刘 初 玥

(西华师范大学 数学与信息学院， 四川 南充 637009)

0 引言

我们研究加权Drichlet能量.给出以下定义和符号[1-2]，映射h:→，且给出h的Hilbert-Schmidt范数：

定义1假设h:Ω→Ω′是定义区域Ω上的一个W1,2(Ω)映射，其中Ω和Ω′⊆，ρ为Ω′上的Riemann度量，定义加权Dirichlet能量为[6]：

(1)

定义2假设h:Ω→Ω′，h=h(ξ)是定义在区域Ω上的一个W1,2(Ω)类映射，其中Ω和Ω′⊆.z和ξ表示在区域Ω内的不同变量，将ξ看作Ω到自身的C∞光滑微分同胚：ξ(z)=z+ψ(z)且且则h的内变分H(z)=h[ξ(z)]=h[z+ψ(z)].

此时h的边界值由h(Ω)=Ω′给出，但大多数时候都不考虑边界情况，在非线性超弹性空间[7-9]中被称为无摩擦问题.

Iwaniec等[10]研究了度量ρ[h(z)]=1时，关于Dirichlet能量的内变分，本文在此基础上研究了加权情形下Dirichlet能量的内变分.

1 研究的主要结果

定理1映射h:Ω→Ω′定义的内变分是由H(z)=h[ξ(z)]，z∈Ω′给出的映射H=H(z)，其中ξ=ξ(z)以及其逆映射z=z(ξ)都是Ω上自身到自身的微分同胚，则：

(2)

(2)当度量ρ[h(z)]=1时，(2)式就是文章 [10]中的(1.11)式.

同理可得

所以

(3)

(3)式的左右两边都是关于z的变量，所以两边可以同时积分，之后再根据面积元素变换规则：

在(3)式的右边进行变量变换，因此

(4)

其中

(5)

将(5)式带入(4)式后再带入(2)式，得：

定理1证明完毕.

2 相关的推论及证明

所以给出以下推论：

推论1若H几乎处处恒等于零，则内变分不减少能量，即E[h]≤E[H].

对定理1进行推广，已知z(ξ):Ω→Ω也是复平面上的微分同胚，所以选择任意一个复值函数

对足够小的ε∈，映射z=z(ξ)=ξ+εη(ξ)都是Ω中变量ε的微分变换.ε的选取与η有关，但是为了方便计算，我们不考虑这一点.现在的目标是将(2)式展开为关于ε的幂次项，因此考虑h的内变分：H(z)=h[ξ(z)]，z=z(ξ)=ξ+εη(ξ)，其中ξ∈Ω，ε足够小.

推论2H的加权Dirichlet能量的ε幂次型展开，在ε≈0时等式也有效：

(6)

当取消Re时等式也成立，因为h是复数函数.

注同样地，当度量ρ{h[z(ξ)]}=1时，(6)式就是文献 [10]中的(1.15)式.

(7)

带入(7)式得：

推论2证明完毕.

3 多连通区域上Hopf乘积等于零的例子

{0}=1∪2∪…∪n∪…，

其中

n={z∈:rn+1≤|z|

且rn=n-2,n=1,2…，

En[h]==

E

所以在多连通区域上也可以找Hopf乘积为零的例子，并且保证了它的Dirichlet能量是有限的.