（2014.11北京）

团体赛

1.观察下面按一定规律排列的一列数：

1，12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，……

问： 1126是第几个数？

2.将14写成若干个质数的和，共有几种写法？

3.图1中有9个边长为1的正六边形，从中取出三个相邻（至少有1条边相同）的正六边形，使得剩下图形的周长等于原来图形的周长并且不使余下的图形断开. 那么，取出的是哪几个正六边形？

4.如图2，在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，梯形DECB中包含四个形状相同、面积相等的等腰梯形（两腰相等的梯形），问：△ABC的周长是等腰梯形DEQP周长的多少倍？

5.已知411<a2014<512，求整数a的个数.

6.从1，2，3，4，5，6中，任取三个组成三位数. 用这些三位数的和，再除以取出的三个数字的和，問：所得的商的个数.

7.已知：如图3，ABCDE是正五边形，四边形ACQP的面积是1.求阴影五角星部分的面积.

8.如图4，在大正方形ABCD中，正方形EBFP与正方形MPND的面积分别是64和16.正方形IJHK的顶点J，K分别是正方形EBFP和MPND的对角线的交点.求正方形IJHK的面积.

9.正方形的边长是小于20的质数a，正三角形的边长是自然数b，若正方形的周长比正三角形的周长多10，求b值的个数.

10.已知x是质数，y是整数，若1xy+2xy+…+55xy是整数，那么，y最大是多少？

11.A，B两数仅有质因数2和5，它们的最大公约数是50.A有6个约数，B有12个约数，求A+B.

12.如图5，ABCDEF是正六边形，AD与FC的交点，AC和EC的中点组成一个面积为6的阴影三角形，求正六边形ABCDEF的面积.

13.在12014，22014，32014，…，20122014，20132014中，最简分数有多少个？

14.9个点可以组成8条三点共线的直线（如图6），也可组成9条三点共线的直线（如图7），还可组成10条三点共线的直线（如图8），那么10个点最多可以组成多少个三点共线的直线？

15.安排720人乘车，现有50座的车13辆，40座的车20辆.每辆50座的车需付800元，每辆40座的车需付680元.问：为使运费最少，40座车需要安排多少辆？

16.已知a是有限小数，将它的小数点向右移动若干位，得到的数比原数大9.999，求所有符合条件的a的和.

17.N是一个各位数字不相同的自然数，并且各位数字都是N的约数. 求N的最大值.

18.A，B，C三人沿同一条直线同向行走. 开始，B在A、C之间且与A、C等距，如图9;行走一段时间后，C在A、B之间且与A、B等距，如图10. 又继续行走，当A在B、C之间且与B、C等距时，求B、C的距离（假设A，B，C三人的速度始终保持不变）.

19.如图11，正方体的6个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，用12个这样的正方体组成一个长方体，求长方体表面（包括底面）上所有数字和的最小值.

1

2

20.图12中有12个1×1的小正方形，它们共有20个顶点. 从中取出3个，作为三角形的顶点，问：这些三角形中，面积是2的有多少个？

接力赛

1A.在图13中，有多少个三角形？

3

1B.前面队友传来的答案是T，令S = 3T.

求小于S，且有奇数个因数的所有自然数的和.

2A.三个数277，362和515，分别除以一个不等于1的自然数D，得到相同的余数R，求D-R.

2B.前面队友传来的答案是T.

4

如图14，正方形的边长是T，圆的半径是8，圆心O是正方形的一个顶点，阴影部分的面积分别用S1，S2表示.

求S2-S1.（取圆周率π=3）

3A.已知 1WMTC× 3 3MTC1，式子中不同字母代表不同数字，求W+M+T+C.

3B.前面队友传来的答案是T，令S=T-19.

若满足a-b=S的两位数ab有N个，求乘积N·N·N·N…N100个N的末尾数字.

个人赛

1.如图15，AE=4，ED=图15

3，BC=6，DC=9.求△ABD的面积S.

2.已知四位数10ab，ba01都是完全平方数，求两位数ab.

3.某剧场有27排座位，后排总比前面相邻的一排多2个座位，第14排有60个座位.问：这个剧场共有多少个座位？

4.求算式2×2014+3×2013+4×2012+…+1008×1008的末位数字.

6

5.如图16，已知正六边形ABCDEF中，若四边形ACDE的面积是8，求正六边形ABCDEF的面积.

6.将一个棱长为整数的大正方体分成153个小正方体，其中，152个小正方体的棱长都是1.求大正方体的棱长.

7.a，b，c，d，e分别代表3，4，5，6，7中的一个，若a+1+b=1+c+e=d+e+2，求e.

8.已知：如图17，等腰直角三角形ABC（∠B=90°，AB=BC）的面积为1，分别以边AC，AB，BC为边，向外作正方形ACDE，AFGB，BHIC，求六边形DEFGHI的面积.

7图18

9.图18中有多少个四边形？

10.A、B、C分别是1～9中的三个数字，若A+2B+3C=12，问：由A、B、C组成并且大于321的三位数有多少个？

11.若干人排成一行从左到右先按照1，2报数，然后又按照1，2，3报数.两次都报“2”的有5人，则这行人最多有多少个？

9

12.参加跳绳比赛的学生被分为A、B、C三组，每人都仅在一组.已知A、B、C三组的人均跳绳数分别为100个，80个，70个.A、B两组合起来的人均跳绳数为85个，B、C两组合起来的人均跳绳数为76个.则参加跳绳比赛的学生人均跳绳数是多少.

13.在等腰直角三角形ABC（∠A=90°，AC=AB）中，腰长AB=4，分别以顶点A，B，C为圆心，腰长AB为半径作弧，得到图20，求阴影部分的面积.（圆周率π取3）

0图21

14.图21中，有7n个1×1的小正方形，在以小正方形的顶点为顶点，边与小正方形的边平行的长方形中，有154个的面积为3（不含正方形），求n.

2

15.如图22，小圆的23和大圆的45都是阴影.如果小圆的面积是12，求大圆的面积.

16.如图23，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，问：有2015条对角线的凸多边形有多少条边？

3

参考答案

团体赛

1.答案：312.

解 先不考虑第1个数：1，①

从第2个数开始，将同分母的数由小而大，各排成一行，得到

12第1行，分母是2，有1个数;

13，23第2行，分母是3，有2个数;

14，24，34第3行，分母是4，有3个数;

15，25，35，45第4行，分母是5，有4个数.

由此推知，第n行，分母是n+1，有n个数.

所以，1126在第25行，是这行的第11个数.②

在第25行前，有24行，其中含有的数字的个数是

1+2+3+…+24=1+242×24=300.③

由①②③，知1126是第（300+11+1）=312个数.

答：第312个.

2.答案：10.

解 14=2×7（7个2）

=2×4（4个2）+3+3

=2×3（3个2）+3+5

=2+2+3+7

=2+2+5+5

=2+3×4（4个3）

=2+5+7

=3×3（3个3）+5

=3+11

=7+7.

故共有10种写法.

3.答案：H，G，F或B，C，D.

解 取出相邻三个正六边形，并且剩下的图形不断开，这有以下五种情形：

（1）取出A，B，C，周长改变量是

-9+5=-4;

（2）取出A，B，H，周長改变量是

-8+4=-4;

（3）取出H，G，F，周长改变量是

-7+7=0;

（4）取出A，B，I，周长改变量是

-6+8=2;

（5）取出B，C，I，周长改变量是

-5+7=2.

所以，（3）合题意.同理，取B，C，D也可.

答：取出的是H，G，F或B，C，D.

4.答案：2.4.

4

解 如图24，若设PQ=a，

因为四个等腰梯形形状相同、面积相等，所以

PM=QN=PQ=a，

BM=NC=a.

BD=DE=EC=MN.

因为D是AB的中点，所以AB=2BD，

即BC=2DE，①

而BC=BM+MN+NC=a+MN+a

=MN+2a=DE+2a，②

由①②，得 BC=DE+2a=2DE，

即DE=2a.

所以BC=4a，

故可知原等边三角形的周长为12a，

小等腰梯形的周长为

a+a+a+2a=5a，

故原等边三角形的周长是小等腰梯形周长的

12÷5=2.4（倍）.

5.答案：107.

解 由411<a2014<512，得

2014×411<a<2014×512，

则732411<a<83916，

所以733≤a≤839，

于是整数a的个数是839-733+1=107.

6.答案：1.

解 不妨设取出的三个数为1，2，3，由它们组成的三位数是：

123，132，213，231，312， 321，

共6个，

他们的和再除以这三个数字的和就是

（123+132+213+231+312+ 321）

÷（1+2+3）=222.

由上述求解过程可知，取出三个数字排出的6个三位数的和的个位、十位、百位上的数字分别等于这三个数的和的二倍，

因此，满足题意的所有的三位数相加的和再除以这三个数字的和都是

100×2+10×2+1×2=222，

即满足题意的商的个数是1.

7.答案：2.

5

解 如图25，连接MQ，因为四边形ABCDE和PMNQR都是正五边形，∠PAM和∠PQM分别是两正五边形中，不相邻的两条对角线的夹角，所以相等.

而△PAM和△PQM又都是等腰三角形，且PM=PM，所以

△AMP与△QMP的面积相等，

因为ABCDE是正五边形，所以△AMP，△BNM，△CQN，△DRQ，△EPR，△QMP的面积相等，设为S1，

△RPQ，△MNQ的面积相等，设为S2，

又因四边形ACQP的面积是1，

即3S1+S2=1，

所以S阴影五角星=6S1+2S2=2.

8.答案：36.

解 正方形IJHK、EBFP重合部分的面积为

64×14=16，

正方形MPND、IJHK重合部分的面积为

16×14=4，

由正方形EBFP，MPND的面积分别为64和16，知正方形EBFP，MPND的边长分别为8和4，所以正方形IJHK中，不与EBFP和MPND重合部分的面积为

2×2×4=16，

则正方形IJHK的面积为

16+4+16=36.

9.答案：3.

解 由题意，可知

4a-3b=10，

所以b=4a-103=（a-3）+a-13，

故a-1可被3整除，又a<20，是质数，

所以只取a=7，13，19，从而，得b=6，14，22.

即b的个数为3.

10.答案：770.

解 1xy+2xy+…+55xy

=1xy（1+2+…+55）

=1xy×1+552×55

=1540xy，

因为1540xy是整数，所以设1540xy=k（k为整数），

即1540=kxy，

若使y最大，kx就要最小，而x又为质数，所以kx的最小值为2，则y的最大值为770.

当质数x=2时，y最大=770.

11.答案：6300或550或250.

解 因为50=2×52，所以

A可以写成2×52×a，

B可以写成2×52×b，

其中a、b为整数且只含质因子2、5. 可设

A=21+x×52+y，

B=21+m×52+n，

其中x、y、m、n均为非负整数，

由A有6个约数，得

[（1+x）+1]×[ （2+y）+1]

=（2+x）×（3+y）

=6，

所以x=0，y=0，

即A=21+0×52+0=50.

由B有12个约数，得

[（1+m）+1]×[（2+n）+1]

=（2+m）×（3+n）

=12，

所以m=0，n=3;

m=1，n=1;或m=2，n=0，

對应的B分别为

21+0×52+3=6250，

21+1×52+1=500，

或21+2×52+0=200;

又（50，6250）=50，

（50，500）=50，

（50，200）=50，

所以A=50，B=6250或500或200.

因此，A+B为=6300或550或250.

12.答案：144.

6

解 观察图形可知，△ACE的面积是阴影三角形面积的

3×4=12（倍）.

根据图26易得，△ABC的面积等于△ACO的面积，△ACE的面积是△ABC面积的3倍.

由对称性可得正六边形ABCDEF的面积

=△ABC的面积+△CDE的面积+

△AEF的面积+△ACE的面积

=3△ABC的面积+△ACE的面积

=△ACE的面积+△ACE的面积

=2 ×△ACE的面积

=2 ×12×阴影三角形的面积

=2 ×12×6

=144.

所以正六边形ABCDEF的面积是144.

13.答案：936.

解 2014=2×19×53，

在1，2，3，…，2013中，

有2012÷2=1006（个）数含有约数2，

有2×53-1=105（个）数含有约数19，

有2×19-1=37（个）数含有约数53，

有53-1=52（个）数同时含有约数2和19，

有19-1=18（个）数同时含有约数2和53，

有2-1=1（个）数同时含有约数19和53，

所以最简分数有

2013-（1006+105+37）+（52+18+1）

=936（个）.

14.答案：12.

7

解 10个点，使3个点在一条直线上，最多能组成12条直线，如图27：

15.答案：3.

解 因为80050=16（元/人），

68040=17（元/人），

所以，50座的车人均费用比较少，应当多用50座的车.

注意到50×13=650（人），

720-650=70（人），

7040=1.75（辆）.

所以，如果13辆50座车全用，则还需2辆40座的车.

如这样安排，则运费是

13×800+2×680=11760（元）.（1）

这时40座的车上，有10个空位.

如果用12辆50座车，可运

12×50=600（人），

余下720-600=120（人），

恰好需用3辆40座车，如这样安排，则运费是

12×800+3×680=11640（元）.（2）

比较（1）、（2），可知（2）运费最少.

用40座的3辆，可使运费最少.

16.答案：1.213.

解 （1）将a的小数点向右移动一位，则新数是a的10倍，新数减去a是a的9倍，即

a=9.999÷9=1.111.

（2）将a的小数点向右移动两位，则新数是a的100倍，新数减去a是a的99倍，即

a=9.999÷99=0.101.

（3）将a的小数点向右移动三位，则新数是a的1000倍，新数减去a是a的999倍，即

a=9.999÷999=0.01009…，

是一個循环小数. 与a是有限小数矛盾，故舍去.

（4）将a的小数点向右移动四位，则新数是a的10000倍，新数减去a是a的9999倍，即

a=9.999÷9999=0.001.

（5）将a的小数点向右移动五位，则新数是a的100000倍，新数减去a是a的99999倍，即

a=9.999÷99999=0.0000999909999…，

是一个循环小数，与a是有限小数矛盾，故舍去.

（6）同理，将a的小数点向右移动五位以上，得到的a都不符合要求.

故所有符合条件的a的和为

1.111+0.101+0.001=1.213.

17.答案：9867312.

解 0不能做除数，所以N的数字中不含0.

N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0.如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不超过5位.

如果N的各位数字中不含5，则N最大可能是八位数，它的各位数字分别是1，2，3，4，6，7，8，9，但数字和为40，不能被9整除，所以N最多是七位数，又为使N最大，可保留9，并将9放在最高位，又为使N能被9整除，可去掉4，这时为使N能被2，6，8整除，末尾数字应该是偶数.

此时还需要考虑被7和8整除.

（1）前四位最大为9876时，9876312能被8整除，但被7除余5;9876132能被7整除，但被8除余4.

（2）前四位如果取9873时，9873612能被7整除，但被8除余4;9873216能被8整除，但被7除余3;9873162和9873126都既不能被7整除，也不能被8整除.

（3）前四位如果取9872时，9872316既不能被7整除，也不能被8整除;9872136能被8整除，但被7除余1.

（4）前四位如果取9871时，9871632能被8整除，但被7除余1;9871362，9871326和9871236都既不能被7整除，也不能被8整除;

（5）前四位如果取9867，9867312能被8整除，也能被7整除.

所以N的最大值是9867312.

18.答案：560.

8

解 由题意，当A在B、C之间且与B、C等距时，设A，B间的距离为x，如图28.

由图9到图10可知，C比B多走900米，B比A多走300米，根据三人的速度始终保持不变，知在相同的时间内，C比B多走的距离是B比A多走的距离的3倍.

由图10和图17可知，C比B多走（2x-200）米，B比A多走（400-x）米.

则有2x-200=3（400-x），

即5x=1400，

解得x=280（米）.

所以B、C的距离为560米.

19.答案：60.

解 观察可知，数字2所在的面和数字1，3，4，6所在的面相邻，故

数字2所在的面和数字5所在的面相对，

数字3所在的面和数字1，2，5，6所在的面相邻，于是可知

数字3所在的面和数字4所在的面相对，

则数字1所在的面和数字6所在的面相对.

因为12=1×1×12=1×2×6

=1×3×4=2×2×3，

所以用12个正方体可组成的长方体有四种.

（1）1×1×12，如图29.

9

因为任意相对两个面上的数字的和都是7，所以12个正方体上下、前后两组相对面的数字和不变，是

12×7×2=168，

当两端的正方体露在外面的数字的和最小时，长方体表面的数字和最小，为

168+1+1=170.

（2）1×2×6，如图30.

0

因为任意相对两个面上的数字的和都是7，所以长方体上下表面上的数字的和是定值，为

6×2×7=84.

如图，长方体表面的数字和的最小值为

84+6×1×2+2×2×2=104.

（3）1×3×4，如图31.

同理，可得长方体表面的数字和最小值为

4×3×7+4×2×1+2×（2+1+2）=102.

1图32

（4）2×2×3，如图32.

同理，可得长方体表面的数字和最小值为

6×2×1+6×2×2+4×2×3=60.

综上可知，长方体表面上所有的数字和的最小值为60.

20.答案：154.

解 首先，由面积公式S=12×2×2=2，可知：

3

（1）以图33中的粗线段为底边时，顶点可以选5个黑点中的任意一个，此时，有5个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有5个这样的三角形，……此图中共有5×3个这样的三角形.

同理，底边在大长方体的最上边的横边上，又有5×3个这样的三角形.而图中这样的大长方形有2个，所以共有三角形

5×3×2×2=60（个）.

4

（2）如图34，类似（1），长方形如果竖起来，去掉与（1）重复的三角形，共有三角形

2×2×2×3=24（个）.

其次，由面积公式S=12×4×1=2可知：

5

（3）以图35中的粗线段为底边时，顶点可以选4个黑点中的任意一个，此时，有4个这样的三角形，将底边向下移动一个单位，又有4个这样的三角形，……

此图中共有4×3个这样的三角形. 同理，底边在大长方形的最右边的竖边上，又有4×3个三角形，所以共有三角形4×3×2=24（个）.

6

（4）同（3）类似，以图36中的粗线为底，去掉与（3）重复的，顶点可以选3个黑点中的任意一个，有3个这样的三角形，将底边往下移一个单位，又有3个这样的三角形，……此图中共有3×3个这样的三角形. 同理，如果将大长方形的最下面的边作为底，有3个三角形，……，所以共有三角形

3×3×2=18（个）.

最后，还有边不在小正方形的边上的三角形.

（5）如图37，在下面的长方体中，有4个面积为2的三角形，而3×4的正方形中竖着有3个这样的长方形，横着有4个这样的长方形，所以三角形的个数共有

（3+4）×4=28（个）.

7

故4×3的正方形中，面积为2的三角形共有

60+24+24+18+28=154（个）.

接力赛

1A.答案：35.

解 图中有10个小三角形和1个小五边形.

由1个小三角形组成的三角形有10个;

由2个小三角形组成的三角形有10个;

由3个小三角形组成的三角形有5个;

由2个小三角形和1个小五边形组成的三角形有5个;

由4个小三角形和1个小五边形组成的三角形有5个.

所以图中共有10+10+5+5+5=35（个）三角形.

1B.答案：385.

解 有奇数因子的自然数一定是完全平方数，

由前一位队友传来的答案，知

S=3T=3×35=105.

因为102=100<105<121=112，

所以小于105且有奇数个因子的所有自然数的和为：

12+22+32+42+…+102

=1+4+9+16+…+100

=385.

2A.答案：12.

解 因为三个数277，362和515，分别除以正整数D，余数相同，

所以362-277，515-362，515-277，

都能被D整除，

即85，153，238，都能被D整除，

因此D为85，153，238，的公因子.

又因为85=5×17，

153=9×17，

238=2×7×17，

所以D=17.

又因为277÷17=16……5，

362÷17=21……5，

515÷17=30……5，

所以R=5，

故（D-R）=12.

2B.答案：48.

解 由题设可得

（S2+S）-（S1+S）

=S2-S1=π×82-T2，

由前一位队友传来的答案，知 T=12，

则S2-S1=3×82-122=48.

3A.答案：22.

解 由C×3的尾数为1知，C=7，

由T×3+2的尾数为7知，T=5，

由M×3+1的尾数为5知，M=8，

由W×3+2的尾数为8知，W=2.

故W+M+T+C=22.

3B.答案：1.

解 由題意，可知a-b只能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个.

若S=0，则N=9;

S=1，则N=9;

S=2，则N=8;

S=3，则N=7;

S=4，则N=6;

S=5，则N=5;

S=6，则N=4;

S=7，则N=3;

S=8，则N=2;

S=9，则N=1.

所以N只能为1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个.

由于若干个1，5，6相乘的末尾数字永远是1，5，6.

若干个3相乘的末尾数字是3，9，7，1的循环.

若干个4相乘的末尾数字是4，6的循环.

若干个7相乘的末尾数字是7，9，3，1的循环.

若干个8相乘的末尾数字是8，4，2，6的循环.

若干个9相乘的末尾数字是9，1的循环.

又因为100÷4=25，

所以100个N相乘的末尾数字与4个N相乘的末尾数字相同.

由前一位队友传来的答案，知

S=22-19=3，

所以N=7.

7100与74的末尾数字相同，为1，

故N100的末尾数字为1.

个人赛

1.答案：27.

解 S=S梯形ABCE-S△ADE-S△BCD

=12（4+6）×（3+9）-12×

4×3-12×6×9

=60-6-27

= 27.

2.答案：89.

解 由312=961<10ab，322=1024，

332=1089，342=1156>10ab，

知10ab=1024或1089，

所以ba01=4201或9801，

因为9801=992，

而642<4201<652，

所以a=8，b=9.

于是ab=89.

3.答案：1620.

解 S27=13×2a14+a14=27×a14

=27×60

=1620（个）.

4.答案：7.

解 此算式含有1007个乘积，它们的末位数字依次是：

2×2014的末位数字是2×4=8，

3×2013的末位数字是3×3=9，

4×2012的末位数字是4×2=8，

5×2011的末位数字是5×1=5，

6×2010的末位数字是6×0=0，

7×2009的末位数字是3，

8×2008的末位数字是4，

9×2007的末位数字是3，

10×2006的末位数字是0×6=0，

11×2005的末位数字是1×5=5，

12×2004的末位数字是2×4=8，

13×2003的末位数字是3×3=9，

……

观察以上的末位数字发现从第11个末位数字开始，重复出现前10个末位数字，因为有1007个乘积，

而1007÷10=100……7，

所以原式的末位数字与

100×45+2×4+3×3+4×2+5×1+6×0+7×9+8×8=4657

的末位数字相同，

故2×2014+3×2013+4×2012+…+1008×1008的末位数字是7.

5.答案：12.

解 设正六边形ABCDEF的面积是6x，则由正六边形的对称性，知四边形ACDE的面积是4x，即

4x=8，

解得x=2，

6x=12，

故正六边形ABCDEF的面积是12.

6.答案：6.

解 设棱长不为1的小正方体的棱长为x，大正方体的棱长为y，则

由体积关系，得

x3+152=y3，

因为x和y都是正整数，不妨排列一下立方数1，8，27，64，125，216，343，512，

因为512-343>152，

而y3-x3=152，

所以不需要再往下排，

这里，唯一的解就是

64+152=216，

于是x=4，y=6，

所以大正方体的棱长为6.

7.答案：4或7.

解 设a+1+b=1+c+e

=d+e+2

=k，

所以（a+1+b）+（1+c+e）+（d+e+2）

=3k，

即a+b+c+d+4+2e=3k.①

而3+4+5+6+7=25，

所以a+b+c+d+e=25.

由①，得29+e=3k，

所以2+e可被3整除，即

2+e=3（k-9），

因为3≤e≤7，

于是，只有e=4或7.

8.答案：12.

解 连接点A，G; C，H，如图38，

8

由正方形和等腰直角三角形的性质，可知△AFG，△AGB，△BGH，△BHC，△CHI的面积和△ABC的面积相等，都是1.

因为△AFG和△AEF等底同高，△CHI和△CID等底同高，

所以△AEF和△CID的面積都是1.

又正方形AGHC和ACDE的边长相等，

所以正方形ACDE的面积是4，

故六边形DEFGHI的面积为

4+4+1+1+1+1=12.

9.答案：60.

解 在四边形LBCK中：有10个四边形;

在四边形KCDJ中，有10个四边形;

在四边形JDEI中，有10个四边形.

同理，在四边形LBDJ，KCEI，LBEI中，分别有10个四边形，

所以，总共有60个四边形.

10.答案：4.

解 若A=B=1，

由A+2B+3C=12，得

3+3C=12，

解得C=3.

因為A、B不能同时为1，所以C<3，

即C=1或2.

（1）当C=1时，则

A+2B=12-3C=9.

由奇偶性知，A是奇数，又题设三位数>321，

所以A、B均≥2，

又A+2B=9，且A≠B，

所以A=5，B=2，C=1.

（2）当C=2时，则

A+2B=6.

由奇偶性知，A是偶数，注意到

A≠C，B≠C，

所以B=1，A=4，C=2.

综上知，A=5，B=2，C=1，或A=4，B=1，C=2.

所以用A、B、C组成的三位数的个数是

6+6=12（个），

其中大于321的有2+2=4（个）.

11.答案：31.

解 第一次报数依次为1， 2， 1， 2， 1， 2， 1， 2， …

第二次报数依次为1， 2， 3， 1， 2， 3， 1， 2， 3，…

两次都报“2”的分别是第2名， 第8名，第14名，…，

即第6n+2（n=0，1， 2，…）名同学两次都报了“2”.

因为有5个两次都报了“2”的同学，

所以第五个两次都报“2”的同学是第26名.

第六个两次都报“2”的同学应该排在第32名.

所以班里最多有31人.

12.答案：80.

解 设A、B、C三组的人数分别为a、b、c.

由A、B两组的人均跳绳数分别为100，80， A、B两组合起来的人均跳绳数为85，得

100a+80ba+b=85，

整理，得a∶b=1∶3.

由B、C三组的人均跳绳数分别为80，70，B、C两组合起来的人均跳绳数为76，得

80b+70cb+c=76，

整理，得b∶c=3∶2，

所以A、B、C三组的人数之比为1∶3∶2，

因此，所有参加跳绳比赛的学生人均跳绳数为

100×1+80×3+70×21+3+2=80（个）.

13.答案：8.

9

解 如图39，从点A作AF⊥BC，交BC于点G，交弧BC于点F，

则直线AF和BC将阴影部分分割成相等的四部分，且每一部分的面积为

扇形CAE的面积-三角形CAG的面积

=18π×42-4×4÷2÷2

=2，

4×2=8，

所以阴影部分的面积为8.

14.答案：14.

解 面积为3的长方形中，水平位置一共有7（n-2）个，竖直位置一共有5n个，则

7（n-2）+5n=154，

整理，得12n=168，

解得n=14.

15.答案：20.

解1 因为空白（重合）部分的面积

=12×1-23=4，

所以S大圆=4÷1-45=20.

解2 小圆中，空白部分与阴影部分的面积比是

1-23∶23=1∶2;

大圆中，空白部分与阴影部分的比是

1-45∶45=1∶4，

设两圆的公共部分（空白部分）的面积为x，

所以小圆的面积为（1+2）x，

大圆的面积为（1+4）x，

由题设条件知，（1+2）x=12，

即x=4，

所以（1+4）x=5×4=20，

即大圆的面积为20.

16.答案：65.

解 观察多边形的对角线，发现

N边形对角线条数

N=42

N=52+3=5

N=62+3+4=9

N2+3+…+N-2=（2+N-2）（N-3）2

而（2+N-2）（N-3）2=N（N-3）2，

由题意得，知2015=N（N-3）2，

即N（N-3）=4030.

因为4030=2×5×13×31=62×65，

所以N=65.