苏 磊，李 峰，夏荣盛，汪 婧，沈 浩

(安徽工业大学电气与信息工程学院，安徽 马鞍山 243032)

随着中、美、德等国提出了一系列以智能制造和工业现代化为主题的国家发展战略，现代制造系统、智能电网等复杂工业系统工业化与信息化的深度融合成为当下的研究挑战。此类系统的动态演化不仅受时间迁移的影响，还受一些突发离散因素的影响，如电网中互联结构变化、内部元件故障、输电线路遭遇雷击等。复杂跳跃系统是一类由连续时间变量和离散事件共同驱动的动态系统模型，可对上述情形进行有效建模。为了推动工业系统两化深度融合和智能化升级，认识复杂跳跃系统的一般规律、分析系统性能与控制需求成为控制领域亟需解决的基础理论问题[1-4]。从数学的角度，复杂跳跃系统常被看作是一类特殊的随机系统，基于此，复杂跳跃系统也可被认为是一类由马尔科夫链来表征系统跳跃信号的混杂切换系统的特殊情况。系统参数在离散时间点随机变化，并由马尔科夫过程控制。近年，由于复杂跳跃系统的广泛适用性而受到极大关注，其相关理论与方法已成功应用到经济[5]、飞行[6]、电力[7]、通信[8]和网络化控制[9]等领域。经过多年的研究，有关复杂跳跃系统的成果被相继报道。鉴于此，从复杂跳跃系统的建模、分析与控制综合三方面综述近年的研究成果，并指出复杂跳跃系统在非线性以及网络化方面面临的挑战。

1 复杂跳跃系统模型

1.1 连续时间复杂跳跃系统模型

连续时间复杂跳跃系统的一般表达式如下：

其中：x(t) ∈Rnx，为系统状态向量；u(t) ∈Rnu，为控制输入；ω(t) ∈Rnω，为外部扰动；y(t) ∈Rny，为系统输出向量。跳跃过程{r(t),t≥0} 是一个连续时间、离散状态的随机跳跃过程。依据随机跳跃过程属于不同的数学模型，连续时间复杂跳跃系统有不同的形式，通常考虑的是马尔科夫过程和半马尔科夫过程。

1) 随机过程{r(t),t≥0} 是一个连续时间、离散状态的齐次马尔科夫过程，且在一个有限的集合Γ≜{1 ,2,…,N} 内取值，各模态之间的跳跃服从如下所示的模态转移速率。

2)跳跃过程{r(t),t≥0} 是一个连续时间、离散状态的齐次半马尔科夫过程，且取值在一个有限的集合Γ≜{1 ,2,…,N} ，各模态之间的跳跃服从如下所示的模态转移速率。

一般地，当跳跃过程{r(t),t≥0}是马尔科夫过程，这类系统称为马尔科夫跳跃系统；当跳跃过程r(t)是半马尔科夫过程，这类系统称为半马尔科夫跳跃系统。

1.2 离散时间复杂跳跃系统模型

离散时间复杂跳跃系统的建模、控制以及滤波与连续时间复杂跳跃系统处理的方式相似，但也存在概念和模型上的区别。离散时间复杂跳跃系统的一般表达式如下：

其中：x(k) ∈Rnx，为状态向量；u(k) ∈Rnu，为控制输入；ω(k) ∈Rnω，为外部扰动；y(k) ∈Rny，为系统输出向量。跳跃过程{ }r(k),k≥0 是一个随机跳跃过程。依据随机跳跃过程属于不同的数学模型，离散时间复杂跳跃系统有不同的形式，通常考虑的是离散时间马尔科夫过程和离散时间半马尔科夫过程。离散时间马尔科夫过程对模态之间互相跳跃的转移率称为转移概率而不是转移速率，且转移概率矩阵中的元素行和为1[10]。

1)离散齐次马尔科夫过程。跳跃过程{r(k),k≥0} 取值在一个有限的集合Γ≜{1 ,2,…,N} ，各模态之间的跳跃服从模态转移概率Pr(rk+1=j|rk=i) =πij。其中πij≥0，表示系统从上一个模态i跳跃到模态j的概率。此外，转移概率满足关系式∑j∈Γπij= 1,∀i∈Γ。进一步将转移概率写成矩阵形式Π=[πij]。

2)离散半马尔科夫过程需要很多定义，鉴于论文篇幅所限，在此省略，具体参阅文献[11]。

2 复杂跳跃系统的稳定性与镇定问题

稳定性是控制系统正常运行的基础，复杂跳跃系统通常涉及到的稳定性有渐近均方稳定、指数均方稳定、随机稳定和几乎渐近稳定4种。前3种稳定性相互等价，且均确保第4种稳定，其证明可参阅文献[12]。

2.1 连续时间复杂跳跃系统

转移速率信息是否完备对连续时间复杂跳跃系统稳定性的判断有一定的影响。研究初期，均假设复杂跳跃系统的跳跃模态及模态之间转移速率是完全已知的，且产生了许多有关复杂跳跃系统综合问题的优秀成果。Xiao 等[13]通过模态量化状态反馈方法解决了单输入马尔科夫跳跃线性系统的镇定问题，在给定量化粗糙度测量的情况下，采用模态相关的对数量化器和线性状态反馈律实现了马尔科夫跳跃线性系统均方二次稳定的最优粗糙度；Zhang 等[14]研究了一类不确定奇异马尔科夫跳跃系统的鲁棒有限时间稳定问题，给出了相应的随机有限时间有界性的充分条件，并将其简化为凸优化的可解性问题；Wu 等[15]利用时滞划分方法及两个模态相关、双重积分项的新李雅普诺夫泛函，导出了考虑系统的两个时滞相关无源性条件，并给出了相关随机稳定性准则；Lin 等[16]基于强随机无源性理论，研究了互联非线性随机马尔科夫跳跃系统的反馈等价问题和全局稳定问题。

但是，在很多实际情况下(如因地理位置受限，无法直接对设备进行测量或设备本身存在不确定性而无法获得具体数据等)无法满足转移速率完全已知的条件。因此，对马尔科夫跳跃系统的建模进行扩展，进一步研究转移速率部分未知甚至完全未知的情形，具体描述如下：

式 中? 表 示 未 知 的 转 移 速 率。 为 了 简 化，一 般 定 义 集 合Ui=∪∀i∈Γ。 其 中，≜{j|对于j∈Γ,λij是已知的}，≜{j|对于j∈Γ,λij是未知的}。 此 外，若≠∅，则 可 进 一 步 描 述≜{,,…,} ，其中m为非负整数，满足1 ≤m≤N且∈Z+，1 ≤≤N,j= 1,2,…,m，表示集合为转移速率矩阵第i行中的第j个已知元素。若= ∅，则表示转移速率完全未知的情形。

Zhang等[17]利用自由权矩阵方法，得到了具有部分未知或完全未知转移速率的马尔科夫跳跃系统的稳定性判据，讨论了具有转移速率部分已知的马尔科夫跳跃线性系统的稳定性问题，优点是所提决策变量较少。Wang等[18]解决了部分未知转移速率和执行器饱和条件下，马尔科夫跳跃系统的随机稳定问题及部分已知转移速率的连续马尔科夫跳跃线性系统的稳定和综合问题。

上述结果中连续马尔科夫跳跃系统对转移速率的要求有一定约束，即其模态在相互跳跃过程中的转移速率是时不变的，如果转移速率是时变的，结果将不再适用。为此，进一步考虑转移速率时变的情况，此时的马尔科夫跳跃系统变为非齐次马尔科夫跳跃系统。Ding等[19]研究了连续时间非齐次马尔科夫跳跃系统的稳定性问题；Yin等[20]进一步研究了积分非齐次马尔科夫跳跃系统的随机稳定性问题；Ren等[21]引入状态和输入的时滞，解决了该类系统的稳定与控制问题。文献[19-21]均是基于凸多面体结构描述连续时间非齐次马尔科夫跳跃系统的时变转移速率。

此外，连续马尔科夫跳跃系统模态在相互跳跃过程中的驻留时间服从指数分布，这一限制的约束性较强。实际上，由于外部环境干扰及系统设备本身的老化、故障等因素，系统模态在相互跳跃过程中的驻留时间可能服从其他分布，此时马尔科夫跳跃系统无法满足建模要求。为克服这一问题，探索建立一个新的数学模型，即半马尔科夫跳跃模型，其转移速率如式(3)。起初假设一个时变量存在已知的上下界，Huang 等[22]为降低稳定条件的保守性，提出加入转移速率的上下界，并应用一种新的划分方案；Wang等[23]基于时变转移概率的下界、上界和奇异值分解方法，提出一个随机稳定条件；Yang 等[24]提出采用一种时变增益调度方法来解决一类半马尔科夫跳跃线性系统的时变增益调度问题，构造了更一般的李雅普诺夫函数，该函数不仅依赖于系统模态，还依赖于当前系统模式中的驻留时间，这种方法可将普通时不变李雅普诺夫函数作为特殊情况。

但已知转移速率上下界的处理方式仍具一定的保守性。对此学者们提出了一种驻留时间服从威布尔分布的半马尔科夫模型，该模型进一步降低了保守性，不再需要已知转移速率的上下界信息。Zhang 等[25]假设转移速率随已知边界而时变，驻留时间在半马尔科夫过程中服从威布尔分布，将传统的非线性约束如单边、单边约束等推广到增量二次约束；Wang等[26]探讨了切换信号受非指数分布的半马尔科夫过程控制的随机系统均方稳定性问题；Qi等[27]针对具有时变时滞的连续时间正模糊半马尔科夫跳跃系统，分析了随机稳定性和增益问题，考虑的系统涉及与威布尔分布相关的半马尔科夫随机过程，模糊半马尔科夫跳跃正系统描述的Lotka-Volterra种群模型等系统需考虑运行过程中的突然变化，为此建立了一个与时变延迟上界有关的随机稳定性的充分判据。

在一些实际工程应用中，系统的模态并不可以直接被获取。为克服这一难题，研究者们从观察者的角度刻画这一现象并建立了隐马尔科夫跳跃模型。Xiao等[28]考虑了在连续时间下同时包含隐藏状态和观测状态的隐马尔科夫跳跃系统，通过构造合适的李雅普诺夫泛函，得到了保证目标系统随机有限时间稳定的充分条件；Wang等[29]解决了同时具有两个切换信号的分段齐次马尔科夫链的正马尔科夫跳跃系统的均方稳定问题；谢雨飞等[30]在隐马尔科夫模型和无线通信子系统的基础上，讨论了具有随机和间歇性故障的诊断方法，给出了参数训练和故障诊断算法；王亚婷等[31]讨论了一种基于隐马尔科夫模型、多层次残差的分布式拒绝服务攻击检测方法，可用相关公式提取分布式拒绝服务攻击的可观测和隐式参数，排列隐含状态和观测状态转移概率矩阵，通过计算和分析分布式拒绝服务攻击因子来判断多级残差网络中是否存在分布式拒绝服务攻击。

2.2 离散时间复杂跳跃系统

离散时间复杂跳跃系统对转移概率部分已知或完全未知的处理和连续时间复杂跳跃系统类似，在假设转移概率完全已知和确定的情况下，离散时间复杂跳跃系统的综合问题得到广泛研究。Fan等[32]考虑到系统同时具有混合延迟和随机扰动，通过构造与跳跃信号相关的新李雅普诺夫函数，分析了具有部分不稳定子系统的离散时间马尔科夫跳跃神经网络均方指数稳定性问题。基于时滞划分方法，Wu等[33]解决了具有时变时滞和分段常数跃迁概率的离散奇异马尔科夫跳跃系统的随机稳定性分析问题，对考虑的系统建立了时滞相关稳定性判据，给定的结果不仅取决于时变延迟，还取决于延迟分区的数量。Lee 等[34]通过构造与有限路径相关的李雅普诺夫函数，研究了不确定离散时间马尔科夫跳跃线性系统的一致稳定性和镇定问题。基于积分型随机李雅普诺夫函数方法，Wang等[35]求解了一类不确定马尔科夫线性双曲型偏微分方程系统的随机指数稳定性问题。

然而，准确获取所有转移概率是相当困难的。为此，学者们进一步对离散时间马尔科夫跳跃系统的建模进行扩展，研究转移概率部分未知甚至完全未知的情形。Ma等[36]讨论了时变时滞离散时间奇异马尔科夫跳跃系统的随机稳定性和镇定问题，在充分了解转移概率情况下，给出了系统正则、因果和随机稳定的时滞相关条件；Liu 等[37]在考虑转移概率不确定情况下，研究了具有马尔科夫跳跃和乘性噪声的随机线性系统的滤波问题，给出了滤波误差系统是随机稳定且满足H∞性能的充分条件；Shen 等[38]研究了部分已知转移概率的离散马尔科夫跳跃系统的有限时间稳定问题，考虑的系统是已知上界不确定和完全未知的。

上述研究的离散马尔科夫跳跃系统要求模态在跳跃过程中转移概率是时不变的，但如果转移概率是时变的，会导致模型在许多实际场景中不适用。为此，进一步考虑转移概率是时变的情况，此时的马尔科夫跳跃系统为非齐次马尔科夫跳跃系统。Wang等[39]研究了具有时滞的非齐次马尔科夫跳跃系统的稳定性问题，考虑的系统是在离散时域中，因此转移概率的非齐次性被认为是有限分段齐次的。

另一方面，由于限制离散马尔科夫跳跃系统模态在相互跳跃过程中的驻留时间是服从几何分布的，导致模型许多实际场景不适用。为此，提出了离散时间半马尔科夫跳跃模型。对于离散时间半马尔科夫模型，驻留时间并不局限于无记忆分布，系统在某一时刻的跳转不仅取决于下一时刻跳转的模态信息，也取决于先前经历模态的信息。故半马尔科夫过程建模随机跳跃系统的能力比马尔科夫的强，且能更准确地描述系统的跳跃动力学。学者们对离散时间半马尔科夫系统的研究兴趣激增，在具有半马尔科夫跃迁参数的复杂跳跃系统稳定性和镇定研究方面取得了重要成果。基于Takagi-Sugeno(T-S)模型，Zhang 等[40]在文献[15]的基础上将得到的理论结果进一步推广到非线性情况。考虑到镇定控制器模态与系统可能存在延时，Ning 等[41]在控制器模式切换存在时滞情况下，讨论了离散半马尔科夫跳跃系统的稳定性与镇定控制器设计。考虑到概率质量函数的不同，Zhang 等[42]在驻留时间的指数调制周期分布情况下，研究了离散半马尔科夫跳跃系统的稳定性与镇定控制器设计。上述结果多基于离散半马尔科夫系统驻留时间具有上界的前提，然而在一些用离散半马尔科夫系统描述的实际系统中，驻留时间不仅存在上界，还存在下界。Ning等[43]给出了该情况下相应的稳定性分析和镇定控制器设计方法；Wang等[44]进一步分析了一类离散时间半马尔科夫跳跃线性系统的稳定性综合问题，并给出了这类系统驻留时间无界的充分稳定条件，通过将切换过程驻留时间截断为有界，得到了具有部分未知半马尔科夫核闭环系统的稳定控制器的存在条件。

由于难以获得驻留时间或模态跃迁的准确统计信息，只有部分半马尔科夫信息的情况下，Shen等[45]研究了具有离散半马尔科夫跳跃奇异摄动系统的镇定问题，分析了半马尔科夫跳跃序列的李雅普诺夫函数的变化趋势，首次建立了离散时间半马尔科夫跳跃系统的均方指数稳定性判据。Ning 等[46]利用半马核方法解决了具有驻留时间上界的离散半马尔科夫跳跃系统的随机稳定性与镇定问题，其中半马核元素的底层系统被认为是部分已知的，比半马尔科夫跳跃系统完全可用的情形更具一般性。基于T-S模糊模型，Ning等[47]将文献[46]的结果进一步推广到离散非线性半马尔科夫跳跃系统。

3 复杂跳跃系统的鲁棒控制问题

马尔科夫跳跃系统在经济、飞行控制和机器人等领域有较强的应用背景，前期的成果主要集中在马尔科夫跳跃系统的稳定性和镇定[48]、二次最优控制[49]和鲁棒控制[50]等方面，研究方法主要是基于Riccati方程。随着控制理论与数学学科的发展，矩阵不等式技术成为研究控制问题的有力工具，使得马尔科夫跳跃系统的鲁棒控制、模型降阶、受限控制和时滞等问题得到深入研究。

3.1 连续时间复杂跳跃系统

对于连续时间复杂跳跃系统控制问题，同样需要考虑系统转移速率是否完全已知，一般包含完全已知、部分未知和一般化的转移速率；还要考虑系统模态信息能否获取，并用于控制器设计。从模态信息是否可获取的角度，设计的控制器为模态依赖与模态独立的控制器。

Zhang等[51]提出了一种基于新型转移概率的模态无关保成本控制方法，建立了相应控制器存在的充分条件。Shen 等[52]讨论了T-S 模糊马尔科夫跳跃系统的有限时间事件触发H∞控制问题，建立了一个充分考虑异步前提的闭环模糊马尔科夫跳跃系统有限时间有界H∞性能分析的充分条件。Tao等[53]为描述系统与控制器之间传输不完全的现象，采用一种模态相关的随机测量衰落模型，通过引入两个相互独立且依赖于模态的衰落信道系数，准确描述由系统模态变化引起的通信工作负载波动；为实现控制器的可靠性，引入一个附加矩阵，并利用不等式技术求解设计控制器的增益。鲁棒控制性能被用来分析系统的稳定性已得到广泛应用，但寻求最优解的研究也在逐步开展，如刘越等[54]阐述了线性马尔科夫跳跃系统最优控制的研究现状与进展。

滑模控制是一系列变结构控制，对系统参数的变化和外部扰动不敏感，特别是对非线性系统的控制具有鲁棒性。在复杂跳跃系统存在非线性元素时多使用滑模技术，故学者们陆续提出了有关复杂跳跃系统的滑模控制方法。Zhu等[55]利用凸优化方法，结合多步状态转移概率，推导了在控制力可能不足以保证完全渐近稳定性情况下的到达概率和滑动概率；Li等[56]设计了具有执行器故障的马尔科夫跳跃非线性系统的自适应滑模控制器，设计的控制器可在有限时间内将系统的状态轨迹驱动到滑模面，并能在线估计执行器故障、非线性项边界和外部扰动的有效性损失；Cao等[57]采用滑模控制方法设计滑模控制器，在所有控制信道都可能发生执行器故障和不匹配的外部干扰情况下，使状态轨迹在指定的有限时间间隔内被驱动到滑模面。

综上，作为一个关键因素，马尔科夫跳跃过程中的所有转移率被认为是完全已知的。尽管部分学者采用线性系统鲁棒控制方法研究转移速率矩阵存在多胞或范数有界型不确定性，但这种类型的不确定性仍要求转移速率矩阵中每个元素都有可用信息。对于物理系统，转移速率的获取通常通过实验测量得到，由于测量条件的制约，转移速率矩阵会出现某些元素在一定范围内变化和无法被测量的现象，致使不能直接使用基于转移速率为完全已知的方法研究系统的稳定性、控制、滤波和跟踪等问题。为克服上述不足，Yao等[58]解决了部分转移速率未知的状态延迟马尔科夫跳跃系统H∞控制问题；Zheng等[59]基于滑模控制方法，研究了一类具有部分未知转移速率的连续时间马尔科夫跳跃线性不确定系统的鲁棒稳定问题；Park 等[60]给出了部分未知转移速率和输入饱和的马尔科夫跳跃模糊系统低保守性的控制条件，在充分考虑模糊权值性质的情况下，将所有可能的松弛变量纳入放缩过程中，推导出了较不保守的稳定条件。

上述研究大多假定系统模态的所有信息可直接获取，这种假设在实际网络环境中并不总是满足的。为此，连续时间隐马尔科夫跳跃系统的控制问题近年也得到大量关注。Wang等[61]设计一种异步事件触发的滑模控制律，以保证得到的闭环系统轨迹能够在有限时间间隔内被强制到预定义的滑模面；Ren 等[62]利用T-S模糊模型方法研究了连续时间正隐马尔科夫跳跃系统的有限时间异步控制问题；Han 等[63]研究了连续随机马尔科夫跳跃系统基于耗散的异步边界控制问题，考虑到系统模态与控制器模态之间的非同步行为，引入一种更一般不完全观测概率矩阵和一般未知转移速率矩阵的隐马尔科夫模型，其中未知转移速率矩阵包含不确定性，将此研究推广到空间域，使系统的状态变化不仅和时间有关也和空间有关。

上述传统的连续隐马尔科夫模型一般包含系统模态间的跳跃概率及探测器间的检测概率。Stadtmann等[64]突破传统隐马尔科夫模型的约束，提出了一种创新型的隐马尔科夫模型，该模型包含3 种概率，即系统模态之间的跳跃概率、探测器对系统模态的检测概率以及探测器模态之间的跳跃概率。与文献[63]相比，探测器模态之间跳跃概率的引入使探测器探测到的模态包含完整信息，在没有信息的情况下使获得的结果更具通用性。对于创新型的隐马尔科夫模型，用基于探测器的控制方法来保证系统的H2性能。

3.2 离散时间复杂跳跃系统

为保证系统具有良好的抗模型不确定或外部干扰的性能，鲁棒控制问题被关注。Hu等[65]提出了不确定采样数据马尔科夫跳跃系统的鲁棒控制解决方案；Zhang等[66]研究了一类离散时间马尔科夫跳跃系统基于耗散异步控制问题；Liu等[67]通过最优输出反馈控制方法设计了具有丢包和输入延迟的多参数混合负载均衡系统的控制器；魏雪雪等[68]针对一类带有时滞和噪声的离散时间马尔科夫跳跃系统，研究基于观测器的有限时间H∞控制问题，给出有限时间H∞有界的定义，设计基于观测器的有限时间H∞控制器，使所得闭环误差系统是有限时间有界的，且满足规定的干扰衰减水平。

综上，作为关键因素，马尔科夫跳跃过程中的所有转移率被认为是完全已知的。然而实际应用中，很难获得转移概率的确切值，认为不确定的转移概率是在一个没有精确知识的可能区间给出的。Costa等[69]求解转移概率不确定且考虑状态和控制变量约束的离散时间马尔科夫跳跃系统的二次最优控制问题；Li等[70]讨论了部分已知转移概率下，具有时滞和两个马尔科夫链的离散时间马尔科夫跳跃系统状态反馈控制器的设计。另一种建模不确定转移速率或转移概率的方法是范数有界描述，Karan等[71]利用随机李雅普诺夫函数方法和Kronecker 积变换技术导出了连续和离散时间马尔科夫跳跃系统的充分条件集。与转移概率中假定的多面体或范数有界的不确定性不同的研究包括文献[72]中高斯跃迁概率密度函数量化转移概率的不确定性信息。

当转移概率是时变的，对应的离散马尔科夫系统则为非齐次的。目前离散非齐次马尔科夫系统主要有3 种处理方法：将时变转移概率用凸多孢来描述；考虑时变的转移概率是周期变化的；考虑分段齐次的转移概率。Yin等[73]用凸多孢来描述时变转移概率，研究了离散非齐次马尔科夫系统的控制问题；Zhang等[74]研究了一类转移概率是周期变化的马尔科夫跳跃系统的非脆弱H∞控制问题；Dong等[75]研究了一类分段齐次转移概率的离散时间非齐次马尔科夫跳跃非线性系统的扩展耗散滑模控制。

另一方面，现有成果多集中于马尔科夫跳跃系统线性动力学的控制设计方面。T-S 模糊模型因具有强大的逼近能力而被广泛用于处理非线性问题，该模型由一组IF-THEN 规则组成，描述一组线性子系统的输入输出关系，线性子系统通过隶属函数进行加权[76]。在假设转移概率完全已知和确定的情况下，T-S模糊马尔科夫跳跃系统得到广泛应用。Wu等[77]利用模糊控制方法研究了不确定离散时间马尔科夫跳跃非线性系统的鲁棒镇定问题，提出了一种改进的线性矩阵不等式，以缓解微分过程中随机李雅普诺夫矩阵与包含控制器变量系统矩阵间的相互关系；Shen 等[78]研究了T-S 模糊离散时间马尔科夫跳跃系统的有限时间事件触发H∞控制问题。

针对离散时间马尔科夫跳跃系统的模态信息无法获取，Costa 等[79]提出了基于探测器的方法，其主要思想是尽管系统模态信息无法直接获取，但利用探测器估计的状态设计控制器。这种基于隐马尔科夫模型的控制器设计方法不仅有自身的转移概率信息，还需观测概率信息。正如前面提到的，马尔科夫跳跃系统可能无法获取转移概率信息，同理观测概率信息也可能无法完全获取。因此，基于隐马尔科夫模型的控制器设计方法需考虑转移概率信息部分未知及观测概率部分未知的情况。Song 等[80]考虑部分未知的观测概率情况，研究了一类具有时变时滞和随机扰动的不确定马尔科夫跳跃系统的异步滑模控制问题。为了一般化，Li等[81-82]考虑转移概率信息部分未知及观测概率部分未知的情况，基于T-S模糊模型将所得的结果推广到非线性系统。

考虑到离散半马尔科夫跳跃系统中转移概率可能未知，Shen 等[83]研究了具有不完全半马核信息和执行器故障的半马尔科夫跳跃非线性系统的容错模糊控制问题。针对离散半马尔科夫跳跃系统中系统模态信息可能未知，Li 等[84]考虑了未知概率信息情况。基于T-S 模糊模型，Cai 等[85]考虑了非线性离散隐半马尔科夫跳跃系统的控制问题，将得到的结果推广到具有不完全半马核信息情况。

4 复杂跳跃系统的滤波和状态估计问题

状态反馈是现代控制系统中最常用的控制策略之一。实际应用中系统的状态很难直接测量，加之系统会受到外部扰动或环境噪声的干扰，直接获取系统状态更困难，为此引入状态滤波和估计。状态滤波是通过测量系统的输入和输出来估计系统的状态，常用的滤波方法有Kalman滤波、线性最小均方差滤波和H∞滤波等。Kalman滤波器的设计需精确已知系统模型且噪声输入为严格高斯过程[86]，应用局限性大。实际应用中当噪声为非高斯过程时，较多关注H∞滤波、无源性滤波、能量-峰值(L2-L∞)滤波、耗散滤波等的设计。目前为止，复杂跳跃系统在滤波问题上取得了重要进展。复杂跳跃系统的滤波器/状态估计器从结构看主要为与模态相关和模态无关的滤波器。模态相关的滤波器能完全获取系统工作模态信息，能保证滤波器与系统的工作模态一致；模态无关的滤波器/状态估计器只有单一的工作模态，与系统工作模态无关。

4.1 连续时间复杂跳跃系统

Shen 等[87]提出了理想可靠的滤波器设计方法，通过使用期望滤波器的简单表达式计算滤波器的参数；Wu 等[88]考虑了具有时滞的奇异马尔科夫跳跃系统的H∞滤波问题，在有界实引理和马尔科夫过程跳跃率部分已知的情况下，给出了保证模态无关滤波器存在的充分条件；Liu 等[89]针对马尔科夫跳跃线性系统因无法获取模态信息而无法滤波的问题，设计了一种独立于模态信息的滤波器；颜秋林等[90]研究了带有时滞的广义马尔科夫跳跃系统的H∞滤波问题，其中时滞依赖有界实引理。陈淼等[91]针对一类具有马尔科夫跳跃参数的Ito 类型不确定随机时滞系统，讨论鲁棒非脆弱滤波器的设计，在被控对象及滤波器同时存在不确定性的情况下，使闭环滤波误差系统的鲁棒随机指数均方稳定，且干扰抑制性能指标小于给定上界。

当系统模态信息完全无法获取时，模态无关滤波器非常有用，但由于其忽略所有可用的模态信息，存在一定的保守性。为此，Fang等[92]用隐马尔科夫跳跃原理表示目标系统与滤波器之间的异步情况；Ren等[93]讨论了一类具有不完全转移速率的马尔科夫跳跃非线性系统的有限时间异步滤波问题。另一方面，影响网络化控制系统稳定性的一个主要因素是数据包在信道传输过程中存在时延。Liu 等[94]研究了网络化控制系统中存在传输和网络诱导时延等通信缺陷的稳定性问题，提出一种基于记忆的混合系统，由己知公式计算得到最大允许传输时延，依靠具有记忆的混合系统李雅普诺夫泛函方法进行稳定性分析，获得相应的稳定性条件。基于马尔科夫跳跃系统的特点，模拟网络化控制系统中出现随机时延、数据丢失等情况进行滤波估计引起广泛关注，Zhang等[95]研究了一类转移概率部分未知的离散时间马尔科夫跳跃线性系统H∞滤波问题，利用线性矩阵不等式推导得到滤波误差系统随机稳定且有界的实引理，数值示例证明其方法有效可行。

制药、发酵、石油化工等领域普遍缺乏在线传感器。因此，状态估计是控制学科中的一个重要研究课题。Xia 等[96]利用T-S 模糊模型，研究了一类非线性半马尔科夫跳跃系统的扩展耗散估计问题，提出了保证估计误差系统的渐近稳定性和扩展耗散性质的充分条件；Li等[97]研究了一类具有利普希茨型非线性和转移速率不确定或未知情况下的非线性马尔科夫跳跃系统的故障估计问题；Zha等[98]研究了受网络攻击的事件触发非线性马尔科夫跳跃系统的有限时间H∞异步状态估计问题，提出采用一种自适应事件触发方案来应对网络资源的容量约束，建立了一种新的状态估计误差系统模型。

4.2 离散时间复杂跳跃系统

离散时间马尔科夫跳跃系统的滤波问题也受到广泛关注，Kalman滤波、基于交互多模型算法的滤波、线性最小均方误差估计等滤波方法应用较多。考虑到系统中驱动的附加噪声统计量可能不准确，且这也是一种常见情况，H∞滤波因滤波理论背景强大而被大量关注。在离散时间域，Seiler 等[99]从二阶矩稳定性角度推导了马尔科夫跳跃系统H∞滤波的充要条件；Hua 等[100]基于模糊规则相关的李雅普诺夫函数，采用模式相关的对数量化器，得到保证滤波误差系统随机稳定且具有给定的H∞或l2-l∞性能指标的充分条件，解决了离散时间T-S 模糊非齐次马尔科夫跳跃系统的H∞滤波和l2-l∞滤波问题；Cheng 等[101]解决了一类具有平均驻留时间切换、时变转移概率、离散时间的马尔科夫跳跃系统有限时间估计问题，建立了保证马尔科夫跳跃系统具有有限时间有界的充分条件和滤波有限时间有界性。

若模态跳跃信息不可用，则需采用与模态无关的滤波方法。Blackmore等[102]提出了主动估计方案，其中控制输入用来区分实际模态序列和可能的模态序列。在不确定转移概率方面，Yang等[103]研究了具有不确定跃迁概率的马尔科夫神经网络的事件触发问题，给出了估计误差系统均方指数极限有界的充分条件。当转移概率不确定时，对系统状态的估计更困难。Tugnait[104]提出了一种自适应状态估计的次优算法，其中极大似然估计方法被用于估计转移概率。

考虑到系统模态信息可能无法直接获取，Todorov 等[105]引入一种基于检测器的离散马尔科夫状态空间聚类，这种设置中，集群对应于可由单个检测器响应识别的状态集；除赋予控制器给定簇中马尔科夫状态之间的加权概念外，在给定发射概率的情况下，要求在不超过N步的时间内返回状态簇。基于隐马尔科夫模型，Li 等[106]研究了离散时间马尔科夫跳跃神经网络的H∞滤波问题，给出一种改进的神经元激活函数分割方法，其中系统模态不能直接获取，由隐马尔科夫模型提供估计的模态。在离散时间半马尔科夫跳跃系统方面，Cai等[107]基于隐半马尔科夫模型，提出了观测模态依赖的状态估计器设计方法。

5 结论与展望

目前，复杂跳跃系统主要研究对象有马尔科夫跳跃系统、半马尔科夫跳跃系统和隐马尔科夫跳跃系统，基于转移速率/概率是否时变，可将上述三类系统分为齐次的和非齐次。需要指出的是，相对于齐次复杂跳跃系统，非齐次复杂跳跃系统的控制综合与状态估计问题的研究成果较少。此外，复杂跳跃系统相关的控制和滤波/状态估计问题，主要考虑转移速率/概率的信息是否可知及系统模态信息是否可知两方面。尽管结果多种多样，但复杂跳跃系统在非线性以及网络化方面面临挑战，未来工作可从以下方面考虑。

1)复杂非线性跳跃系统的建模、分析与控制。已有学者对复杂非线性跳跃系统进行了研究，如采取1型T-S模型处理非线性复杂跳跃系统。然而，该种方法的建模需要完备的隶属度信息，存在一定的局限性。随着对T-S 模型研究的深入，区间2型的T-S 模型可以描述隶属度函数的不确定性，比1型T-S 模型更加一般。现有一些基于区间2型的T-S 模型来处理复杂非线性跳跃系统的研究成果，但还有待进一步完备。此外，现有的复杂非线性跳跃系统的研究多集中于非线性马尔科夫跳跃系统，在非线性半马尔科夫跳跃系统、非线性隐马尔科夫跳跃系统等种类复杂非线性跳跃系统的研究并不多见。因此，如何处理复杂非线性跳跃系统的建模、分析与控制问题仍是重难点问题。

2)网络化复杂跳跃系统的分析与控制。随着信息物理系统和人工智能的发展，现代控制系统与网络通讯密不可分。目前网络化环境下复杂跳跃系统的研究主要集中于：考虑单一的网络诱导现象，如网络时滞、网络数据丢包等，在实际复杂网络环境中，网络诱导现象可能同时出现多种；网络安全没有得到充分考虑，分析数据安全问题的研究大多是使用Bernoulli随机过程来模拟随机的攻击，并考虑攻击概率完全已知的情况。然而，在没有大量数据支持下，攻击者的攻击概率是无法精确获取的，且大部分研究只考虑了单一网络攻击情况，没有延伸到更加复杂的网络攻击情况。通常在复杂网络环境下，系统受到的攻击可能不只来自单一类型的攻击，攻击者可能在条件允许的情况下，对系统实施复杂的混合攻击。因此，如何建立合适的数学模型描述复杂跳跃系统可能遭遇的多种网络攻击情况，解决其安全控制和滤波问题，也是复杂跳跃系统面临的颇具挑战性问题。

3)基于学习的复杂跳跃系统控制/滤波、安全控制/安全估计。随着工业互联网和人工智能技术的迅速发展，工业现场产生的大量在线、离线数据给复杂跳跃系统的控制与决策提供了新思路，即如何在保证设定的控制效果前提下放宽对模型结构和参数信息获取的要求。学习控制是较好的解决方案之一，是一种基于数据的前向学习控制方法，在执行-评价网络的框架下，通过在线或离线迭代学习实现控制器的更新，可一定程度上克服复杂跳跃系统建模困难的问题。目前，基于学习的控制研究已得到一定发展，但针对复杂跳跃系统基于学习的控制和滤波、系统安全控制与安全估计等问题的研究却不充分，值得进一步研究。