˙＝0a，得到a和γ的常值解。

可以得到薄板系统的幅频响应方程：

式（16）中：a为共振幅值；σ为频率。

3 数值算例与结果分析

对于形状记忆合金薄板，给定参数如下：c=0.2，a1=523 MPa，a2=1.868×107MPa，a3=2.186×109MPa，TM=287 K，μ=0.3，ρ=2.89×103kg/m3，h=0.05 m。用四阶龙格库塔法对多尺度法计算结果进行验证后的主共振幅频曲线图如图2所示。取参数a=0.5 m，b=0.5 m，v=1 m/s，P=5 kN。图2 中，星号为数值计算结果，由图2 可以看出，仿真结果与多尺度法所求的解吻合较好。

图2 主共振幅频曲线图

3 种不同尺寸下轴向运动形状记忆合金矩形薄板的响应曲线如图3所示，由图3 可见，薄板尺寸大小对系统主共振幅频响应曲线的幅度有重要的影响，小尺寸薄板响应曲线的幅度要远小于大尺寸薄板响应曲线的幅度。也就是说，当薄板尺寸减小时，响应幅值会出现不同程度的减小。所以，在实际应用中，可通过减小尺寸来降低薄板主共振振动幅度。

图3 薄板尺寸对幅频响应的影响

不同轴向运动速度下形状记忆合金薄板系统的响应曲线如图4所示。随着轴向运动速度的增大，曲线沿频率方向发生明显的平移，但幅值未发生明显变化。这表明，轴向运动速度的变化会对共振频率产生一定的影响，但并没有使响应曲线发生定性变化。

图4 轴向运动速度对幅频响应的影响

不同外载荷下轴向运动形状记忆合金薄板系统的响应曲线如图5所示。由图5 可见，随着外载荷增大，响应曲线沿频率方向发生平移。与轴向运动速度相似，外载荷变化只影响共振频率，未对响应曲线产生定性影响。

图5 外载荷对幅频响应的影响

4 结论

本文研究了轴向运动形状记忆合金矩形薄板在外载荷作用下的主共振问题，推导了矩形薄板的振动微分方程。并通过多尺度法求得薄板系统的幅频响应方程。对系统的主共振问题进行数值分析，结果显示：薄板尺寸增加，振动幅值增大；轴向运动速度与外载荷只影响共振频率，轴向运动速度增大，共振频率增大；外载荷增大，共振频率减小。