李海鹏， 冯大政， 陈少锋

(1.西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室， 陕西 西安 7100071;2.西安电子工程研究所 总体一部， 陕西 西安 710100；3.武警工程大学 教研保障中心， 陕西 西安 710086)

0 引言

栅栏覆盖在无线传感器网络(WSN)的应用中有着极其重要作用与地位，其广泛应用于工业、经济、军事等诸多领域。近年来，基于雷达的WSN被用于对重点区域进行探测与监控。为能够检测到以任意路径进重点区域的入侵者，通常需要利用雷达网络构建一个连续的雷达栅栏覆盖。

传统的雷达栅栏覆盖是基于圆盘或扇形覆盖模型而构建的，在这些模型中发射器与接收器共置，通常称其为单基地雷达。但是单基地雷达发射器利用率不高、安全性较差。相对的，多基地雷达由若干分开放置的发射器和接收器构成，具有抗干扰、抗反辐射导弹、反隐身、反低空突防能力强等特性，在性能上和成本上相比于单基地雷达更具有优势。由于发射器和接收器的布站位置对多基地雷达的覆盖区域有直接影响，因此近年来关于多基地雷达的布站优化问题受到了广泛关注。根据应用场景不同，布站优化问题可分为直线(带状)栅栏覆盖和圆周(圆环带)栅栏覆盖。文献[11]以布站成本最小化为准则构建带状栅栏覆盖,并研究了雷达布站的容错和节能问题；文献[12]构建K栅栏覆盖；文献[13]构建点目标栅栏覆盖；文献[14-18]基于直线构建带状栅栏覆盖，使得布站总成本最小；文献[19-20]以最小化布站总成本为准则，分别研究圆周型栅栏覆盖问题和具有给定宽度的圆环型栅栏覆盖问题。同时，以上文献均假设发射器和接收器的性能参数都分别相同，即为同构多基地雷达(HMMR)。而实际应用中由于布站位置受限的原因，基于HMMR的优化结果可能不易实现。利用含有不同发射器的多基地雷达网络进行布站，即采用异构多基地雷达(HTMR)，则可以适应更复杂的应用场景。如图1(a)所示，假设两条曲线之间为限制区，雷达不能布置在该范围内，此时基于HMMR的布站结果不符合实际应用要求。相对的，在图1(b)中，采用HTMR的布站方法可以避开限制区。、是两种不同的发射器，其中红色发射器为异构发射器，,…,为接收器。

图1 雷达网络构建栅栏覆盖示意图Fig.1 Barrier coverage diagram of the radar network

文献[21]基于HTMR进行研究，主要讨论了直线栅栏覆盖的布站问题，通过仿真实验表明HTMR的最优布站结果依赖于不同发射器的布站次序，指出从理论上给出如何确定这一最优次序是十分困难的。因此，如何优化HTMR网络的布站位置，使得成本最小是一个值得研究和探讨的问题。本文受文献[21]启发，但与该文献不同，主要有以下区别：

1) 文献[21]对雷达传感器的布站位置无要求与限制，本文从实际应用场景出发，考虑在布站位置受限的情况下，基于HTMR的优化布站方法。

2) 文献[21]在仿真中采用6种HTMR(每种发射器最多只有一个)构建栅栏覆盖，由于使用雷达种类较多，不利于实施及维护。

3) 文献[21]方法的优化结果为近似最优，本文方法计算的布站结果是最优。

4) 本文进一步提出了基本布站模式中接收器个数上限阈值的计算方法。

1 多基地雷达基本概念与问题描述

1.1 多基地雷达覆盖区域模型

设、分别表示雷达发射器与接收器，其组成的双基地雷达记为(,)，位于点处的目标信噪比()为

(1)

图2 基本布站模式Fig.2 Basic deployment patterns

目标在点处可能被多组双基地雷达探测到，记该点的最大噪声比为()，即有

(2)

式中：由发射器所确定的常数。因此，点处的目标能被多基地雷达覆盖的充分必要条件是()≥。

若发射器与发射器发射功率相同，记为=；若发射器的功率大于发射器，记为>。同时假设所有接收器相同，布站成本一样，用、分别表示发射器与接收器的成本，设=为发射器与接收器成本之比。实际应用中发射器成本高于接收器，因此有>1。

1.2 直线栅栏覆盖的基本概念

假设雷达传感器网络中所有发射器、接收器均部署在直线段上，以形成直线栅栏覆盖。那么对于直线段上任一点，满足()≥，∀∈, 直线段被称为布站线。此时所有穿越直线段的目标均可以被多基地雷达网络探测到。不失一般性，在直线段上从左到右依次部署发射器和接收器。同时，为了充分发挥发射器的作用，布站线的左右两端均部署接收器，如图3所示。

图3 HMMR直线栅栏覆盖示意图Fig.3 HMMR linear barrier coverage diagram

图4 模式中发射器耦合度(Tj>Ti)Fig.4 Transmitter coupling degree of

1.3 直线栅栏覆盖问题描述

图5中，布站线左端点为数轴的原点，布站限制区宽度‖‖=，限制区将布站线分为和两段，长度分别记为、。

图5 布站线示意图Fig.5 Deployment diagram

因此问题可表述为：在有约束的布站线上采用1个异构发射器和若干同构发射器及接收器构建直线栅栏覆盖，上任意一点均处于雷达网络的覆盖范围内。在总布站成本最小的准则下优化布站节点的位置和数量。相应的模型为

min++
s.t.()≥,∀∈,=+
=,,∉(,),=1,…,

(3)

2 最优栅栏覆盖序列的特征与优化模型

2.1 基本模式覆盖长度的计算及性质

(4)

(5)

式中：「⎤表示向上取整。

以下进一步给出栅栏覆盖长度的计算公式及主要证明过程。

211 覆盖长度计算公式

(6)

(7)

(8)

结论1和结论2可通过简单的代数运算证明，过程从略。

进一步，构建HTMR覆盖长度增幅序列{|=(+1)-()}，由(8)式可以证明该序列具有单调递减性。该特点说明随着接收器数量增加，HTMR覆盖长度也会增加，但是增加的幅度是递减的。因此仅通过增加接收器来增加覆盖长度的方法不是最优的。同理可构造HMMR覆盖长度序列{|=(+1)-()}，该序列也是单调递减序列，即通过增加接收器来增加HMMR覆盖长度的方法也不是最优的。因此需要研究覆盖长度的性质，确定最优布站方法。

212 HMMR模式的性质

设,为自然数，如下结论成立：

1)若+=2,则当且仅当=，或、均为连续奇数时，()+()取得最大值2()；

2)若+=2+1，则当且仅当|-|=1时，()+()取得最大值()+(+1)。

1) 不妨令=-，=+,为非负整数。当、均为奇数时，分为奇数和偶数2种情况进行证明。

②若为奇数，则为偶数，类似可证明当且仅当=0，即、均为相等奇数时取得最大值。

在、均为偶数时，也分为奇数和偶数2种情况进行证明。

其余情况可类似证得结论1成立。

2) 不妨令=+1-,=+，为偶数，为奇数。类似结论1的证明，可得结论2成立。由定理2可知(2+1)+(2-1)=2(2),这表明两个同构模式2-1与2+1覆盖长度之和可用2个相同的模式2等量替代。另一方面，模式2与2+2的覆盖和不可用2个模式2+1替代，即(2)+(2+2)<2(2+1)。

设、为自然数， 若+为定值，那么，当且仅当|-2|≤1时，()+()的值最大。进一步有，当为奇数时，=(-1)2或=(+1)2；当为偶数时，=2。

分3种情况进行证明：①+=3+2;②+=3+1;③+=3。下面给出当+=3+2时的证明过程，不妨令=2+1-,=+1+，则

同理可证，若+=3，则当且仅当=2，=时，()+()取最大值(2)+(),即=2。若+=3+1，则当且仅当=、=2+1时，()+()取最大值(2+1)+()，即=(-1)2。

定理2和3说明了HMMR中最优栅栏覆盖序列的性质，以下研究HTMR中最优覆盖序列性质。

213 HTMR模式的性质

(′)+(′)≤()+()

(9)

214 最优栅栏覆盖序列的基本结构

2.2 布站问题的优化模型及其求解算法

模型M：

(10)

模型M的目标函数中没有显含变量Δ，但目标函数值的大小却依赖于Δ。直接求解十分困难，因此本文提出分层分解的算法：第1层，模型M拆分为模型M-1、模型M-2及模型M-3；第2层，模型M-1,M-2再分别按照模型M-1-1、M-1-2拆分。

模型M-1:

式中:

(11)

模型M-2:

式中:

(12)

再求解以下优化模型：

模型M-3:

(13)

由于优化模型(11)式与优化模型(12)式的求解算法类似，下面以求解模型(11)式为例给出具体算法。

首先对给定的进一步分解模型M-1，则有

模型M-1-1：

min{q(1)1,q(1)2,n′1,t(1)1,t(1)2}cn1=q(1)1(n1+α)+t(1)1n12+n1+q(1)2(n1+1+α)+t(1)2n1+12+αs.t. q(1)1σF(n1)+q(1)2σF(n1+1)+σF10(n′1)+t(1)1σP(n12)+t(1)2σP(n1+12)≥ξs1

(14)

由此可得模型(11)式的最优解。综上，本文模型分解过程如图6所示，相应的算法流程如图7所示。

图6 模型分解过程Fig.6 Model decomposition

图7 算法流程图Fig.7 Algorithm workflow

=⎣(-1)2」

(15)

具体算法步骤如图8所示。

3： 对求解子优化问题(14)，得到HMMR模式中接收器个数为时，直线最优覆盖序列

优化模型(13)式的求解算法如图9所示。

3 仿真实验与结果分析

本节通过仿真实验来说明所提方法的有效性与可行性。假设栅栏的长度从100 km以步长20 km增加到300 km，限制区的宽度为3 km，且其左右两边的布站线长度分别为=67+10和=30+10,=0,…,10。不失一般性，设接收器的费用=1元，在算法2中设置步长为01 km。其他参数设置如表1所示。

表1 仿真试验参数设置

方案1栅栏长度与布站费用关系如图10所示。由图10可以看出，总费用随着栅栏长度的增加而增加，且呈现近似线性关系。发射器的费用总是大于

图10 方案1栅栏长度与布站费用关系Fig.10 Barrier length versus deployment cost for Scheme 1

4： 初始化集合=∅

5： for=1∶2

6：=()+Δ，=-

接收器的费用，若发射器费用增加幅度大，相应地接收器费用增加幅度就小，反之亦然。

方案1栅栏长度与传感器数量关系如图11所示。由图11可以看出，布站所用总节点数量、接收器数量和发射器数量随栅栏长度增加的变化趋势。总节点数量与接收器数量的变化趋势一致，且变化幅度较大，而发射器数量的变化趋势平缓，呈近似线性变化。这是因为发射器的费用要远大于接收器的费用，为了使布站费用最小，尽可能多用较低费用的接收器而少用发射器。当然也不能仅通过增加接收器，定理1指出随着接收器数量的增加，其覆盖效果就越差，因此，需要优化使用发射器与接收器才能使布站费用最少。

图11 方案1栅栏长度与传感器数量关系Fig.11 Barrier length versus number of sensors for Scheme 1

下面对方案2与方案1的优化结果进行比较。在方案2中，HTMR模式中发射器性能不变，而其余同构雷达发射器的性能增强。相应的布站总费用、发射器、接收器费用差如图12所示(方案1费用减方案2的相关费用)。

图12 方案1与方案2费用差Fig.12 Cost difference between Scheme 1 and Scheme 2

图12表明，与方案2相比，方案1消耗的总费用、接收器费用和发射器费用普遍较少。这是由于方案2中HMMR发射器的成本更高，因此在方案2中更多使用了成本较低的接收器，少用了成本高的发射器，但是方案2中发射器的费用仍高于方案1发射器的费用。

方案3与方案1优化结果的比较。在方案3中，发射器的性能增强，而其余发射器性能不变，相应的布站总费用、发射器、接收器费用差如图13所示(方案1费用减去方案3的相关费用)。

图13 方案1与方案3费用差示图Fig.13 Cost difference between Scheme 1 and Scheme 3

由图13可知，方案1比方案3节省费用，但节省的数量不大，且不随栅栏的长度变化而改变。这是由于两个方案的差别仅在于一个异构的发射器，方案3中异构雷达发射器的探测性能增强了，而其余的发射器探测性能相同。发射器费用及接收器费用随着栅栏长度的改变而变化，但二者呈现出此消彼长的趋势。

在仿真实验中，假设雷达的探测阈值与雷达的费用为近似线性关系，在实际应用中可根据实际情况进行调整。

仿真实验表明，布站总费会随采取的布站方案不同而改变。因此在有多种雷达可选择的条件下，参考本文方法进行仿真，有助于选择最经济的布站方案。

下面以栅栏长度=180 km(其中限制区宽度等于3 km，=107 km，=70 km)为例给出以上 3种方案的具体布站序列。

4 结论

本文在雷达布站位置受限的情况下，讨论了一种直线栅栏覆盖的优化布站方法。本文假设当有一对雷达的布站位置受限制的情况，在寻找两个栅栏覆盖分界点(即发射器的布站位置)时，由于是在一维区间，故采用定步长的一维搜索方法。从本文的仿真结果看出，利用本文所提方法，在实际应用中可以准备多种不同的雷达布站方案，从中选择成本最小的方案作为最终的布站结果。最优的栅栏覆盖布站方法往往与实际场景密切相关，如无法构建直线栅栏覆盖，而用若干段直线构成的折线栅栏覆盖；或跨越多条河流的直线栅栏等等。本文所构建的数学模型与布站方法可以拓展到这些雷达布站位置受限制的情况，此时优化模型的复杂度增大，相应求解算法的难度会显著增大，这种情况下，定步长搜索方法效率低，需要采用其他的优化算法进行求解，如智能算法中的遗传算法、蚁群算法、鲸鱼优化算法、哈里斯鹰优化算法等等。