郑 晓，张国锋

(北京航空航天大学 物理学院，北京 100191)

量子不确定关系表明，即使我们知道了量子态的全部信息，也无法同时精确地预测任意两个互不对易的可观测量的测量结果. 如我们所知，可观测量测量结果的不确定度可以用熵和方差来度量，所以量子不确定关系又可以分为基于熵的不确定关系[1-3]和基于方差的不确定关系[4-9]. 而噪声-扰动不确定关系[10]研究的是测量噪声与测量扰动之间的关系，对于两个非对易的可观测量，当我们对其中一个可观测量测量的时候，必然会有噪声，同时也会对与其非对易的物理量带来扰动，噪声-扰动不确定关系表明当测量噪声很小的时候，测量所带来的扰动就会很大，反之，如果扰动很小，那么噪声必然会很大. 量子不确定关系和噪声-扰动不确定关系都被广泛的应用于量子信息科学的每一分支中，比如，量子非克隆理论、量子密码、纠缠探测、量子自旋压缩、量子度量学和量子时钟同步等.

本文主要回顾了量子不确定关系和噪声-扰动不确定关系的发展历程，以及两者之间的主要区别，同时介绍了关于两者的一些最新的研究进展，希望能对量子不确定关系和噪声-扰动不确定关系的研究有所启示.

1 量子不确定关系

根据测量所涉及的子系统的个数,不确定关系可以分为单体不确定关系和多体条件不确定关系，下面我们将分别介绍这两种类型的不确定关系.

1.1 单体不确定关系

通常我们说的量子不确定关系指的都是单体不确定关系，它表明：对于一个量子态来说，即使人们知道了量子态的完整信息，也无法精确预测两个彼此不对易可观测量的测量结果.其原理可以用一个不确定关系游戏来描述：游戏的参与者有Alice和Bob两个人，首先，Bob制备出量子态|φA〉 ，并将这个态发送给Alice，因为量子态|φA〉是Bob制备出来的，所以Bob掌握了量子态|φA〉的所有信息；其次，Alice在两个不对易的可观测量R和S中选择一个测量，并将她选择的测量告诉Bob；最后，Alice对量子态|φA〉进行测量，然后由Bob来猜测Alice的测量结果. 对Bob来说，如果Alice选择的测量是R，对应测量结果的不确定度可以用R的方差来表示，反之，如果Alice选择的测量是S，那么对应结果的不确定度可以用S的方差来度量. 不确定关系所表达的本质就是这两个非对易可观测量不能同时精确测量.

从这个不确定关系游戏中可以看出，Alice每次只选择一次测量，所以在游戏中并不存在对一个粒子进行两次测量. 整个量子态都是Bob制备的，所以Bob掌握了整个量子态的信息，也就是说在量子力学中即使掌握了系统量子态的全部信息，测量结果依然是不确定的，所以量子不确定关系是量子力学的内在属性.

除了方差之外，测量结果的不确定度还可以用熵来度量，所以不确定关系可以分为方差的不确定关系和熵的不确定关系. 其中比较有代表性的方差不确定关系有文献[4,5]中构造的乘积形式的不确定关系，和文献[6,7]中推导出来的和的不确定关系，值得说明的是这两个不确定关系都能够被文献[8]中构造的一个基于方差的统一不确定关系理论体系所统一，对于熵的不确定关系来说，其中最具代表性的就是文献[1]中构造出的不确定关系.

1.2 多体不确定关系

量子单体不确定关系表明即使Bob掌握了粒子A的量子态的所有信息，不对易可观测量的测量结果的不确定度依然不会被同时精确预测.于是人们就不断去思考如何才能使Bob能够精确地预测Alice的测量结果，即如何突破传统的不确定关系. 在2010年，Berta等人通过引入一个与被测粒子A纠缠的量子存储系统，构造了一个量子存储支撑下的熵的不确定关系[3]:

(1)

该不确定关系表明用Bob和Alice的系统之间的量子纠缠，可以大幅度提高Bob对Alice测量结果的预测精度，进而突破传统熵不确定关系的限制.

其实上面所介绍的量子存储支撑下的熵的不确定关系中所引入的量子存储系统实质上是一个条件系统，因此，量子存储支撑下的熵的不确定关系本质上是基于两体系统的条件熵的不确定关系.有了基于条件熵的不确定关系，人们自然也会去想构造条件方差的不确定关系，但是由于传统的条件方差定义还存在很多缺陷，至今还没有有效的两体和多体条件方差不确定关系.最近，Zheng成功的解决了这个问题，在文献[9]中构造了一个基于量子控制的多体条件方差的不确定关系:

(2)

表示条件期望的方差与条件期望方差的平均值，由于两个量具有比较复杂的表达式，我们在这里就不展示了，详细形式可以参考文献[9].

上面的不确定关系其实也可以用图1中的不确定关系游戏来描述[9]：(i) Bob制备出了N+1个粒子，分别标记为，A，C1，C2，…，CN，然后将粒子A发送给Alice.(ii) Alice在一组彼此不对易的可观测量{Q1，Q2，…，QK}中选择1个测量，比如她选择了Qk，并将她选择的测量告诉Bob，这里需要说明的是在这一步中，Alice只选择她将要进行的测量，并不进行真正的测量，真正的测量将在第(iv)步进行.(iii) 根据Alice提供的信息，以及Bob所掌握的关于量子态的信息，Bob选择1个合适的测量，记为Ok，然后分别对C1，C2，…，CN系统进行Ok测量.(iv) Alice对粒子A进行她在第2步就选定的测量，即Qk.

图1 关于量子控制协助下的多体条件方差不确定关系原理演示图[9]

Bob根据其所掌握的关于量子态的所有信息以及Alice通过经典通信告诉他的信息所选择的在C1，C2，…，CN进行的测量Qk，主要是用于控制整个系统的量子态从而能够尽可能的减少Alice对粒子A所进行的局域测量结果的不确定度.因此，我们将粒子A称为被测系统，将粒子C1，C2，…，CN称为控制系统.对应地，我们称作用在控制系统上的测量为量子控制[9].从掌握了量子控制系统的Bob的角度来说，当被测系统A和控制系统之间存在纠缠的话，Alice在测量系统上进行的测量的不确定度将会被减少，对应的不确定关系即量子控制协助下的多体条件方差不确定关系式(2).

(3)

也就是说，从Bob的角度来看，在量子控制的协助下，传统不确定关系的下限就被突破了. 此外，如果被测系统和控制系统之间没有任何纠缠，然后我们就会发现在这种情况下，对控制系统的操作不会对测量系统产生任何影响，这样的量子控制协助下多体条件方差不确定关系式(2)的下限将会变成Ltra，就是说不确定关系式(2)将会退化成传统的不确定关系.

根据上面的讨论，从量子控制协助下多体条件方差不确定关系式(2)中可以看出，由于量子控制的引入，我们可以利用量子资源-纠缠来突破传统的不确定关系. 此外，我们还可以看出，相对于量子存储支撑下的熵的不确定关系，新得到的不确定关系式(2)是适用于多体系统的不确定关系，即可以引入任意多个控制系统.这个不确定关系不仅将不确定关系扩展到了多体，深化了我们对不确定关系的认知，还在多体纠缠探测中有非常重要的应用，详细的介绍可以参考文献[9].

2 噪声-扰动不确定关系

噪声-扰动不确定关系最初是由海森伯根据γ辐射思想实验提出的，他认为在对系统进行位置测量的时候，测量的噪声与测量对系统动量的扰动之间的乘积不会小于ћ/2.随后这一噪声-扰动不确定关系就被推广至任意可观测量[10]：

(4)

其中，A和B为两个任意彼此不对易的可观测量，A是用于探测可观测量A的测量仪器，ψ表示系统所处的量子态(A,ψ,A)表示在用仪器A去探测可观测量A时的噪声，η(B,ψ,A)表示在用仪器A去探测可观测量A时对可观测量B的扰动. 因此，上面的噪声-扰动不确定关系表示，当用任一测量仪器对可观测量A进行测量时，如果A和B是彼此不对易的，那么测量A的噪声与测量过程对B产生的扰动的乘积将大于一个与态相关的下限，通常表现为测量噪声越小，那么测量对其非对易量所带来的扰动就会越大，反之，如果测量对非对易量所带来的扰动比较小，那么测量的噪声就会很大.

为了更加深刻的理解噪声-扰动不确定关系的物理意义，接下来将通过一个具体的测量的过程来介绍(A,ψ,A)和η(B,ψ,A)具体表达式[10]，先做如下假设：

1) 记被探测系统为S，系统S所处的量子态为|ψ〉，将探测仪器中探针系统记为P；

2) 假设整个探测过程历时Δt，即探测从t时开始到t+Δt时结束，整个探测过程可以用幺正演化U描述，其中U是S⊗P复合系统中的幺正算符；

3) 假设系统P在t时刻的量子态为|φ〉，则可以得到整个复合系统在t时刻的量子态为|ψ〉⊗|φ〉；

4) 假设探测仪器A是通过P系统中的可观测量M来探测S系统中可观测量A的信息，即M是探测仪器最终显示“读数”的可观测量.那么在海森伯表象下，用Ain和Min分别表示算符A和M在t时刻的状态，用Aout和Mout分别表示算符A和M在t+Δt时刻的状态.于是可以得到Ain=A⊗I，Min=I⊗M，Aout=U†AinU，Mout=U†MinU；

5) 在海森伯表象下，记算符B在探测开始时的状态为Bin，在探测结束时的状态为Bout. 于是，可以得到噪声和扰动的表达式为[10]

(A,ψ,A)=ψ⊗φ|(Mout-Ain)2|ψ⊗φ1/2

(5)

(B,ψ,A)=ψ⊗φ|(Bout-Bin)2|ψ⊗φ1/2

(6)

随着对噪声-扰动不确定关系的不断深入研究，人们发现上面的噪声-扰动不确定关系(4)并不具备普适性，在某些情况下该噪声-扰动不确定关系可能被违背. 随后，Ozawa推导出了一个更具有普适性的噪声-扰动不确定关系[10]:

(7)

其中σ(A)和σ(B)分别表示可观测量A和B的方差.

3 区别

根据前两节的介绍我们可以看出，量子不确定关系和噪声-扰动不确定关系是两个不同的概念.量子不确定关系表明，对于任意量子态，即使人们掌握了量子态的所有信息，也不能精确预测两个非对易可观测量的测量结果.这里的不能同时精确预测可以理解为，人们通过相同的手段制备大量量子态相同的系统[6]，然后将这些系统分为两组，其中一组测量可观测量A，另外一组测量可观测量B，那么测量结果的方差将遵循不确定关系，即如果A和B不对易，那么它们的方差不能很小，人们不能同时精确预测非对易的A和B的测量结果.可见，量子不确定关系并不涉及一个测量量对另外一个测量量的影响，也不涉及对一个量子系统进行联合测量，它们是对相同态进行测量，但是并不是一个系统，其实不确定关系本质上可以理解为非对易量没有共同本征态[6].

噪声-扰动不确定关系研究的是测量噪声和测量对其非对易可观测量带来扰动之间的关系.当人们对系统的某个可观测量进行测量的时候，测量会对系统带来扰动，这个扰动必然会体现在其非对易可观测量对应的测量结果上，噪声-扰动不确定关系表明如果噪声小则扰动大，反之如果扰动小则噪声大.可以看出噪声-扰动不确定关系研究的是在一个量子系统上一个测量对其非对易量的影响，并不会涉及多个量子系统，其实噪声-扰动不确定关系本质上可以理解为不能对一个量子系统进行两个非对易的量的联合测量[6]. 需要说明的是，虽然量子不确定关系和噪声-扰动不确定关系是两个不同的概念，但是它们都是量子力学固有的属性，是量子力学和经典力学最本质的区别之一.

4 小结与展望

在本文中，我们主要介绍和讨论了量子不确定关系和噪声-扰动不确定关系的异同点.量子不确定关系表明两个非对易可观测量的方差不能被同时精确测量，主要可以分为基于方差的不确定关系和基于熵的不确定关系，其中，量子存储支撑下的熵的不确定关系和量子控制协助下的多体条件方差不确定关系表明在纠缠的作用下传统量子不确定关系的下限可以被突破.噪声-扰动不确定关系研究的是测量中的噪声和测量对其非对易物理量的扰动之间的关系，与量子不确定关系不同，噪声-扰动不确定关系没有那么多形式，比较具有代表性的就是Ozawa在文献[10]中构造的噪声-扰动不确定关系.根据这些介绍我们可以发现量子不确定关系和噪声-扰动不确定关系是两个不同的概念，希望这些讨论对两者以后的发展会有所帮助.