公 艳

(山东农业大学信息科学与工程学院，山东 泰安 271018)

关于方程组

其中Ω⊂RN，Comete等[1]证明了当N=3时，对于每一个λ∈R+σ(-Δ)(这里σ(-Δ)表示具有边界条件的-Δ的特征值集合)，方程组存在1个非平凡解.当N≥4,λ≥0时，方程组也存在1个非平凡解，Lions等[2-7]讨论了类似的问题.

在0∈∂Ω的情况下，公艳[8]讨论了方程组

(1)

(2)

(3)

方程组(1)的解与能量泛函

Comte等[4]已证明：若方程组

中有正的第一特征值λ1，则有

(4)

所以，

假设如下条件成立：

(H1)Ω⊂RN∩{x=(x1,x2,…,xN)∈RN|xN>0}是一个有界的定义域，且满足C1边界条件.

记H(0)>0(0∈∂Ω)为原点的平均曲率.称Sμ为最佳常数，

Hardy不等式及相关符号定义如下：

Γ={γ∈C([0,1],H1(Ω))|γ(0)=0,J(γ(1))<0}.

定义1[2]泛函J∈C1(X,R),c∈R，假设0<μ<μ*，且c满足

则称J满足(PS)c条件.

Comte等[1]已证明：假设条件(H1)及(2)～(4)式成立，对于0<μ<μ*，如果常数c满足

那么方程组(1)存在满足J(u)≤c的非常数解u.

公艳[9]已证明方程组

(5)

的解与变分泛函

的非零临界点是等价的，并得到如下结论：

引理1[9]在条件(H1)下，有如下估计：

(6)

(7)

(8)

其中：K1(ε),K2(ε),K3(ε)分别满足

y′=(y1,y2,…,yN-1)∈D(0,δ)=Bδ(0)∩{xN=0}.

笔者将在文献[7-9]的基础上，讨论方程组

(9)

在满足α(x)∈L∞(∂Ω),α(x)≥0,α(x)不恒等于0的条件下解的存在性.

定理1在条件(H1)下，若α(x)∈L∞(∂Ω),α(x)≥0,α(x)不恒等于0，则方程组(9)至少存在1个正解.

证明方程组(9)的解与变分泛函

的非零临界点是等价的.记

(10)

因此

解得

将tε代入(10)式，可得

所以‖t0v‖>ρ且J(t0v)<0，其中t0>0.根据山路引理可知，存在序列{uk}⊂H1(Ω)，满足

J(uk)→c,J′(uk)→0k→+∞,

由定义1可知J满足(PS)c条件，于是在H1(Ω)中uk有一收敛的子序列，不妨仍记为uk，满足uk→u.根据文献[1]可知u为J的临界点，即方程组(9)存在一非负解u，由强极大值原理可知u>0.证毕.