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矩形要点精读

2022-07-24韩宏帅

数理天地(初中版) 2022年3期
关键词:对称轴对角线直角

韩宏帅

矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

矩形定义的两个要素:

①是平行四边形;

②有一个角是直角.

即矩形首先是一个平行四边形,然后增加一个角是直角这个特殊条件.

例1 如图1,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件,使平行四边形ABCD是矩形.

解 添加一个条件为:∠ABC=90°,理由如下:

因为四边形ABCD是平行四边形,

∠ABC=90°,

所以平行四边形ABCD是矩形.

矩形的性质

矩形的性质包括四个方面:

1.矩形具有平行四边形的所有性质;

2.矩形的对角线相等;

3.矩形的四个角都是直角;

4.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.

(1)矩形是特殊的平行四边形,因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

(2)矩形也是轴对称图形,有两条对称轴(分别通过对边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).

(3)矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质,从而矩形的性质可以归结为从三个方面看:从边看,矩形对边平行且相等;从角看,矩形四个角都是直角;从对角线看,矩形的对角线互相平分且相等.

例2 如图2,点E,F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上,BE=DF,则四边形AECF是()

(A)平行四边形.(B)矩形.

(C)菱形.(D)正方形.

解 由题意 AD∥BC,

所以∠ADB=∠CBD,

所以∠FDA=∠EBC,

又因为AD=BC,BE=DF,

所以△ADF≌△CBE(SAS),

所以AF=EC,

所以∠AFD=∠CEB,

所以AF∥EC,

所以四边形AECF为平行四边形,

故选(A).

矩形的判定

矩形的判定有三种方法:

1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

在平行四边形的前提下,加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

例3 如图3,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.

(1)求证:四边形ACED是平行四边形;

(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.

证明 (1)因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AD∥BC,

且AD=BC.

因为点C是BE的中点,

所以BC=CE,

所以AD=CE,

因为AD∥CE,

所以四边形ACED是平行四边形;

(2)因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AB=DC,

因为AB=AE,

所以DC=AE,

因为四边形ACED是平行四边形,

所以四边形ACED矩形.

直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形,对一般三角形不可使用.

(2)直角三角形主要性质有:

①直角三角形两锐角互余;

②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

(3)性质可以用來解决有关线段倍分的问题.

例4 如图4,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点,连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE,当∠ABD=∠BCE时,线段AE的最小值是()

(A) 3.(B) 4.

(C) 5.(D) 6.

解 如图,取BC的中点T,连接AT,ET.

因为∠ABC=90°,

所以∠ABD+∠CBD=90°,

因为∠ABD=∠BCE,

所以∠CBD+∠BCE=90°,

所以∠CEB=90°,

因为CT=TB=6,

所以ET=12BC=6,

AT=AB2+BT2

=82+62

=10,

因为AE≥AT-ET,

所以AE≥4,

所以AE的最小值为4,

故选(B).

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