李中启 李 晶 全倡辉 张学毅 黄守道

无线电能传输系统带磁屏蔽任意位置矩形线圈的互感计算

李中启1,2李 晶1全倡辉3张学毅3黄守道2

（1.湖南工业大学交通工程学院 株洲 412007 2.湖南大学电气与信息工程学院 长沙 412008 3. 湖南工业大学电气与信息工程学院 株洲 412007）

互感是无线电能传输系统的一个关键参数，在电动汽车线圈耦合机构中添加磁屏蔽材料，可以有效减少磁泄漏，增强线圈之间的互感。目前还没有方法计算带磁屏蔽任意位置矩形线圈之间的互感。为此该文基于双傅里叶变换和麦克斯韦方程组推导了带磁屏蔽条件下的磁通密度。并在此基础上，利用空间直角坐标变换法，得到了任意相对位置两个矩形线圈的互感计算式。与传统的近似计算方法不同，所提出的方法是计算互感的解析方法，可以对线圈间互感进行精确的数值求解。最后，以两个具有多种位置变化情况的矩形螺旋线圈为例进行了模型验证，互感的理论计算值和有限元仿真结果及实验结果吻合良好，验证了所提方法的有效性。

无线电能传输 矩形线圈 互感计算 磁屏蔽

0 引言

无线电能传输（Wireless Power Transfer, WPT）系统由于其便利性、可靠性和安全性等优点[1-3]，被广泛应用于电动汽车[4-6]、轨道交通[7]、消费电子[8]、医疗器械[9]、水下供电[10-11]和自动化制造装备等领域[12-13]。然而，在实际应用过程中，初级线圈和次级线圈之间不可避免地会现位置偏移情况，导致线圈之间的互感发生变化[14]，从而导致效率降低和输出电压波动[15]。因此，研究互感随线圈位置变化的规律具有重要意义。

在WPT系统中，常用的传输线圈是圆形线圈或矩形线圈。其中关于两个圆形线圈间的互感计算方法已经有大量文献研究，这些工作分别基于近似公式[16-17]、兰布达函数[18]、贝塞尔和斯特鲁夫函数[19-20]以及Biot-Savart定律[21-22]。然而，从实际的角度来看，具有两个矩形线圈的WPT系统在某些情况下更为必要和实用，因为在发生偏移时，矩形线圈比圆形线圈的互感波动更小。尽管这样，关于矩形线圈的互感计算方法的研究仍然较少[23]。文献[24]通过诺依曼公式，计算了同轴的两个矩形线圈之间的互感。文献[25]则利用Biot-Savart定律，提供了一种考虑线圈水平偏移和角度偏转的互感计算方法。在此基础上，文献[26-27]针对矩形线圈常见的相对位置变化情况，给出了对应的互感表达式。文献[28]将导线抽象为截面无穷小的理想线段，以任意位置两根通电导线的互感计算式为基础，解决了任意位置两个矩形线圈的互感计算问题。文献[29]从聂以曼公式入手，推导出了任意位置多边形线圈互感的一般表达式。尽管这些研究已经分析了线圈间相对位置各种变化情况，但是并没有分析磁屏蔽层对线圈互感的影响，从已有研究可知，在WPT线圈结构中添加磁屏蔽材料后，磁通路径发生改变，使得非工作区的磁场强度减小，同时线圈间耦合得到增强[30]。文献[31]基于二阶矢量位，推导了带磁屏蔽回折线圈阻抗的通用解析表达式。文献[32]则通过双傅里叶变换建立了铁磁板上矩形线圈的三维磁场解析模型。在此基础上，文献[33]从傅里叶分析的扩散方程出发，计算平行导体板上四个初级线圈与一个次级线圈在不同位置时的互感。文献[34]利用傅里叶-贝塞尔变换和双傅里叶变换，建立了双边带磁屏蔽的两个平行矩形螺旋线圈的互感解析模型，但是没有考虑线圈间的相对位置变化情况。综上所述，对于带磁屏蔽任意位置矩形线圈的互感计算方法还有待进一步研究。

本文建立了带磁介质矩形平面螺旋线圈在任意相对位置的互感解析模型。首先，利用傅里叶积分变量表达矩形线圈之间的磁场分布；其次，利用空间直角坐标变换法和磁通密度法，求解磁介质上任意相对位置的两个单匝矩形线圈之间的互感；然后，将矩形螺线线圈近似为一组同心的单匝矩形线圈，利用叠加法推导了矩形螺线线圈的互感计算公式；最后，通过仿真与实验验证了所推导互感计算式的正确性。

1 矩形线圈常见的位置变化

初级线圈与次级线圈之间的互感与相对位置有关：当两线圈对称分布且传输距离较近时，互感较大；当两线圈垂直分布且传输距离较远时，互感较小。事实上，两个线圈的位置常常不是固定不变的。本文总结了矩形线圈常见的几种位置变化情况，并针对每种位置变化情况，通过仿真与实验对所得互感计算公式进行了验证。

矩形线圈常见的几种位置变化如图1所示。图中Tx为初级线圈，Rx与分别为位置变化前与位置变化后的次级线圈。Tx与Rx同轴且不存在偏转，属于对称分布。图1b～图1f中Tx与均属于非对称分布，其中包括水平偏移、水平角度偏转、垂直角度偏转、水平角度偏转加偏移和垂直角度偏转加偏移五种情况。图1中线圈位置变化参数的符号及具体含义见表1。

图1 矩形线圈常见位置变化示意图

表1 线圈位置变化参数

Tab.1 The parameters ofcoils position variation

2 带磁屏蔽矩形线圈互感计算

带磁屏蔽的两个矩形线圈示意图如图2所示，为了方便分析，将整个空间分为4个区间，其中区间2为厚度有限的磁介质，代表线圈的屏蔽层，其余为空气介质。区间3的上表面与坐标平面重合，1和2为初级线圈和次级线圈几何中心的高度；、r和分别表示屏蔽层的厚度、相对磁导率和电导率；1、2为初级线圈的半长与半宽，1、2为次级线圈的半长与半宽。与空芯矩形线圈模型不同，该模型里既存在i（入射磁通密度）又存在r（反射磁通密度）。其中i由流过初级线圈的电流产生，r则由磁屏蔽层中的感应涡流产生。通常认为区间3和区间4中只存在r，而区间1和区间2中既含有r也含有i[34]。

图2 带磁屏蔽矩形线圈的结构

2.1 入射磁通密度

对于空气中电流密度为的载流导体，其在任意点P（,,）处产生的磁矢位为[35]

为求解上述方程，使用双傅里叶变换公式如下：

将式（1）代入式（3）可得

其中

根据式（1）中的磁矢位表达式，可以求出入射磁通密度i的表示为[36]

式（7）经傅里叶变换可得

式中，符号“^”表示双傅里叶变换运算。

把初级线圈等效为四段导线1、2、3和4，导线1、3与轴平行，导线2、4与轴平行。因此，磁矢位在轴方向上的分量a仅由导线1、3产生，而与导线2、4无关。根据式（5）得到a的表达式为

式中，a1、a3分别为导线1、3产生的磁矢位分量。

同理得到磁矢位在轴方向上的分量为

将式（9）、式（10）代入式（8）得到区间3和区间4的入射磁通密度可表示为式（11）～式（16）。

区间3（0≤＜1）有

区间4（≥1）：

2.2 反射磁通密度

2.2.1 区间2

区间2为线圈的磁屏蔽层，根据麦克斯韦方程组可以得到关系式

将式（17）、式（18）代入式（3）可得

根据式（19）可设区间2的反射磁通密度的垂直分量为

联立式（21）、式（22）可以得到2rx、2ry与2rz的关系式为

2.2.2 区间1、区间3和区间4

区间1、区间3和区间4为空气介质所在区域，根据麦克斯韦方程组可以得到关系式

式中，=1,3,4。

同理，将式（25）和式（26）代入式（3）可得

根据线圈无穷远处的磁通密度为零、式（27）可以得到区间1、区间3和区间4中反射磁通密度的垂直分量为

式中，1rz、3rz和4rz为待定系数，且3rz=4rz。

联立式（28）和式（32），得到rx、ry和rz之间的关系为

2.3 边界条件

根据电磁场边界条件：若分界面处不存在自由面电流，则磁通密度的法向分量和磁场强度的切向分量在分界面的两侧保持连续，即和在0和2平面上连续，其中/，由此得到

联立式（11）～式（13）、式（21）、式（23）、式（29）、式（30）、式（33）和式（35）可得

将式（14）～式（16）和式（31）～式（34）代入式（5）进行傅里叶逆变换，得到区域4中的磁通密度为

2.4 空间直角坐标变换

空间内同一点在不同直角坐标系中的坐标之间的关系，称为空间直角坐标变换。对式（39）～式（41）运用空间直角坐标变换可以得到任意直角坐标系下的磁通密度，进而得到任意相对位置的两个矩形线圈之间的互感。将空间直角坐标变换分为移轴变换、转轴变换和一般坐标变换。

（1）移轴变换：若原坐标系沿轴、轴和轴分别平移D、D和D后得到新坐标系，则P点的原坐标（,,）与其新坐标（,,）满足关系式

（2）转轴变换：若新坐标系是通过原坐标系绕轴逆时针旋转角度后得到，则P点的原坐标（,,）与其新坐标（,,）满足

同理可得

式中，为坐标系绕轴旋转的角度；为坐标系绕轴旋转的角度。

（3）一般坐标变换：指既包含移轴变换又包含转轴变换的坐标变换。若原空间直角坐标系在移轴变换的基础上，先后绕轴、轴和轴旋转角、角和角后得到新坐标系，则

2.5 互感计算

通过磁通密度计算线圈之间互感的公式[37]为

式中，为次级线圈所围的区域；为初级线圈的电流。

联立式（39）～式（41）、式（46）和式（47）可得任意相对位置带磁心的单匝矩形线圈的互感计算式为

式中，4ix、4iy、4iz、4rx、4ry和4rz可由式（14）～ 式（16）和式（36）～式（38）得到。

多匝矩形螺旋线圈如图3所示，矩形螺旋线圈可以近似为一组同心的单匝矩形线圈。根据叠加原理，两组同心的单匝矩形线圈之间的互感可以表示为

式中，Np、Ns分别为初级线圈和次级线圈的匝数；Mmn为第m匝初级线圈和第n匝次级线圈间的互感。

3 仿真与实验

仿真在Ansys Maxwell 15.0有限元工具上进行，仿真模型如图4所示。实验采用文献[19]中使用的测量方法，在非磁性的木桌和亚克力框架上进行，实验装置如图5所示，初级线圈端设有尺寸66cm×66cm、厚1.5cm的铁氧体块作为磁屏蔽板，阻抗分析仪用于测量电感，其电流频率为 85 kHz。

图4 仿真模型

图5 实验装置

互感测量实验原理如图6所示，图中T和R分别表示Tx和Rx的自感。图6a中，线圈同相连接，线路两端的电感为1=T+R+2，图6b中，线圈反相连接，线路两端的电感为2=T+R-2。因此，Tx和Rx之间的互感=|1-2|/4。

图6 互感测量实验原理图

仿真和实验过程中，初级线圈与磁屏蔽层保持不动，线圈间相对位置的改变由调整次级线圈来实现。图7为线圈位置变化的实验模型。线圈和磁屏蔽的参数见表2。

图7 线圈位置变化实验模型图

表2 线圈与磁屏蔽参数

Tab.2 Parameters of coil and magnetic shields

3.1 垂直偏移

图1a为线圈发生垂直偏移的示意图。当线圈以步长10mm发生垂直偏移，线圈的传输距离（次级线圈与初级线圈几何中心的垂直距离）从100mm增加到180mm时，线圈的互感见表3。表3中，1表示仿真误差，2表示实验误差，两者表达式为

式中，c为本文所得互感计算公式得到的互感计算值；s为互感仿真值；e为实验测量值。

表3 垂直偏移时的互感值及误差

Tab.3 Mutual inductance for vertical misalignment

根据表3，可以看到，传输距离从100mm变化到180mm的过程中，仿真误差1均小于2%，实验误差2均小于3%，计算结果与仿真及实验结果基本保持一致。图8所示为表3对应的互感变化曲线。图8中，互感随着传输距离的增大而逐渐减小，这是因为线圈间的耦合磁链随着传输距离的增大而减小，从而导致了线圈间的互感变小。过程中，仿真误差

图8 垂直偏移时互感变化曲线

3.2 水平偏移

图1b为发生了水平偏移的矩形线圈。当线圈的传输距离为80mm，次级线圈沿轴以步长10mm发生水平偏移，偏移量从0mm增大到70 mm时，线圈的互感见表4。

表4 水平偏移时的互感值及误差

Tab.4 Mutual inductance for horizontal misalignment

根据表4，可以看到，水平偏移量从0mm变化到70mm的过程中，仿真误差1均小于2%，实验误差2均小于3%，计算结果与仿真及实验结果基本保持一致。图9所示为水平偏移时对应的互感变化曲线。

图9 水平偏移时互感变化曲线

图9中，互感随着水平偏移量的增大而迅速减小，这是因为线圈间重合的区域随着增大而减小，从而导致线圈之间的耦合减少。

3.3 水平角度偏转

图1c为发生了水平角度偏转的矩形线圈。当传输距离为80mm，水平偏转角度从0°增大到90°时，线圈的互感见表5。根据表5，可以看到，水平偏转角度从0°变化到90°的过程中，仿真误差1均小于1%，实验误差2均小于2%，计算结果与仿真及实验结果吻合良好。图10所示为表5对应的互感变化曲线。图10中，从0°变化到90°而互感基本恒定，这是因为变化前后几乎重合，耦合磁链变化很小，从而导致线圈间互感基本不变。

表5 水平角度偏转时的互感值及误差

Tab.5 Mutual inductance for horizontal deflection

图10 水平角度偏转时互感变化曲线

3.4 垂直角度偏转

图1d为线圈发生垂直角度偏转的示意图。实验分析了传输距离为80mm，偏转角度从0°增大到90°时互感的变化情况，互感计算值、仿真值与实验测量值的结果及误差分析见表6。

根据表6，可以看到，垂直偏转角度从0°变化到90°的过程中，仿真误差1均小于1%，实验误差2均小于4%，计算结果与仿真及实验结果保持一致。图11所示为水平角度偏转时对应的互感变化曲线。

表6 垂直角度偏转时的互感值及误差

Tab.6 Mutual inductance for vertical deflection

图11 垂直角度偏转时互感变化曲线

图11中，当＜45°时，随着的增大互感变化较小；而当＞45°时，磁链随着增大急剧减小，从而导致了互感的急剧减小。

3.5 水平角度偏转加偏移

图1e为线圈发生水平角度偏转加偏移时的示意图。传输距离为80 mm，水平偏转角分别为15°和45°的矩形线圈，在沿轴方向发生偏移时的互感见表7。从表7可以看出，在偏移量从-40mm变化到40 mm的过程中，仿真误差均小于1%，实验误差均小于2%，计算结果与仿真及实验结果吻合良好。图12所示为水平角度偏转加水平偏移情况对应的互感变化曲线。图12中，15°和45°时互感的变化曲线基本重合，说明水平角度偏转对线圈互感的影响不大，线圈互感主要受水平偏移影响，与图9、图10的结论一致。

图12 水平角度偏转加偏移时互感变化曲线

表7 水平角度偏转加偏移时的互感值及误差

Tab.7 Mutual inductance for horizontal deflection with horizontal misalignment

3.6 垂直角度偏转加偏移

图1f为线圈垂直角度偏转加偏移的位置变化示意图。表8给出了传输距离为80mm，垂直偏转角分别为15°和45°的矩形线圈在发生偏移时的互感值。由表8可得，在偏移量从-40mm变化到40mm的过程中，仿真误差均小于1%，实验误差均小于3%，计算结果与仿真及实验结果基本保持一致。图13所示为垂直角度偏转加偏移情况对应的互感变化曲线。图13中，15°曲线和45°曲线存在交叉，因为线圈在此处垂直偏转15°后的磁链与垂直偏转45°后的磁链相等，互感相等。当≤-10mm时，45°的互感大于15°；当垂直偏移量在＞-10mm时，15°的互感大于45°。15°曲线在=0时取得最大值，而45°曲线在=-20mm时取得最大值。

图13 垂直角度偏转加偏移时互感变化曲线

表8 垂直角度偏转加偏移时的互感值及误差

Tab.8 Mutual inductance for vertical deflection with horizontal misalignment

4 结论

本文推导了磁屏蔽环境中的任意位置矩形螺旋线圈之间互感的解析模型。该模型基于双傅里叶变换和麦克斯韦方程组，求解了次级线圈所在区间的入射磁通密度和反射磁通密度，然后利用空间直角坐标变换法，得到了任意位置带磁屏蔽矩形线圈的互感计算式。分析了两个矩形线圈在多种位置变化的情况，互感的计算值、仿真值和实验测量值具有良好的一致性，并且各种误差均小于5%，充分说明了本文所推导的互感计算公式的正确性。研究结果为带磁屏蔽的无线电能传输系统提供了线圈设计和参数优化的理论依据，对接下来双边带磁屏蔽层情况的研究也具有一定借鉴意义。

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Mutual Inductance Calculation of Arbitrarily Positioned Rectangular Coils with Magnetic Shielding in Wireless Power Transfer Systems

Li Zhongqi1,2Li Jing1Quan Changhui3Zhang Xueyi3Huang Shoudao2

（1.College of Transportation Engineering Hunan University of Technology Zhuzhou 412007 China 2. College of Electrical and Information Engineering Hunan University Changsha 412008 China 3. College of Electrical and Information Engineering Hunan University of Technology Zhuzhou 412007 China）

Mutual inductance is a key parameter of the wireless power transfer (WPT) system. Themagnetic leakage can be reducedand the mutual inductance between coupling coils can be enhancedby adding the magnetic shielding for the electric vehicle. However, there is currently no method to calculate the mutual inductance between arbitrarily positioned rectangular coils with magnetic shielding. In this paper, the magnetic flux density of coils with magnetic shielding is derived by the Dual Fourier transform and Maxwell's equations. On this basis, the mutual inductance of two arbitrarily positioned rectangular coils is obtained by applying the spatial rectangular coordinate transformation method. The obtained method is different from the traditional approximate calculation method. It is an analytical method that can accurately numerically solve the mutual inductance between coils. Finally, the mutual inductance calculation formula is verified by two rectangular spiral coils with various position changes. The calculated results are in good agreement with the simulated and experimental results, which verifies the effectiveness of the proposed method.

Wireless power transfer, rectangular coils, mutual inductance calculation, magnetic shielding

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211293

TM724

国家自然科学基金（11901188）、湖南省教育厅项目（20B186, 18A272）和湖南省自然科学基金（2019JJ60066）资助。

2021-08-15

2021-12-16

李中启 男，1985年生，博士，助理教授，研究生导师，研究方向为无线电能传输技术。E-mail：my3eee@126.com

黄守道 男，1962年生，博士，博士生导师，研究方向为特种电机本体及控制、无线电能传输技术。E-mail：hsd1962@hnu.edu.cn（通信作者）

（编辑 郭丽军）