张德根，汪明珠

(皖西学院 基础实验中心，安徽 六安 237000)

线圈的电感系数主要取决于自身的匝数、绕制方式、有无磁芯及磁芯的材料等，通常用实验方法测定.对于线圈电感系数的理论计算已有多篇论文进行报道，江俊勤[1,2]研究了椭球形密绕线圈和圆台形密绕螺线管的自感系数，刘世明[3]用矢势求解了似稳电路中“三维导体”的自感系数，葛宇宏等[4]计算了有限长多层直螺线管的自感系数，丁健[5]给出了有限长密绕圆柱形螺线管自感系数的精确表达式，刘修泉等[6]对空心线圈电感进行了计算与实验分析.多层密绕矩形截面圆线圈是电磁学理论中常用的线圈模型，其电感系数[7]通常简化为单匝线圈近似处理，并在求解计算过程中使用第一、二类椭圆积分等特殊函数，存在着数学计算公式复杂、计算量大等相关问题.考虑到多层密绕矩形截面圆线圈绕组的实际尺寸与绕制方式，对于其电感系数的计算有必要进一步探讨.

1 线圈模型

如图1所示的多层密绕矩形截面圆线圈，假设圆线圈的平均半径R为10 cm，线圈导线的半径a为0.3 mm，共10层密绕，每层10匝，共100匝线圈.把整个圆线圈看成是100个独立的单匝圆线圈平行同轴紧密排列，整个线圈截面为0.6 cm×0.6 cm的正方形.以圆线圈的中心轴线为坐标轴，几何中心位置为坐标原点，用字母Aim表示线圈绕组中第i层的第m个线圈，其半径rim=0.096 7+0.000 6i，其圆心在轴线的位置坐标为oim=0.000 6m-0.003 3，单位为m.

图1 矩形截面圆线圈及其截面示意图

2 计算方法

2.1 两平行同轴圆线圈的互感系数

如图2所示，两平行同轴圆线圈L1和L2的半径为r1、r2，两圆线圈之间的距离为d，根据诺依曼公式，两平行同轴圆线圈的互感系数为

图2 两平行同轴圆线圈

(1)

其中r12为圆线圈上两微元dl1与dl2之间的距离，利用坐标变换，式(1)可化简为[6]

(2)

2.2 单个圆线圈的自感系数

单个线圈的自感为其内自感与外自感之和，即

L自=L内+L外

(3)

图3 单个圆线圈平面示意图

(4)

(5)

2.3 数值计算方法

对于上述互感与自感的积分计算式(2)、(5)，利用Mathematica软件的NIntegrate数值积分函数，计算过程简洁，可以直接得到计算结果.上述的多层密绕矩形截面圆线圈模型，对其包含的100个单匝圆线圈自感以及任意两个圆线圈互感分别进行数值计算.

数值计算前首先判断任意选取的两个圆线圈Aim与Ajn是否为同一个圆线圈.若(m-n)2+(i-j)2=0，即m=n、i=j，此时Aim与Ajn为同一个线圈，则计算该圆线圈Aim的自感.此时R=0.096 7+0.000 6i，代入式(5)计算单匝圆线圈的自感系数，即

LAim自=LAim内+LAim外

(6)

若(m-n)2+(i-j)2≠0，则Aim与Ajn不是同一个圆线圈，则计算圆线圈Aim与Ajn的互感系数. 利用积分表达式(2)，其中r1=0.096 7+0.000 6i，r2=0.096 7+0.000 6j，d=0.000 6(m-n).利用四重循环进行数值计算，变量i、j、m和n分别从1依次增加至10，每次自增1，总共循环计算10 000次，即可得到单匝圆线圈的自感以及任意两个圆线圈的互感，计算流程如图4所示.

图4 计算流程图

3 计算结果

通过上述计算方法得到了100个自感系数值和9 900个互感系数值，总共10 000个计算数据.将循环计算输出的数据累计求和，从而得到整个圆线圈电感系数为4.65 mH.对于与上述计算模型相同的实际圆线圈，利用胜利VC6243型数字电感表进行测量，测量结果如图5所示，得到实际线圈的电感为4.66 mH.理论计算值与实验值十分接近，相对误差仅为0.22%.

图5 圆线圈电感系数测量实物图

由于单匝圆线圈的自感系数取决于自身半径，而整个线圈绕组中每一层线圈半径相等，因此每一层中的10个单匝圆线圈自感系数都相等. 表1给出了每层单匝圆线圈自感系数的计算值，其中第10层中的10个圆线圈自感系数最大，大小为7.943 6×10-7H，第1层的10个圆线圈自感系数最小，大小为7.4593×10-7H.根据计算数据可知自感系数与圆线圈的半径近似成线性关系，并且任意一个单匝圆线圈的自感均大于任意两个圆线圈的互感. 表2给出9 900个互感系数计算值的统计结果.其中第10层中任意两个相邻的圆线圈互感最大，大小为6.739 4×10-7H.第1层与第10层且相距最远的两个圆线圈互感最小，即A1,1与A10,10，A1,10与A10,1，大小为3.336 4×10-7H.

表1 每层单匝圆线圈自感系数

表2 任意两个圆线圈互感系数计算结果统计

本文对矩形截面圆线圈的电感系数进行了数值计算，求解计算过程中没有使用比较繁琐的第一、二类椭圆积分等特殊函数，也没有通过编程来计算双重积分值，而是直接利用Mathematica软件强大的数值计算功能，求解过程简洁，同时对实际圆线圈进行定量测量，理论计算值与实验测量值相符合.通过对矩形截面圆线圈电感系数的分析与计算，加深了电感系数概念的理解，同时对设计电感线圈提供了理论参考.