李樊，聂晓梅

（湖北文理学院附属医院 襄阳市中心医院 骨科，湖北 襄阳 441021）

转子存在人类心脏中，在心动过速或者心脏颤动中发挥重要作用.转子在二维平面的运动形成螺旋波，心脏的电激动在心肌二维平面上传播主要以行波（平面波）、靶波（环形波）、螺旋波3 种形式存在[1]，其中行波和环形波是稳定的波，而螺旋波波头是个奇异点，该点由于不稳定会诱发多个波头，从而形成时空混沌.临床上使用除颤仪在胸外应用电复律和电除颤器通过释放高能电脉冲将各种异位快速心律失常转复为窦性心律，或者使用IC 类抗心律失常药物可以减少子波的数量抑制房颤的发生.如果临床上除颤不彻底，就会导致旋转着的螺旋波破碎成多中心的漩涡，继而破坏细胞组织，会进一步引发心脏纤维的颤动.因此，螺旋波的形成及控制才成为实验和临床上人们研究的热点.本文主要通过数值模拟方法再现螺旋波及其破碎形成时空混沌的控制过程.

1 螺旋波的数值模拟

心律失常过程中，螺旋波通常是驱动或者室颤的起源，它是在二维空间中自组织形成的弯曲的涡流，而在三维空间中称为回卷波[2-3].稳定的螺旋波的中心尖端（非线性动力学上称之为奇异点或者波头），可以根据心脏的电生理特性选可激发介质来模拟，该介质可以借助于非线性动力学方程再现心肌组织的可激发状态，通过调整系统参数模拟行波、靶波、螺旋波和时空混沌[4]1635.

2 4 种波的形成

一般选择运算效率高的Bär 模型[5]来模拟可激发介质中4 种常见波动的产生，构建驱动-响应系统可以用动力学方程组描述：

式中：u是快变量；v是慢变量；ab，和ε是非线性系统的参数；D是系统的扩散系数，可以通过调节参数形成激发性不同的介质，选取近似于大小为50×50 的可激发介质区域，离散的格点数为128×128，时间步长为0.02，空间步长0.39，分别使用一阶欧拉向前差分方法和五点差分格式作用于时间导数和空间导数上，同时使用无流边界条件作用于系统边界.

2.1 行波

行波是平面波的一种，如果激发源是一条线，该激发波沿着二维可激发介质边缘兴奋，则会产生一个横向的组织的平面波，在数值模拟中采取赋值方法.行波的形成过程见图1.

图1 行波的形成过程

2.2 靶波

靶波是环形波的一种，如果激发源是一个点源，该激发波在心肌二维平面的某一点发放电激动，将以环形波形式向周围传播，在数值模拟中采取赋值方法.靶波的形成过程见图2.

图2 靶波的形成过程

2.3 螺旋波

螺旋波是转子，可以在行波传播中制造奇异点，即在中间截断形成端点，由于截断窗曲率不一样会自然弯曲.螺旋波的形成过程见图3.

图3 螺旋波的形成过程

2.4 时空混沌

通过调节参数，让旋转的螺旋波漫游，螺旋波的波臂出现了不同程度的弯曲变形，相互挤压碰撞，然后断裂形成时空混沌.时空混沌的形成过程见图4.

图4 时空混沌的形成过程

3 螺旋波的实验控制

控制螺旋波的方法有很多，首先是全局驱动[4，6-7]，即在该可激发介质中加入稳定周期的信号，该方法时间短、效果好，但作用面积大；其次是局部驱动[8]，以小面积的注入周期信号引起全局的稳定，该方法时间长，但作用面积小；再者就是外加电场[9-10]，将螺旋波控制成静息态；最后是参数微扰，加入噪声亦可将其控制成静息态.

本文主要采用全局单向驱动耦合控制方法，利用靶波或者行波抑制螺旋波以及其不稳定破碎形成的时空混沌.由于模拟的是可激发介质，因此控制参数为：空间步长dx=0.39，dy=0.39，时间步长dt=0.02，激发参数ε=0.03，系统参数a=0.84，b=0.07，在此情况下，系统产生的介质为可激发介质.

单向耦合控制方法为：将下标标记为1 的作为驱动系统，下边标记为2 的作为响应系统，在响应系统中快变量u2方程右边加入驱动向u1，构成单向驱动项，式（2）中c是耦合系数，文中取值为1.首先让2个系统分别演化产生一定区域的斑图，然后在一定时间后加入线性耦合项，该耦合称为单向驱动耦合，其时间短、控制效率高，易于应用在临床上.

4 数值模拟方法和结果

（1）利用靶波驱动螺旋波，在二维平面介质中形成螺旋波和靶波，在第2 500 个时步加入耦合，从左到右依次为2 505，2 510，2 550，3 000 时步.靶波驱动螺旋波过程见图5.

图5 靶波驱动螺旋波过程

（2）利用靶波驱动时空混沌，在二维平面介质中形成时空混沌和靶波，在第2 500 个时步加入耦合，从左到右依次为2 505，2 510，2 550，3 000 时步.靶波驱动时空混沌过程见图6.

图6 靶波驱动时空混沌过程

不管是螺旋波还是时空混沌，在加入稳定的靶波后，经过单向驱动耦合都可以将其控制成稳定态，即稳定的靶波，而且控制时间短.

（3）利用行波驱动螺旋波，在二维平面介质中形成螺旋波和行波，在第2 500 个时步加入耦合，从左到右依次为2 505，2 510，2 550，3 000 时步.行波驱动螺旋波过程见图7.

图7 行波驱动螺旋波过程

（4）利用行波驱动时空混沌，在二维平面介质中形成时空混沌和行波，在第2 500 个时步加入耦合，从左到右依次为2 505，2 510，2 550，3 000 时步.行波驱动时空混沌过程见图8.

图8 行波驱动时空混沌过程

同样不管是螺旋波还是时空混沌，在加入稳定的行波后，经过单向驱动耦合都可以将其控制成稳定态，即稳定的行波，而且控制时间也短.

从4 幅螺旋波或者时空混沌被控制过程可以看出，无论是选择环形波（靶波）或者平面波（行波）作为驱动系统，在短时间内都可以将其控制成稳定态，从而抑制心脏中螺旋波和时空混沌的发生.

5 结论和展望

以可激发介质为例，利用单向驱动耦合方法抑制心脏介质中形成的螺旋波和时空混沌，该方法选择稳定的靶波或者螺旋波作为驱动系统，螺旋波和时空混沌作为被控制的系统，在短时间内可以将其控制成稳定的平面波或者环形波.根据文献[1]关于螺旋波一文中指出心脏电激动在二维心肌切面发生和传播的存在形式主要有平面波（激动波沿心肌二维平面的边缘兴奋与传播时则产生一个横过组织的平面波，如图1）、环形波（在心肌二维平面的某一点发放电激动后，将以环形波形式向周围传播，如图2）和螺旋波（当激动的波峰从心肌平面组织的一条窄带传导到一个相邻大的区域或通过一个峡部时，传导可能遇到一定心肌组织处于不应期而发生波形阻滞，可视为单向阻滞，结果形成一个新的波形起点而进入周围可激动的心肌组织，并形成螺旋波，如图3）3 种形式，以及螺旋波在某种情况下失稳变成时空混沌（无序状态，如图4）.临床上证实螺旋波的存在，利用数值模拟方法产生螺旋波以及其参数扰动不稳产生的时空混沌，在此状态下，利用稳定的行波或者靶波去单向驱动螺旋波或者时空混沌，从而控制成稳定态.因此，实验上消除螺旋波和失稳形成的时空混沌最简单的办法就是利用其自身存在的平面波和环形波去控制螺旋波以及不稳形成的时空混沌，该方法有望应用到临床上.