东莞市第四高级中学(523220) 王文涛

一.试题呈现

题目1 (2021年广东省中考第25题节选)二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(−1,0),且对任意实数x,都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6,求该二次函数的解析式.

题目2 (2020年高考江苏卷第19题节选)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b∈R)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x),若f(x)=x2+2x,g(x)=−x2+2x,D=(−∞,+∞),求h(x).

这两道题的形式新颖,表面看起来考察的是二次函数恒成立问题,但实质背景是凹凸函数的切线方面的几何特征.下面从一元函数微分学的视角给出新的解答和推广.

二.解法探究

以题目1 为例,采用两边夹的思想,先必要性求值,再证明充分性.

解因为二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(−1,0),所以有a−b+c=0.又因为对任意实数x,都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6,令x=3,有0≤9a+3b+c≤0,所以9a+3b+c=0,与a−b+c=0联立,解得b=−2a,c=−3a.

设f(x)=4x−12,g(x)=ax2+bx+c,h(x)=2x2−8x+6,则f(x)≤g(x)≤h(x),f(3)=g(3)=h(3).设F(x)=g(x)−f(x)=ax2+(b−4)x+c+12,F′(x)=2ax+b−4,由上知F(x)≥0=F(3),则x=3 是F(x)的极小值点,由费马引理得F′(3)=0,即2a×3+b−4=0,所以a=1,b=−2,c=−3.

下证充分性.当a=1,b=−2,c=−3,g(x)−f(x)=x2−6x+9=(x−3)2≥0,h(x)−g(x)=x2−6x+9=(x−3)2≥0,所以f(x)≤g(x)≤h(x),所以所求的解析式为y=x2−2x−3.

注f(x)=4x−12 是g(x)与h(x)在x=3 处的公切线.

三.相关背景

为行文方便起见,以下根据文献[1]给出函数凸(凹)的定义以及相关定理和几何特征.

定义1 设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点x1,x2和任意实数λ∈(0,1),总有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2),则称f为I上的凸函数.反之,如果总有f(λx1+(1−λ)x2)≥λf(x1)+(1−λ)f(x2),则称f为I的凹函数.

定理1 设f为定义在区间I上的可导函数,则下述论断互相等价:1◦f为I上的凸(凹)函数; 2◦f′为I上的增(减)函数;3◦对I上的任意两点x1,x2,有f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)(f(x2)≤f(x1)+f′(x1)(x2−x1)).

定理2 设f(x)为区间I上的二阶可导函数,则在I上f为凸(凹)函数的充要条件是f′′(x)≥0(f′′(x)≤0),x∈I.

通过以上论断3◦我们能得到凸(凹)函数的几何特征:凸(凹)函数的曲线总是在它的任一切线的上方(下方).

四.三种推广模型

性质1 设f(x)和g(x)为开区间I上的二阶可导函数,f(x)≥g(x),f(x0)=g(x0),且满足下列三个条件之……