张杰华，韩明华

（凯里学院 理学院，贵州 凯里 556000）

1 引言及预备知识

复积分的计算是复变函数与积分变换课程的一个重要内容，计算的方法多样，其中利用留数定理可以方便地解决一类沿封闭曲线的积分.当被积函数是分式时，大量的文献讨论了这种情形下积分的计算方法和性质[1-3].留数定理能够解决许多复杂的积分计算问题，文献[4-6]讨论了留数定理及其应用.本文以一道典型的习题为例讨论复积分的计算问题.

部分学生判别奇点的时候出现了错误，看见分母是z6而误认为z=0 是f(z) 的6 阶极点，计算结果为

在判别极点阶数时出现了错误，但是最后的计算结果竟然是正确的，而且计算过程相比较正确方法还要简单，出现这种情况是否是一种巧合，本文对这个问题进行了探讨.

定义[9]设z0为解析函数f(z) 的孤立奇点，f(z) 在z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C-1被称为f(z)在z0处的留数，记为Res [f(z),z0].

留数定理[10]216设函数f(z) 在区域D内除有限个孤立奇点1,2,,nz z…z外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，则有

引理[10]224如果z0为f(z) 的m阶极点，则

2 主要结果及证明

定理若f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内至多存在孤立奇点z0，而在上连续，则有

（1）若f(z) 在区域D内解析或者z0是f(z) 的可去奇点，则

（2）若z0是f(z) 的极点或本性奇点，则

证明（1）假设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在D=D∪C上连续.若z0是f(z)的k阶零点，则有f(z0)=0，f′（z0）=0，…，f(k-1)（z0）=0且f(k)(z0) ≠ 0，f(z)也可表示为f(z)=（z-z0）kφ(z)，式中：φ（z0）≠ 0.

当z0是f(z) 的可去奇点时，证明方法类似.

分析所围成的区域内存在一个可去奇点z=1，并且z=1 是f(z) 的二级零点，从而z=1 是的一级极点.如果利用引理来计算留数，求解导数及极限的过程会比较繁琐.根据定理的第1种情形来计算积分，可以简化计算过程.

解利用定理，有

例2计算

解csc（z）在所围成的区域内存在孤立奇点z=0，并且该奇点是一级极点，从而z=0是的二级极点.

例3计算

解所围成的区域内存在孤立奇点 i-，由于不存在，所以z=-i 是f(z) 的本性奇点.

将f(z)在内展开成洛朗级数，有