张 波，陈 珍，袁季兵*

(1.衡阳师范学院物理与电子工程学院， 421002 ，湖南，衡阳；2.衡阳市第八中学，421008， 湖南，衡阳)

0 引言

1 有理真分式分解成分项分式

有理真分式有如下形式

(1)

其中n>m。

(2)

发现有理真分式可分解成下面分项分式

(3)

其中常系数可以用下面公式求出

(4)

2 有理真分式的拉普拉斯积分变换反演

接下来介绍如何对分解后的有理真分式(3)执行拉普拉斯积分变换反演。首先简要介绍拉普拉斯积分变换的基本概念和一些基本性质。对于一个自变量定义在[0,∞]区间的函数f(t),对它执行拉普拉斯积分变换的形式如下

(5)

拉普拉斯积分变换具有如下一些重要性质：

1)线性定理￡[c1f1(t)+c2f2(t)]=c1￡[f1(t)]+c2￡[f2(t)]；

同时还介绍一个本文需要用到的一个重要的拉普拉斯积分变换反演关系式

(6)

其中n为正整数，s为复常数。

利用拉普拉斯积分变换的线性定理以及关系式(6)，得到有理真分式(3)可反演成如下形式

(7)

根据得到的一般有理真分式的拉普拉斯积分变换反演式(7)，具体讨论2种常见有理真分式下的拉普拉斯积分变换反演式。

1)n个单根的情形。有理真分式分母只有n个单根时，式(3)可化简成

(8)

它的拉普拉斯积分变换的反演式为

(9)

其中系数

(10)

进一步讨论n个单根中存在s对共轭复单根，n-2s个单实根的情形。当所求的根为复数时，那么这个根的共轭复数必然也是N(p)=0的根，因此设p1,2j=α2j+iβ2j，p1,2j-1=α2j-iβ2j，j=1,2,3，…s，其中α2j，β2j为实数。当有理真分式为实系数有理真分式时，可以证明它们对应的系数A1,2j,0=A1,2j-1,0*=a2j+ib2j，其中a2j，b2j为实数。它的拉普拉斯积分变换的反演式可以进一步化为

(11)

2)1个s重根，n-s个单根的情形。在……