张科文，潘柏松

(1.浙江工业大学 机械工程学院，浙江 杭州 310023； 2.浙江工业大学 特种装备制造与先进加工技术教育部重点实验室，浙江 杭州 310023)

0 引言

近年来，越来越多的空间自动化技术研究涉及推进器和控制系统在多目标对象中的应用，包括航天器群星座以及编队自主飞行技术等。针对相邻开普勒轨道上航天器之间自主相对运动的控制和优化问题的研究已有许多。对多个航天器之间的相对运动模型的选择与控制设计，是开展航天器自主导航与制导的重要前提和基础。

目前，国内外学者对航天器交会对接任务的技术研究大多是针对航天器之间近距离的自主操作和控制，许多分析通常基于系统线性运动模型展开，常用的有CW(Clohessy-Wiltshire)模型以及TH(Tschauner-Hempel)模型[1-2]。基于线性相对运动模型进行的近距离交会对接的分析已有很多，许多研究为了简化系统的控制问题，采用了线性方程进行运动模型描述。例如，文献[3]针对航天器自主对接采用模型预测控制方法，使用线性化的CW方程来简化模型描述和控制方法设计。提出的控制策略能够在每个任务阶段处理不同约束要求，特别是处理航天器交会对接过程中的避障问题。文献[4]基于CW方程研究单推力航天器交会对接轨迹规划及控制问题，基于螺旋线设计了位置转移轨迹来满足初末位置及速度方向要求，并提出基于控制李雅普诺夫函数(Control Lyapunov Function, CLF)的滑模控制策略，实现航天器的交会对接。此外，基于简化的线性模型，最优控制设计也比较容易实现，以解决航天器交会对接最小时间机动或节能等问题[5-7]。例如，文献[8]提出基于线性二次型调节器树的反馈路径规划策略，以解决航天器近距离交会对接过程多约束的对接安全问题。但是文中相对运动动力学模型中并没有考虑来自外部扰动等因素，对制导精确性产生影响。文献[9]针对导航误差信息的摄动椭圆轨道最优交会控制间题，通过对模型和约束的构建和描述，引入松弛变量将轨迹规划问题转化为二阶锥规划问题，实现高精度低速度增量的对接最优交会制导。文献[10]提出一种控制参数直接优化方法，来解决基于开—关恒推力的航天器最短路径交会问题。通过引入标准化优化变量代换，将问题转换为非线性规划问题，来获得最优能耗和时间解。此外，有些学者对航天器对接过程中的各种约束问题进行了研究。例如，文献[11]提出一种自适应控制策略，通过整合人工势能函数和滑模方法以及引入线性输入饱和补偿器，实现航天器近距离交会对接的位置跟踪和姿态同步。文献[12-13]分析了存在外部干扰、故障信号以及输入约束等情况下航天器对接问题，通过李亚普诺夫分析方法提出基于扰动观测器的状态反馈控制策略，采用电磁对接的方式实现了航天器的稳健对接。然而，线性运动模型是对航天器之间相对运动的近似结果，需要对航天器飞行条件与内外环境加以限制，因此对整体系统模型精度具有一定的影响。

为了扩大航天器自动交会对接模型的适用范围，并提高相应的控制器性能，许多学者采用非线性模型来描述两个航天器之间的相对运动，并提出了对应的控制策略[14-17]。在文献[18]中，针对具有延迟和外部干扰的多个航天器编队跟踪问题，提出采样数据控制方案，以使开发的数字控制器可以维持所需编队。在文献[19]中，基于非线性相对模型开发了适用于航天器交会对接的自适应控制器，并考虑了学习控制器中时变增益的灵活性。当存在惯性不确定性、外部干扰以及执行器故障的情况时，文献[20]解决了具有翻滚目标的航天器固定时间下交会控制问题，提出的鲁棒集成自适应容错控制器确保了闭环系统的稳定性，并保证了相对位置和姿态跟踪误差的收敛。文献[21]同时考虑旋转运动和相对平移运动的交会任务，开发了非线性干扰观测器和辅助系统，以补偿不确定的干扰和输入饱和引起的负面影响，设计的鲁棒控制器保证了系统信号的收敛性。针对航天器非合作交会对接中的避碰问题，文献[22]通过相对位姿耦合运动模型，基于滑模控制提出位姿耦合控制器来实现航天器安全对接。

以上研究均使用非线性方程对航天器之间的相对运动给出了更为精确的模型描述。合适的相对运动模型能保障航天器的操控精度，特别是针对在高度椭圆轨道上进行自主对接的航天器。此外，许多已有的研究工作没有考虑在模型不确定性情况下的航天器自主对接，本文的主要工作将对航天器相对运动模型的不确定性进行分析，同时提出相应的控制策略设计。

本文考虑一般空间环境下，围绕同一中心天体任意椭圆轨道上的两个航天器之间的自主相对运动。均采用非线性相对运动系统模型来精确描述航天器在高度偏心率轨道下的相对运动。其次，研究了系统控制输入饱和下自动控制策略的分析情况。在实际的空间自动化技术与自主对接任务中，航天器系统加速度约束是由推进系统的能力限制引起的，由此引起的非线性饱和可能导致系统的不稳定性和不可靠性[23]。为了处理系统输入饱和问题，本文设计了一个辅助设计控制系统，使得所提出的自适应控制策略能够保证闭环系统的渐近稳定性。此外，本文还分析了由目标星轨道运动引起的系统模型不确定性问题，并提出相应的自适应控制策略来保证不确定性下闭环信号的有界性。

1 航天器相对运动动态模型

对于围绕中心天体飞行的任意两个航天器之间的相对运动，可以用图1描绘。通常将航天器交会对接任务中涉及的两个航天器分别称为追踪星(主动航天器)和目标星(被动航天器)。为了对航天器相对运动模型进行描述，首先给出以中心天体为参照的惯性系下开普勒二体问题的运动方程，如式(1)所示：

(1)

式中:下标i=c,t,分别代表追踪星和目标星；μ是中心天体的引力常数；Ri是航天器的位置矢量。定义r=Rc-Rt为追踪星和目标星之间的相对距离矢量。将以上相关变量代入式(1)能够得到惯性系下航天器之间的相对运动表达式：

(2)

式中Rt=‖Rt‖。为了进一步得到追踪星相对于目标星的运动模型，引入以目标星为参照的LVLH旋转参考系。该参考系中X轴沿目标星径向指向，Z轴垂直于轨道平面，Y轴在轨道平面内与X、Z轴组成右手直角坐标系(如图1)。此外，表达式(2)中的相对加速度

(3)

(4)

2 相对运动控制设计

2.1 模型状态空间表达

(5)

其中：ui是控制加速度；di是外部扰动且满足|di|≤de，i=1,2,3，de>0。考察状态空间表达式(5)可以发现，有关于θt和rt的参数信息来自于目标星，此类参数信息对于追踪星而言可能是潜在的未知量。为了在模型不确定情况下设计控制器以实现追踪星对于目标星的自主交会对接，采用自适应反步递归设计方法[26]对非线性系统进行系统变量转换。首先，引入变量集zi,

z1=x1,z4=x4-α1,

z2=x2,z5=x5-α2,

z3=x3,z6=x6-α3。

(6)

其中αi=-βizi为设计的内部虚拟控制律，i=1,2,3。为便于后续表述，对系统模型中的部分非线性参数项进行变量代换，即

通过以上一系列的变量转换，最终状态空间表达式(5)变为：

(7)

基于该系统的控制目标是设计一个自适应控制器，从而使变量zi实现最终收敛。若该动态方程中没有模型不确定性，则可以通过李雅普诺夫设计方法构建相应的自适应控制器来实现控制目标[27-28]。下面将针对非线性系统式(7)中存在输入约束以及模型不确定性的情况分别进行控制器的设计分析与讨论。

2.2 输入约束下自适应控制器设计

在实际的空间任务中，航天器飞行所需的推力由推进器产生。推进器只能提供有限的推力，因此考虑推力加速度约束具有现实意义。推进器提供的推力有限，意味着航天器的加速度变化具有上下限。本节首先考虑追踪星在获取目标星状态信息(即系统模型不存在参数不确定性)的情况下，加速度受约束时的控制器设计。

假设航天器产生的加速度大小的上限为ui,max>0，下限为ui,min<0，则系统控制加速度约束满足不等式ui,min

(8)

式中i=1,2,3。为了在有约束限制的条件下实现两个航天器之间自主逼近这一控制目标，设计了一个辅助控制系统来分析约束的影响。考虑非线性动力学模型式(7)，所设计的辅助控制系统为：

i(ϖi-ui)。

(9)

式中：λi>0；i>0；ζi>0为系统参数，i=1,2,3;Δui=ui-ϖi，并且控制变量ϖi满足

ϖi=-(φizi+3+gi+di)-βi+3(zi+3-τi)。

(10)

式中:i=1,2,3；φi是已知的正时变参数，且满足:

(11)

其中：βi>0，i=1,2,3。

这种情况下，为了实现追踪星和目标星之间相对距离和相对速度的渐近稳定性与收敛性，给出以下引理。

引理1对于由非线性动力学模型式(7)描述的两航天器之间的相对运动系统，在有输入约束式(8)的情况下，基于辅助控制系统式(9)以及控制律式(10)，系统信号zi和τi将收敛到渐近稳定零点。

证明构建如下Lyapunov函数：

(12)

基于系统方程式(7)对函数V1(t)求导，得到：

(Δui-βi+3(zi+3-τi))。

将式(9)设计的辅助系统代入上式，得到

式中κ=min{ki,qi}。基于非线性系统稳定性准则[27,29]，通过以上对Lyapunov函数的论证分析可以证明系统变量zi和τi的渐近稳定收敛。然后，通过变量关系式(6)得到状态空间向量xi的渐近稳定性，这意味着航天器之间的相对位置与相对速度随时间收敛到零，表明两个航天器之间最终实现自主对接。

3 具有模型不确定性的自适应控制设计

3.1 不确定性下的自适应控制

首先，为了处理模型中的非线性不确定性参数项，定义模型中的非线性项为：

引理2考虑如图1所示的两个航天器之间的自主相对运动逼近，当非线性动力学系统式(7)具有模型不确定性时，提出如下控制策略

(13)

(14)

证明构建如下扩展的Lyapunov函数：

(15)

基于相对运动系统模型，对V2(t)进行求导得到：

由于满足|Δ|<1，进一步分析上式中的一些参数项如下：

以及

进一步整合以上不等式，并给出如下定义：

3.2 不确定性和输入约束同时作用下的控制器设计

基于前面章节对于航天器相对运动模型不确定性的控制算法的分析结果，本章将进一步考虑存在控制输入约束的情况下航天器自主对接的控制策略的设计。

为了解决非线性系统在约束条件下的控制目标，引入辅助控制系统式(9)来分析约束的影响。由于同时存在系统模型不确定性，重新设计并引入以下控制律：

(16)

引理3考虑系统模型式(7)描述的航天器之间的相对运动，当同时存在输入约束和不确定性模型参数的情况下，基于提出的控制律式(14)和式(16)，并通过设计的辅助控制系统式(9)，能够实现追踪星和目标星航天器之间的相对距离和相对速度在有界集合内渐进稳定与收敛。

证明构建如下扩展的Lyapunov函数：

(17)

基于前面对引理2进行论证过程中的类似步骤，在对V3(t)进行求导时，能够通过类似分析得到如下不等式：

此外，进一步分析常数项

最后得到

4 仿真分析

作为比较，第一个案例给出了系统动态模型方程中不存在不确定性与输入约束情况下的仿真结果。对于这类情形，基于相对运动系统模型式(7)构建如下自适应控制器：

(18)

(1)具有输入约束的相对运动分析

对于存在控制加速度约束的情况，应用引理1描述的控制策略，可以实现目标星和追踪星之间相对距离和相对速度的收敛。在该仿真场景案例中，通过对控制器参数进行调试，选择的控制器设计参数具体数值如表1所示。

表1 控制器参数设置

其中对加速度输入的约束值为|ui|≤0.006 km/s2。两个航天器之间的仿真分析结果如图3所示。可以看出，由于加速度输入约束，导致了相对速度的非平稳演变。但在引理1的控制器设定下，两航天器之间能够顺利实现对接目标，如图3所示。

(2)具有模型不确定性的相对运动分析

当考虑系统相对运动方程中存在模型不确定性的情况时，基于引理2提出的控制策略，航天器之间的相对距离和相对速度能够实现渐进收敛，具体仿真结果如图4所示。一般控制参数的选择依据主要包括保证闭环系统的稳定性以及误差收敛的速度，在进行控制系统模拟验证的过程中通过衡量这两方面进行参数调试。此外，还可以依据被控系统初始状态信息进一步对系统参数进行调试选择。基于以上考虑，该仿真案例中选择的控制器设计参数具体数值如表2所示。

表2 控制器参数设置

(3)同时具有模型不确定性和输入约束的相对运动分析

下面给出同时存在参数不确定性和输入约束条件下，航天器相对运动的仿真结果。基于引理3提出的控制方法对控制器进行调试，此仿真案例中选择的控制器设计参数具体数值如表3所示。

表3 控制器参数设置

5 结束语

本文通过对围绕任意中心天体飞行的两个航天器之间的自主相对运动进行分析，特别是针对高度椭圆轨道上的航天器之间的运动协作，针对不同任务需求分别提出了基于系统非线性运动模型的自适应控制方法。为了实现输入约束下的航天器自主对接任务目标，通过引入辅助控制系统分析输入约束的影响，并结合自适应反步控制器，确保了闭环系统的渐近稳定性。同时，还解决了由于目标星轨道运动信息引起的非线性模型不确定性问题。通过扩展运动模型中非线性参数项的线性代数，同时结合提出的自适应反步控制器，保证了系统的闭环信号以及未知参数自适应估计值的有界性与收敛性。通过增加辅助控制系统，解决了模型不确定性下输入约束的问题，实现了航天器之间的顺利自主逼近。通过多个案例仿真分析结果证明了本文所提控制策略的有效性。本文主要研究了航天器自主对接的相对运动控制问题，后续将结合航天器的姿态运动，分析姿态变化对航天器交会对接的影响，并且在此情景下设计相应的复合控制器，实现航天器相对位姿的协同控制。