李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

1 试题呈现

题目已知曲线f(x)=lnx+2x与曲线g(x)=a(x2+x)有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为( ).

A.(-∞,0) B.(0,1] C.(0,+∞) D.(0,1)

2总体分析

此题是2022年一轮复习测试卷中的选择题的压轴题，通过仔细分析，笔者发现有几种不同的方法来解决此题：可以转化为函数零点问题来解决；可以联立方程组，转化为有两个实数根，再运用合适的方法化归与转化来解决；基于两个函数有公共点，利用隔离直线，借助于凸凹翻转和数形结合来解决；也可以联立后，部分变形，化曲为直，借助临界的切线作为工具来解决.以下具体来探讨和展示求解过程，并进行类题的归纳和整合.

3 试题解答

视角1 利用函数零点求解.

解法1记h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)，则问题转化为h(x)=0有两个零点.

求导,得

因为x>0，当a≤0时，h′(x)<0.

所以函数h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)单调递减，至多只有一个零点，不满足题意.

评注此处直接转化为函数零点问题求解，此时需要对字母参数的正负进行讨论，再结合导数的正负得出原函数的增减，求出相应的最值，最后得出不等式求出结果，基本上就是一道解答题的运算量，作为选择题，有些得不偿失.

视角2 分离变量作答.

解法2 根据题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，两曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有两个公共点，则方程lnx+2x=a(x2+x)有两个实数解.

由x>0可知x2+x>0.

问题转化为直线y=a与函数y=h(x)的图象有两个不同的交点.

由h′(x)>0,得0

由h′(x)<0,得x>1.

所以y=h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.

所以h(x)≤h(1)=1.

又x→0+时，h(x)→-∞；

x→+∞时，h(x)→0且h(x)>0.

若使直线y=a与y=h(x)有两个交点，则需要0

评注此解法利用函数图象的交点与方程根的联系进行转化，建立等式关系，接着进行变量分离，转化为直线y=a与函数y=h(x)的图象有两个不同的交点，通过对y=h(x)求导，用导数判断出单调性，作出函数的准确图象，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可.

视角3 利用两曲线相切的临界值求解.

解法3 由已知条件易知f(x)=lnx+2x为上凸函数，欲使曲线f(x)与g(x)有两个公共点，则必有a>0.

所以g(x)=a(x2+x)为开口向上的二次函数，且为下凸函数.

不妨设两函数切于点P(x0,y0)，分别求导,得

①

②

代入①整理,得

所以lnx0+x0=1.解得x0=1.所以a=1.

所以0

评注解决两曲线的交点问题，可以采用数形结合思想，根据函数的图象或者趋势图象，找出符合题意的条件即可.因此，用导数的几何意义找出临界的公切线，同时确定a的临界值，再结合图象得出参数的取值范围，这种方法用来解决导数压轴小题还是行之有效的.

视角4 利用化曲为直思想求解.

解法4由解法2，两曲线f(x)与g(x)有且仅有两个公共点，则方程lnx+2x=a(x2+x)有两个实数解，且x>0.

所以lnx+2x=ax(x+1).

所以切线方程为

而直线y=a(x+1)-2恒过点(-1,-2)，

化简，整理得

-(2x0+1)(x0-1)=(2x0+1)lnx0.

又x0>0，所以lnx0=-x0+1.

所以0

视角5去伪存真排除干扰.

解法5 令h(x)=lnx+2x-a(x2+x)，则h(x)有两个零点.

当a=1时，h(x)=lnx+x-x2，

令h′(x)>0，得0

令h′(x)<0，得x>1.

则h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.

所以h(x)max=h(1)=0，只有一个零点，与已知矛盾，故a≠1，排除B,D.

当a=-1时，h(x)=lnx+3x+x2，

所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，从而h(x)>h(0)=0，无零点，与已知条件矛盾，故a≠-1，排除C，故选A.

4 解后反思

近几年,两函数图象交点问题、函数的零点问题在选择题、填空题以及解答题中都出现过，该问题主要考查函数与方程的关系，要求学生能够用分类讨论、数形结合、转化与化归的思想来解决问题.对于复杂的非初等函数，利用导数的几何意义及导数来判断函数的单调性等来处理，问题就不难解决了.因此，学好导数对我们更好地理解函数有积极作用.

当然，解题中的不同思想和策略需要学生逐渐领悟，高考复习的终极目标是让学生学会独立解题.因此，对于经典试题，教师要引导学生从不同的角度进行思考，寻求多种解法.培养学生的发散思维，培养学生良好的思维品质，发展创造性思维.