广东省佛山市高明区第一中学(528500) 王顺耿

引例已知函数f(x)=在其定义域(0,+∞)内既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是( )

A.(0,1)∪(1,) B.(0,1) C.(,+∞) D.(1,)

因为f′(x)=x2−ax,要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内既有极大值又有极小值,则导函数f′(x)有两个变号零点,即函数y=x2与函数y=ax有两个交点,探本溯源就是考察幂函数y=x2与指数函数y=ax图象的位置关系.事实上,我们学习了指数函数和幂函数,但对它们间较为深入的函数图象位置关系还缺少研究,明确它们间的位置关系对某些问题的研究有一定的帮助,下面对两函数图象的位置关系做进一步的探究.

1 指幂两函数图象的位置分析

指数函数y=ax(a >0,a≠1)图象分布在第一、二象限,幂函数y=xα(α≠0)图象主要分布在第一象限,当幂函数又是偶函数时,第二象限图象与第一象限图象对称,下面依据底数a和幂指数α的变化,从三个角度对两函数图象的位置关系作深入探究.

1.1 确定的幂函数与变化的指数函数

幂函数y=xα(α≠0)的幂指数α确定,探究随着指数函数y=ax(a >0,a≠1)底数a的变化,两函数图象的位置关系,先考察两函数在(0,+∞)上的位置关系.

③若0

④若lna <0,则0< a <1,函数y=lna与函数f(x)=相交一点,方程ax=xα一解,在(0,+∞)上,函数y=ax图象与函数y=xα图象在x=x0(x0∈(0,1))处相交.

⑧若lna >0,则a >1,函数y=lna与函数f(x)=相交一点,方程ax=xα一解,在(0,+∞)上,函数y=ax图象与函数y=xα图象在x=x0(x0∈(0,1))处相交.

特别地,当幂函数y=xα又是偶函数时,在(−∞,0)上,指数函数y=ax图象与幂函数y=xα图象的位置关系探究如下:

由a−x=(−x)α=xα(x >0,x≠1),得=−lna,同样令f(x)=.

(1)当α>0 时,据图1 有以下结论:

图1

①当−lna >,即0< a <(<1)时,a−x >(−x)α,在(−∞,0)上,函数y=ax图象在函数y=xα图象上方;

②当−lna=,即a=(<1)时,在(−∞,0)上,函数y=ax图象位于函数y=xα图象上方并在x=−e 处两函数相切;

③当0<−lna <,即< a <1 时,在(−∞,0)上,函数y=ax图象与函数y=xα图象在和处相交;

④当−lna <0,即a >1 时,在(−∞,0)上,函数y=ax图象与函数y=xα图象在x=∈(−1,0))处相交.

(2)当α<0 时,据图2 有以下结论:

图2

⑤当−lna <,即a >(>1)时,a−x <(−x)α,在(−∞,0)上,函数y=ax图象在函数y=xα图象下方;

⑥当−lna=,即a=(>1)时,在(−∞,0)上,函数y=ax图象位于函数y=xα图象下方并在x=−e 处两函数相切;

⑧当−lna>0……