江苏南京市栖霞区龙潭中心小学江畔人家校区（210058）袁 君

一个偶然的机会，笔者读到一篇关于三角形的教学论文，主要论述的是三角形的面积计算公式的推导法。为了教好这节课，原作者多次磨课，文章详细介绍了其中三版教案，给读者呈现了整个修改和完善的过程。

第一版教案，原作者先出示两个全等的直角三角形纸片、两个全等的锐角三角形纸片和两个全等的钝角三角形纸片，然后演示将两个全等的三角形纸片拼接成平行四边形，再通过转化法将平行四边形与三角形的对应元素等值代换，最后以三角形的面积是平行四边形面积的一半为基础，推导出三角形的面积计算公式。笔者觉得第一版教案的演示法太直接，提供的材料也是事前做了“手脚”的，斧凿的痕迹太明显，学生还没经过自主思索，就已经在教师的授意和提示下拼出了平行四边形，然后顺理成章推导出三角形的面积计算公式，但这不是学生自主思考的结果，更不是学生运用智慧的成果。

第二版教案，原作者作了改进：先出示从方格纸上剪下来的三角形（每个方格的边长都是1厘米，即方格的面积为1平方厘米），让学生尽量沿着方格线裁剪，割补成已经学过的其他几何图形，然后按照方格数验证其面积大小，最后根据重组前后两种图形之间的元素代换来推导三角形的面积计算公式。笔者认为这种方法只是从特殊的三角形入手，通过割补，重组成其他几何图形来推导面积的算法，而且一旦这种方法奏效了，学生的思维就会形成定式，不再联想用两个全等的三角形拼接成平行四边形来进行推导。

第三版教案，原作者先对常见特殊的四边形面积公式进行回顾温习，接着出示一个长方形和两个不同的平行四边形，引导学生画出这三个四边形的对角线，并将其分别切割成两个全等的直角三角形、两个全等的锐角三角形和两个全等的钝角三角形。通过这一操作，学生惊奇地发现，每个三角形都是它所在四边形的面积的一半，如此，学生便可以很自然地联想到“用任意两个完全相同的三角形都可以拼成一个平行四边形（或长方形）”，借此便可推导出三角形的面积计算公式。

一、原作者的构思

以上三版教案各有不同，原作者也极力推崇第三版教案。笔者掩卷而思，在第三版教案中，虽然最终的三角形的面积计算公式是由学生推导出来的，但离不开教师有意引出对角线的环节，正是在这个暗示下，学生才会想到全等三角形旋转拼接法。这种教学策略与第一版教案（直接出示成对的全等三角形）如出一辙，无非是变换了出场顺序，因为最关键的“画对角线”是教师直接点出来的。

那么，怎样才能让学生经历有价值的思维过程呢？笔者当时也写了一些笔记，主要观点是将原作者第二版教案中的三角形再移回方格纸中（如图1），每个方格的面积还是1平方厘米。此举的目的是希望学生能够借助方格纸的提示和启发，在数方格和割补重组之外，也能发散思维想到扩拼法。在实际教学中，学生乐于数方格，在遇到占据“半格”的情况时，立刻就会想到割补、拼凑成整格的方法。接着，笔者继续点拨，指出割补的缺陷——半格无法精准拼凑，能不能在保留原图的情况下进行扩展，不作任何切割，也不计算方格数，只用方格数代表的长度来计算。在这样的提示下，一部分学生想到了扩拼法（如图2）。最后，笔者分发作业纸（每张纸上分别画直角三角形、锐角三角形、钝角三角形），要求学生分别标注三角形的底和高，然后用笔将它们“复制”，扩展成长方形或平行四边形。学生以画代摆，将割补法和扩拼法收入囊中。

图1

图2

在笔者看来，原作者执教谨小慎微、瞻前顾后，内心充满了矛盾，既想摒弃明显的提示（第一版教案），让学生通过完全自主的探究想到扩拼法，将两个全等的三角形拼接成一个平行四边形来推导三角形的面积计算公式，又担忧学生想不到，才用格子图来暗示（第二版教案）。但事与愿违，学生并未想到扩拼法，而是割补法，这倒是与平行四边形联系上了，但却是将平行四边形割补成长方形的那一套借鉴到三角形中，弄巧成拙。无奈之下，原作者只好直接在平行四边形上画对角线（第三版教案），通过辅助线提示学生逆向思考，悟出将两个全等的三角形拼接成平行四边形的方法，可这不就又退回到第一版教案了吗？为此，笔者才提出折中处理的教法——借助方格纸作背景来扩拼。

二、质疑者的构思

时隔数月，有人撰文对笔者的教法提出质疑。质疑一，画在方格纸中的三角形过于特殊，不具有代表性。质疑二，推导三角形的面积计算公式本就有多种方法，而扩拼法只是其中一种。质疑三，研究三角形的面积的方法要推广到全部类型。对此，质疑者提出新的观点——从直角三角形的面积入手。

笔者完全赞同后两个质疑，但对质疑一存疑。特殊的三角形才能体现数方格法的优势，只有存在数格子的便利，才能诱导学生去数，将具有明显互补的两个半格拼成一格，这实际上就是割补法。但割补法有弊端，因为割补重组后的方格数难以重新整理和清点。而扩拼成长方形或平行四边形就可以不用数方格，直接按照方格数代表的长和宽算出四边形的面积，三角形的面积是四边形面积的一半就不言而喻了。因此，特殊三角形的出现只是诱饵，其目的就是诱导学生迁移联想到一般三角形上，这个过程也体现了从特殊到一般的合情推理过程。

当然，质疑者的观点也让笔者获益良多，如先让学生试着在一个长方形上画一条直线（切割线），切出一个直角三角形（阴影部分），学生画出了三种情况（如图3）。学生很快发现，第①种切法切出的直角三角形的面积是长方形面积的一半，只需测出长方形的长和宽就能推算出这个直角三角形的面积。接着，质疑者让学生考虑后两种切法，并提醒：“再造一个小长方形，也能使这个三角形的面积成为小长方形面积的一半。”学生经过一番思索，立刻用虚线画出对应的小长方形（如图4）。这样教学，既达到了扩拼的目的，也达到了由特殊到一般的扩展，即任意直角三角形都可以扩拼成面积是其2倍的长方形，三角形的面积都可以通过长方形的长和宽间接求得，扩拼后的长方形的长和宽就是原直角三角形的底和高。最后，质疑者继续扩展：“如果换成锐角三角形或钝角三角形，你能否扩拼出类似的四边形？”学生通过自主探究，以不同对应边为对接线，将两个全等三角形拼组成不同形状的平行四边形，并逐一推导，得出三角形的面积计算公式。

图3

图4

对于外界的质疑，笔者也不敢妄自菲薄。在教学中，想要达到让学生完全自主探究的目标，教师的干预越少越好，适时的指导、点拨也不能过于明显，必须让学生自主思考，自然而然想到科学的方法。同时，情境的设计不能太隐晦，而且割补的痕迹要非常明显，要让学生凭借观察到的形态和直觉思维就能想到扩拼法。质疑者想到了直接出示将长方形切割成两个直角三角形的图案，企图让学生在没有任何诱导和暗示的情况下，自行想到用扩拼法推算出直角三角形的面积，而后不断改变切割线的位置，意图用事实让学生明白：任意形状的直角三角形（复制一个后）都可以拼接成一个长方形。质疑者想到了先采用特殊的直角三角形进行扩拼，促使学生建立深刻的拼接观念，再推广到一般三角形。

三、笔者的综合分析

质疑者的教法很新颖，特别是让学生在一个长方形中任意切出一个直角三角形的方式，这就涵盖了所有的直角三角形。但细细思量，这样的处理与开篇介绍的第三版教案犯了同样的错误。原作者是在一个长方形和两个平行四边形上画出对角线，一步到位完成对所有类型三角形的扩拼，而质疑者是先完成了对直角三角形的扩拼演示探究，再引出后来的任意直角三角形的扩拼。这样的教法好像就把扩拼法默认为唯一选择。虽然扩拼法是教学的重点，但按照学生的最近发展区而言，学生刚学过平行四边形的面积计算，对割补法积累了丰富的经验，如果没有教师的刻意诱导，学生一定会首选割补法进行图形转化。而强推扩拼法，不顾学生的已有经验，真的妥当吗？

笔者综合原作者和质疑者的意见，重新对这节课做了教学设计。借鉴质疑者的从直角三角形入手策略，笔者在方格纸中同时呈现三种三角形（如图5），每个方格的面积还是1平方厘米。

图5

学生先观察直角三角形，因为直角三角形特征最明显，很容易估测出面积。果然，在实际教学中，学生归纳出三种方法（如图6）。方法①是直接数方格，6个整格加上6个半格等于9个整格，对应的直角三角形的面积就是9平方厘米；方法②是把直角三角形的上半部分割补到右下角，拼接成一个正方形，正方形的边长都是3格，面积也为9平方厘米；方法③是把直角三角形扩拼成一个长方形，长方形的长有6格，宽有3格，根据长方形的面积计算公式可知其面积为18平方厘米，则直角三角形的面积为9平方厘米。接着，笔者组织学生对以上直角三角形的面积计算方法进行梳理，总结得出三角形的面积计算公式为“底×高÷2”。再来研究图5中剩下的两种三角形，笔者追问：“对于任意三角形，是否都能用刚才总结的‘底×高÷2’这个面积公式？”此时让学生拿出纸片学具，分别从中挑出成对的全等三角形，并拼接成长方形或平行四边形，进一步推导（如图7）。最后的反馈交流中，笔者发现割补法成了小众，扩拼法成了主流。

图6

图7

反馈中，笔者抓住每一组三角形，因为对接线不同，拼接出的平行四边形的形状也就不同，要求学生通过对比，找出不同形状的平行四边形中对应三角形的底和高，使学生对三角形的扩拼法有更深刻的认识，也使学生对平行四边形与对应三角形的底和高的代换关系更清晰，这一切都是为了推导公式的便利。

不管怎么说，割补法是推导平面图形面积的一大基本方法，是学生直观思维的触发器，如果绕开割补法而直接触及扩拼法，思维跳跃过大，学生一时难以适应。在质疑者的教法中，待学生探明直角三角形面积的扩拼法后，如何过渡到一般三角形面积的扩拼法没有明确交代，即使牵强地类比到一般三角形面积的扩拼法，学生也很难接受。因此，两全其美的办法就是继续保留方格的优势，将直角三角形面积的扩拼法放到方格纸中进行，并且创设开放性的情境。笔者并未将学生的思维圈禁在扩拼法中，而是任其自由发挥，利用方格自由割补，只要能够充分利用方格的完整性数出面积即可。在割补法的启发下，学生自然想到扩拼法，这才是学习真正的生成。

我们都在探寻如何促使学生自发想到推导三角形的面积策略，尽管交流中存在一些分歧，但最终的目标是一致的，那就是结合学生实际，让思考活动变得更有价值。我们都在致力于将素材中的暗示因素减到最低，但又不至于削弱学生思考的主动性。只有我们都秉持这样的教学观点，学生的数学活动经验才是有意义的，学生的观察力和想象力才能得到最大提升。