洛伦兹变换矩阵的对角化及其意义

2022-07-26李一杰张成园康晓珅许广智

大学物理 2022年7期

关键词：参考系洛伦兹角化

李一杰，张成园，石薇，康晓珅，龚丽，许广智

(辽宁大学物理学院，辽宁沈阳 110036)

狭义相对论中，洛伦兹变换决定不同惯性参考系间时空坐标的变换关系.取闵氏时空坐标，沿x方向相对运动的S′与S系间的洛伦兹变换有如下形式

(1)

此时，洛伦兹变换矩阵Λ是正交对称的实矩阵.引入参考系间的相对快度η后，洛伦兹矩阵写成下式:

(2)

式中，η与参考系相对运动速度v的关系为

(3)

由线性代数知识，对称实矩阵能够对角化，得到其主值. 洛伦兹变换矩阵对角化及其意义是什么，少有教材、文献讨论，下文内容由此展开.

1 洛伦兹矩阵的对角化

将对称矩阵对角化，需要先解矩阵的特征方程，以得到相似变换正交矩阵.解洛伦兹变换矩阵的特征方程[1]，有

Λa=λa

(4)

求出特征值λ及特征矢量a，结果在表(1)中给出.由特征方程的含义，可见式(4)表示在矩阵Λ作用下，矢量a方向不变，大小缩放λ倍.所以，表(1)结果表明参考系变换下有4个时空方向上四维矢量的方向保持不变，a1、a2、a3、a4分别是这4个时空方向上的单位矢量.(这里注意，矢量a3和a4的大小实际为0.)

a1、a2分别对应沿y、z空间轴的类空矢量，参考系变换下，沿y(z)的矢量仍然沿y(z)轴.a1、a2对应的特征值为1，所以矢量大小也保持不变，即垂直于参考系相对运动方向的空间距离大小不变.

为了理解a3、a4的意义，绘制xOct平面上的时空图(图1)[2].图中选取S系作基准，ct及x轴分别画成竖直及水平.OB、OA分别是沿x轴正、反方向运动的真空中光子世界线.S′系坐标轴ct′及x′分居OB两侧且与之夹角相等.

图1 时空图中两惯性参考系下的真空光子时空坐标

时空图采用闵氏度规而非欧氏度规，ct′(x′)轴由ct(x)轴经式(1)的洛伦兹伪转动(正交变换)得到，致使ct′及x′看似非正交实则正交[3].ct′(x′)与ct(x)轴间的夹角即为相对快度η.作AC、BD平行于x′轴，则它们垂直于OC，有∠CAF=∠DBF=η.A、B两点在两参考系下的时空坐标分别写为(这里略去y、z坐标)

(5)

(6)

可见a3、a4对应xOct面上的类光单位矢量，即平行于OA、OB的单位矢量.参考系变换下，类光矢量依然是类光的.但不同参考系下，非xOct面上的类光矢量(对应真空中与x轴有一定夹角传播的光或电磁波)，矢量方向改变，这表现为真空中非x轴方向的光或电磁波空间中传播方向改变，即是光/电磁波的光行差现象.而xOct面上类光矢量的方向不变[式(5)和式(6)]，表现为沿x轴(即参考系相对运动方向)的光/电磁波依然沿x轴.

注意到△BDF、△OEF是闵氏时空中直角三角形，利用时空图中的几何关系[2]，得到

(7)

类似地，△ACF、△OEF是闵氏时空中直角三角形，有

(8)

容易验证a1、a2、a3、a4线性无关，这样就能以它们所在矢量方向为轴建立时空坐标系.为了更加符合相对论的标号习惯，以下讨论中，重新定义基矢(e0≡a4,e1≡a3,e2≡a1,e3≡a2)，则任一四维时空矢量展开为cTe0+Xe1+Ye2+Ze3，(cT,X,Y,Z)为新坐标系中的各坐标分量.此坐标系称为光锥坐标系，在粒子物理中有广泛应用[4].两条光子世界线分别充当时间轴和一条空间轴，相当于这里构建了处于光速的惯性观者参考系，所以光锥坐标系是光子的共动系.另外注意到，e2、e3相互正交且与e0、e1正交，但e0与e1非正交，有(e0)Tge1≠0,其中g=diag(1,-1,-1,-1)是闵氏时空度规.所以光锥坐标系不是正交坐标系，而是四维时空斜交坐标系，其度规也不同于闵氏度规.

此时，参考系变换下的矢量变换规则变为

(9)

其中，ΛLC由下面的相似变换对洛伦兹变换矩阵进行对角化得到

ΛLC=P-1ΛP=diag(e-η,eη,1,1)

(10)

相似变换正交矩阵P由下式给出

P=PT=P-1=(e0,e1,e2,e3)

(11)

ΛLC的对角元对应表1中洛伦兹变换矩阵的特征值.由此可见，洛伦兹变换矩阵的对角化即是从一般惯性系变换到光锥坐标系的过程，对角元(即洛伦兹变换矩阵的主值)对应某时空点在参考系变换下各光锥坐标分量发生缩放的倍数.