陈超山，谢国进，卢 敏，黄 斌

（1.柳州职业技术学院 机电工程学院，广西 柳州 545000；2.广西科技大学 机械与汽车工程学院，广西 柳州 545000；3.广西柳州钢铁集团公司质量部，广西 柳州 545006）

粘滑振动（stick-slip vibration）作为一种典型的非光滑振动，主要是由于摩擦界面动、静摩擦系数数值不同而发生的“运动—静止—运动—静止”的摩擦现象。粘滑振动广泛存在于含有摩擦副的各类机械系统中，尤其是低相对滑动速度、高外部作用载荷条件下[1]。粘滑振动导致机械系统颤振和极限环振荡，并由其引起系统的不稳定振动，带来诸如低鸣噪声（如汽车制动器[2]）、降低加工精度（如机床[3]）等严重问题。因此，全面、系统地研究摩擦系统的粘滑振动发生机理及其关键影响因素，对于提高含有摩擦的机械系统的工作性能具有重要的工程指导价值。

目前，国内外研究人员对振动摩擦系统中的粘滑振动现象开展了许多理论研究和试验研究工作，有效促进人们对于粘滑振动的认识。在理论研究方面，Papangelo等[4]建立了单自由度摩擦模型，并以传送带滑动速度作为分岔参数，采用数值计算方法绘制了传送带滑动速度作用下的摩擦系统分岔图，且采用标准线性稳定性分析和非线性稳定性分析讨论了大扰动下的摩擦系统的振动特性。Wei等[5]建立了汽车制动系统双层制动片结构的动力学模型，讨论了制动片质量和连接刚度对系统稳定性的影响，以及不同外部压力作用下系统的非线性行为和粘滑振动响应。Marín等[6]利用数值仿真分析软件，讨论了单自由度模型和二自由度模型中主要参数对粘滑振动相平面和相空间运动的影响规律。张立军等[7]采用有限元方法建立了汽车盘式制动器的有限元模型，讨论了蠕动颤振发生时汽车制动器的非线性动力学特性。阎俊等[8]以典型的含结合面干摩擦振动系统为研究对象，建立了含多尺度粘滑干摩擦模型的系统模型，讨论了谐波激励下摩擦振动系统的非线性行为。

在试验研究方面，Park等[9]采用1∶5缩比试验装置开展了制动界面接触平台大小及分布对制动器粘滑振动的影响研究，发现接触平台对粘滑振动的强度及频率均具有显著影响。Gweon等[10]采用试验方式研究了制动片摩擦材料中玻璃纤维分布情况对粘滑振动的影响，发现含有研磨玻璃纤维的摩擦材料具有较高的摩擦系数、高磨损系数和更大的振荡振幅。张立军等[11]以某乘用车为研究对象，开展了常规平路起步和坡道空挡起步工况下汽车制动颤振试验研究，并对汽车制动器粘滑振动的关键影响因素进行了分析和讨论。滕学清等[12]采用ESM钻柱振动测量工具测量了某超深井井下钻柱的三向振动加速度信号，并采用信号处理方法对粘滑振动特征进行提取，讨论了井下钻柱的粘滑振动行为。

Stribeck摩擦模型考虑了库伦摩擦、黏性摩擦、静摩擦以及Stribeck效应，能够较好地描述干摩擦过程摩擦系数的演变情况，因而在粘滑振动的理论和试验研究中均得到了广泛的应用。然而，却鲜有研究人员系统地开展Stribeck摩擦模型参数变化下粘滑振动的数值及有限元仿真分析。为此，本文针对机械装备摩擦系统中普遍存在的粘滑振动现象，建立了考虑界面接触行为的4自由度摩擦模型，讨论了Stribeck摩擦模型、界面接触行为和外部输入对摩擦系统粘滑振动的影响。研究成果为进一步研究粘滑振动发生机理及寻找有效的抑制措施提供一定的理论指导。

1 摩擦自激振动物理模型

本文基于模态耦合理论，借鉴Hoffmann提出的2自由度摩擦模型[13]，建立了考虑摩擦界面接触刚度的4自由摩擦自激振动物理模型，如图1所示。

图1 摩擦自激振动物理模型

该摩擦自激振动物理模型由具有x1和y12个方向自由的质量块m1和x2及y22个方向自由度的传送带m2构成。质量块m1由2根斜弹簧（k1和k2）及2个阻尼器（c1和c2）共同支撑，其中斜弹簧k1和k2与x1轴的夹角分别为α1和α2，阻尼器c1与y1轴同向，阻尼器c2与x1轴同向。对于传送带m2而言，其主要由弹簧k3和k4与阻尼器c3和c4共同支撑，当中k3和c3与x2轴同向，k4和c4与y2轴同向。传送带m2沿着图中方向以速度V0滑动，并通过接触刚度kn和接触阻尼cn与质量块m1实现接触，故质量块m1受到的摩擦力Ff方向与传送带m2滑动方向一致。为了保证质量块m1与传送带一直处于摩擦接触状态，在质量块m1上施加沿y1反方向的作用力Fn。

由于Stribeck摩擦模型能够较好地描述相对运算速度和摩擦系数之间的关系以及动静摩擦力的转换过程，因而在摩擦自激振动的相关研究中得到广泛应用[1]。根据Stribeck摩擦模型可将质量块m1与传送带m2之间的摩擦系数数学表达方程式可写为

式中：μk为动摩擦系数；μs为静摩擦系数；α为Stribeck摩擦模型的指数衰减因子。其中，指数衰减因子α决定摩擦系数衰减的速度，α越大，摩擦系数的衰减速度越快。当α=0时，此时摩擦系数曲线没有衰减趋势，最大静摩擦系数的数值和动摩擦系数的数值相等，即摩擦系数和速度无关。此外，νr为质量块m1与传送带m2之间沿着x1方向的相对速度，其数学表达式可描述为

由前述建立的摩擦自激振动物理模型，结合牛顿第二定律可得到该物理模型的数学表达式：

式中：Fcontact-n为质量块m1与传送带m2之间的界面接触力，其可描述为

式中：kn为质量块m1与传送带m2之间的接触刚度；cn则为接触阻尼。

2 摩擦系统粘滑振动特性分析

基于前述建立的4自由度摩擦自激振动物理模型及其数学表达式，讨论Stribeck摩擦模型参数、外部输入及界面接触刚度对摩擦系统粘滑振动的影响。其中，该摩擦系统的主要参数设置：m1=2 kg，m2=10 kg，k1=3 000 N/m，k2=5 000 N/m，k3=k4=8 000 N/m，c1=c2=c3=c4=0.1 N/（m/s）。这里需要说明的是，本文建立的4自由度摩擦自激振动模型及其参数选取并非为了重现某一特定的物理或试验现象，而是为了定性地阐明不同因素影响下摩擦系统的粘滑振动特性及其演变规律。

2.1 Stribeck摩擦模型参数影响分析

在式（1）Stribeck摩擦模型基础上，以动摩擦系数μk=0.1，指数衰减系数α=1，静摩擦系数μs分别为0.2、0.3、0.4、0.5、0.6，可得到摩擦系数随相对速度νr的变化规律如图2（a）所示；以动摩擦系数μk=0.2，静摩擦系数μs=0.5，衰减系数α分别为1、2、3、4、5，可得到以上参数影响下摩擦系数随相对速度νr的变化规律如图2（b）所示。由图2可以看出，相对速度较小时，静摩擦系数对摩擦系数整体大小的影响最为显著，但随着相对速度的增大，静摩擦系数的影响较小。指数衰减系数则显著影响动、静摩擦系数之间的转换。指数衰减系数较大时，动、静摩擦系数快速转换，而指数衰减系数较小时，动、静摩擦系数随着相对速度变化而缓慢过渡。

假设质量块m1受到的法向力Fn=100 N，动摩擦系数μk=0.1，指数衰减系数α=1，传送带m2的滑动速度V0=0.01 m/s，接触刚度kn=5 000 N/m，接触阻尼cn=0 N/（m/s）。将图2（a）中的摩擦系数代入前述建立的4自由度摩擦自激振动物理模型的数学表达式，并在MATLAB中采用ode45进行求解，可得到以上参数作用下摩擦系统的振动特性，如图3所示。

图2 摩擦系数随相对速度的变化

由图3可以看出，静摩擦系数μs对摩擦系统粘滑振动的时域特性和频域特性均具有显著影响。其中，静摩擦系数较小时（μs=0.2），质量块m1仅沿着x1轴的负方向滑动，且滑动速度也最小。随着滑动速度的增大，质量块m1的运动方向将不仅限于x1轴的负方向，而是沿着x1轴的正、负方向均有运动。此外，随着静摩擦系数μs的增大，质量块m1沿着x1轴的正、负方向的振动速度均显著增大。因此，静摩擦系数的变化对摩擦系统的振动强度具有显著影响。

图3 不同静摩擦系数下摩擦系统粘滑振动的时域特性和频域特性

在摩擦系统粘滑振动的频域特性方面，不同静摩擦系数下摩擦系统均表现为多阶谐波振动，各阶振动频率没有随着静摩擦系数的变化而变化。对于摩擦系统而言，其频率响应特性主要由其固有结构（如结构刚度和质量等）决定，故而Stribeck摩擦模型静摩擦系数的变化并不会改变摩擦系统的频率响应特性。尽管如此，随着静摩擦系数的增大，摩擦系统各阶振动强度均明显增强，这与前述时域特性分析结果一致。

不同静摩擦系数下摩擦系统的运动相图如图4所示。由图4可以看出，各个静摩擦系数下摩擦系统均能够明显区分粘着和滑动2种运动状态。静摩擦系数μs=0.2时，摩擦系统滑动阶段振动速度均小于传送带滑动速度（0.01 m/s），且摩擦系统的振动位移均小于0，即往x1轴的负方向。随着静摩擦系数增大，摩擦系统运动相图的极限环也随之增大，振动速度和振动位移都存在于x1轴的正、负方向。其中，静摩擦系数的增大也导致摩擦系统往x1轴正、负方向的振动速度和位移增大。

图4 不同静摩擦系数下摩擦系统运动相图

同样地，假设质量块m1受到的法向力Fn=100 N，静摩擦系数μs=0.5，动摩擦系数μk=0.2，传送带m2的滑动速度V0=0.01 m/s，接触刚度kn=5 000 N/m，接触阻尼cn=0 N/（m/s）。将图2（b）中的摩擦系数代入前述建立的4自由度摩擦自激振动物理模型的数学表达式，对摩擦系统进行求解可得到以上参数作用下摩擦系统的振动特性，如图5所示。

由图5可以看出，Stribeck摩擦模型的指数衰减系数对摩擦系统的粘滑振动强度具有一定影响，随着指数衰减系数的增大，粘滑振动的强度也有一定程度的减弱，如图5（a）所示。其中，在指数衰减系数α=4时，摩擦系统滑动阶段振动速度方向正好与其他几种情况相反。对图5（a）中不同指数衰减系数下的摩擦系统粘滑振动时域信号进行FFT分析，结果如图5（b）所示。从而得出，各指数衰减系数下摩擦系统粘滑振动在频域上均呈现出倍频关系，即粘滑振动为多阶谐波振动。此外，指数衰减系数对摩擦系统粘滑振动各阶频率均没有影响，仅影响了各阶频率下能量聚集情况。不难发现，随着指数衰减系数的增大，各阶频率处聚集的能量均增强，这与摩擦系统的时域信号分析一致。

图5 不同指数衰减系数下摩擦系统粘滑振动的时域特性和频域特性

图6为Stribeck摩擦模型不同指数衰减系数下摩擦系统的运动相图。结果表明，该相图可以明显看出摩擦系统存在粘着和滑动2种运动状态，且摩擦系统的运动相图随着指数衰减系数的增大而增大。摩擦系统处于粘着状态时，其振动速度与传送带滑动速度（V0=0.01 m/s）一致，振动位移方向则存在于x1轴的正、负方向；摩擦系统处于滑动状态时，摩擦系统质量块m1沿着x1轴的正负方向均有运动，其中主要以x1轴运动为主，且随着衰减系数的增大，质量块m1的振动速度和振动位移均增大。

图6 不同指数衰减系数下摩擦系统运动相图

2.2 外部输入的影响分析

对于摩擦系统而言，外部输入（如载荷和传送带滑动速度等）均会给其粘滑振动特性带来显著影响。为此，本节将着重讨论作用在质量块m1上的法向力和传送带滑动速度V0分别对摩擦系统粘滑振动特性的影响。假设Stribeck摩擦模型的静摩擦系数μs=0.5，动摩擦系数μk=0.2，指数衰减系数α=1，传送带滑动速度V0=0.01 m/s，接触刚度kn=5 000 N/m，接触阻尼cn=0 N/（m/s）。分别取一系列法向载荷F（100、200、300、400、500 N），在MATLAB中通过ode45求解摩擦系统，可得到不同法向力作用下摩擦系统的粘滑振动时域特性和频域特性，如图7所示。

由图7可以看出，在法向载荷F为100 N和200 N时，摩擦系统在x1轴的正负方向均存在运动，但是这2种载荷作用下摩擦系统的运动方向则正好相反。随着法向载荷F的增大，摩擦系统的运动方向以x1轴的负方向为主，仅在m1振动速度从0过渡到传送带滑动速度V0=0.01 m/s这一过程中运动方向为x1轴正方向。在摩擦系统粘滑振动强度方面，在本文设定的参数范围内，摩擦系统的粘滑振动强度随着法向载荷F的增大呈减小趋势。此外，在法向载荷较小时，摩擦系统的粘滑振动较为稳定，随着法向载荷的增大，摩擦系统粘滑振动变得不稳定。由图7（a）可知，粘滑振动峰值时大时小。

图7 不同法向载荷作用下摩擦系统粘滑振动的时域特性和频域特性

由图7（b）可以看出，法向载荷的作用并未改变摩擦系统粘滑振动的频域特性，各法向载荷作用下摩擦系统的粘滑振动仍然表现出倍频关系，即呈现出多阶谐波振动。不同法向载荷作用下，摩擦系统的粘滑振动均以一阶振动（频率为6 Hz）为主。随着法向载荷的增大，摩擦系统粘滑振动各阶频率处所聚集的能量均减小，这与摩擦系统粘滑振动时域分析结果一致。

绘制不同法向载荷F作用下摩擦系统粘滑振动运动相图，如图8所示。由图8可以看出，在法向载荷F为100 N和200 N时，摩擦系统粘滑振动运动空间均较大，且较为稳定并表现为单周期运动特征。随着法向载荷的增大，摩擦系统粘滑振动运动相图空间减小，并且运动相图往x1轴负方向运动。此外，从图8也可以看出，法向载荷给摩擦系统粘滑振动的稳定性带来显著影响，法向载荷为400 N和500 N时，摩擦系统粘滑振动运动相图呈现出混沌状态。尽管法向载荷增大导致摩擦系统粘滑振动速度减小，但是振动位移却沿x1轴负方向显著增大，这可能是法向载荷增大，摩擦系统粘着阶段时间较长导致的。

图8 不同法向载荷作用下摩擦系统运动相图

假设Stribeck摩擦模型的静摩擦系数μs=0.5，动摩擦系数μk=0.2，指数衰减系数α=1，接触刚度kn=5 000 N/m，接触阻尼cn=0 N/（m/s），作用在质量块m1上的法向载荷F=100 N，传送带滑动速度V0分别取一系列值（0.01、0.02、0.03、0.04、0.05 m/s），在MATLAB中通过ode45求解摩擦系统，可得到不同传送带滑动速度V0作用下摩擦系统的粘滑振动时域特性和频域特性，如图9所示。

由图9可以看出，传送带滑动速度对摩擦系统的粘滑振动特性同样具有一定影响。在本文设定一系列传送带滑动速度影响下，摩擦系统均沿着x1轴的正负方向运动。其中，传送带滑动速度V0=0.01 m/s时，摩擦系统振动速度较小，传送带滑动速度增大时，摩擦系统相应的振动强度也急剧增大，而后粘滑振动强度随着传送带滑动速度的增大未表现出明显的增强。从图9（b）中传送带不同滑动速度作用下摩擦系统粘滑振动频域特性可以看出，传送带滑动速度对摩擦系统粘滑振动的频率成分未带来显著影响，粘滑振动均表现出多阶谐波振动特性。传送带滑动速度影响了摩擦系统各阶频率处能量的聚集情况，且影响规律与时域特性一致。

图9 不同传送带滑动速度作用下摩擦系统粘滑振动时域特性和频域特性

绘制不同传送带滑动速度作用下摩擦系统粘滑振动运动相图，如图10所示。由图10可以看出，传送带滑动速度较小时，摩擦系统粘滑振动相图空间较小，随着传送带滑动速度的增大，相图空间也急剧增大，而后未再显著增大。此外，传送带滑动速度较小时，摩擦系统在x1轴的正负方向都存在粘着现象，而随着传送带滑动速度的增大，仅在质量块往x1轴的负方向运动过渡到沿正方向运动阶段存在粘着现象。

图10 不同传送带滑动速度作用下摩擦系统粘滑振动运动相图

2.3 界面接触刚度的影响分析

许多研究表明，摩擦系统界面摩擦学行为与系统振动响应存在直接关系，而界面摩擦学行为也将通过界面接触刚度反馈于摩擦系统的摩擦自激振动[14-15]。为此，本节将讨论摩擦系统界面接触刚度对摩擦系统粘滑振动的影响。

假设作用在质量块m1上的法向力F=100 N，传送带滑动速度V0=0.01 m/s，Stribeck摩擦模型的静摩擦系数μs=0.5，动摩擦系数μk=0.2，指数衰减系数α=1，摩擦界面接 触 刚 度 取 一 系 列 值（kn分 别 为2 000、3 000、4 000、5 000 N/m）。在MATLAB中通过ode45求解摩擦系统，得到不同界面接触刚度作用下摩擦系统的粘滑振动时域特性和频域特性，分别如图11和12所示。

由图11和图12表明，接触刚度kn=2 000 N/m时，质量块m1的振动速度均小于传送带的滑动速度V0，且摩擦系统的振动强度也是最小的。接触刚度kn为3 000 N/m和4 000 N/m时，摩擦系统的粘滑振动得到显著增强，振动速度也不再是所有时刻都小于传送带的滑动速度，其中摩擦系统的接触刚度kn=4 000 N/m时，具有最强的粘滑振动。然而，接触刚度kn=5 000 N/m时，摩擦系统的粘滑振动强度反而减弱了，说明接触刚度的增大并不会导致摩擦系统的粘滑振动无限增强。在接触刚度对摩擦系统粘滑振动频域影响方面，不同接触刚度下摩擦系统的频率成分表现出一定差异，但仍然存在多阶谐波振动特性。

图11 不同接触刚度下摩擦系统粘滑振动时域特性

图12 不同接触刚度下摩擦系统粘滑振动频域特性

绘制不同接触刚度作用下摩擦系统粘滑振动相图，如图13所示。由图13可以看出，接触刚度kn=2 000 N/m时，摩擦系统表现出单周期运动特征，且质量块m1的振动速度都小于传送带的滑动速度，其振动位移也处于x1轴的负方向。随着接触刚度增大，摩擦系统的粘滑振动相图先由混沌状态逐渐趋于单周期振动，且相图的范围也先增大后减小。

图13 不同接触刚度下摩擦系统粘滑振动运动相图

3 结论

本文建立了考虑界面接触行为的4自由度摩擦自激振动模型，讨论了Stribeck摩擦模型、界面接触行为和外部输入对摩擦系统粘滑振动的影响。具体结论如下。

（1）Stribeck摩擦模型的静摩擦系数的增大能够显著增强摩擦系统的粘滑振动强度，运动相图空间也随之增大且单周期运动显著；指数衰减系数的增大则略微降低，运动相图空间减小，系统稳定性未显著变化；静摩擦系数和指数衰减系数的变化对摩擦系统的频域特性未产生影响。

（2）界面接触刚度反映了质量块与传送带之间的摩擦学行为，摩擦系统的粘滑振动随着接触刚度先增大后减小，运动相图逐渐趋于单周期运动。接触刚度的变化改变了摩擦系统的频域特性。

（3）法向力及传动带的滑动速度作为摩擦系统的外部输入，同样对系统的粘滑振动存在显著影响。对于质量块-传送带系统，法向力的增大降低粘滑振动强度且改变了运动方向；滑动速度则在较小时显著改变系统的粘滑振动强度，较大时则未产生显著影响。