关燕鹏， 杜俊鹏， 要会娟

(1. 山西大学 自动化与软件学院， 山西 太原 030006； 2. 大连理工大学 控制科学与工程学院， 辽宁 大连 116024)

0 引 言

互联系统一般由多个耦合在一起的子系统组成. 近十多年来， 随着计算机、 通信、 控制技术的快速交融发展， 先进的信息技术、 通信技术极大地带动了包括网络化控制、 大型分布式控制、 信息物理融合等控制技术及相关领域的快速发展， 这使得在实际中产生了越来越多的互联系统[1].

但是， 在这些蓬勃发展的技术带来便利的同时， 由于大量通信网络的引入， 使得系统变得更加复杂， 对系统的分析与控制也带来了一些新的挑战， 其中包括互联大系统中的各子控制器之间的反馈通信拓扑的设计问题. 在具有复杂通信结构的大系统中， 如果在任意两个子控制器之间都建立通信连接， 显然可以实现整个系统最优的控制性能， 因为充足的系统信息可用于反馈控制. 但是， 这种思路在实际系统中是行不通的. 一方面， 在任意两个子控制器之间建立双向通信通道必然会产生大量不必要的冗余信息传输. 另一方面， 传输及计算成本也难以承受， 而且过多的信息传输也容易招致恶意网络攻击[2-3]. 因此， 如何确定利用哪些反馈信道来实现整个系统性能指标是设计互联系统面临的一个重要问题， 这实际上也是一个NP难的组合优化问题.

组合优化问题在许多场景如金融产品配置、 旅行商路线选择、 智能输配电等都有实际应用， 由于其具有非凸非线性特性， 历来没有获得全局最优的清晰解析解[4]. 对控制系统进行稀疏结构控制的一个很自然的思路是相比集中式控制牺牲一部分控制性能， 来达到减少所需反馈信道的数量[5]. 在已有研究结果中， 刻画数量约束的势约束一般近似转化为l1范数或加权l1范数， 然后用递推算法来逼近最优解[6-7]. 在此基础上， 特殊的矩阵行范数或列范数也被引入到控制系统中来设计带有零行或零列的反馈增益矩阵[8]. 最近， 一种基于混合整数规划的方法被应用于为事件触发网络化互联系统设计分布式结构控制器[9]， 这种方法由于对反馈增益矩阵中块矩阵的范数设定了上界而具有一定的保守性.

本文利用一种基于交替方向乘子法(ADMM)的方法来为互联系统设计具有稀疏结构的分布式状态反馈控制器， 其本质上是对分布式反馈控制增益和反馈通信拓扑结构的一种协同设计. 首先， 通过将促进稀疏度的函数加权引入到控制的目标函数中， 利用综合目标函数来平衡控制性能和反馈控制增益的稀疏度， 进而获得满意稀疏度的反馈控制增益矩阵. 其次， 在所求具有稀疏结构的反馈控制增益的基础上， 通过最优控制方法获得具有稀疏结构的分布式状态反馈控制增益. 最后， 将所提方法应用于一个互联分布式电力系统， 为该系统设计了具有稀疏结构的状态反馈控制器.

1 系统模型及问题描述

考虑由N个子系统组成的互联系统， 其每一个子系统的动力学模型为

式中：i=1,2,3,…,N；xi(t),ui(t),ωi(t)分别为第i个子系统的状态向量、 控制输入和外部干扰， 状态向量初始值给定为xi(0)=xi0；Ai，Gij，Bωi，Bui为给定常矩阵. 系统结构图如图 1 所示.

图1 互联系统结构示意图Fig.1 Layout of inter-connected systems

互联系统中， 子系统之间的耦合连接往往是由系统之间的物理特性决定的. 每个子系统均有一个控制器(可以是远程的)来计算应当施加到该子系统的控制输入. 各个控制器之间的通信可人为设置调节， 并假定各个控制器之间的通信拓扑是有向的. 一般地， 互联系统中控制器之间的通信拓扑是事先由网络工程师设计好的， 然后控制工程师在此基础上进行控制算法设计[10].

本文拟研究的这种互联系统的结构控制器设计本质上是控制器之间通信拓扑和控制算法的一种协同设计. 为此， 不失一般性， 采取形如下式的状态反馈控制律

(1)

式中：Kii，Kij为待设计的反馈控制增益.

从式(1)不难看出,Kij代表了控制器之间的一种加权信息传递或通信信道， 若Kij=0则意味着子控制器i无法从控制器j获取子系统j的状态信息来计算子系统i的最佳控制输入.因此， 增益矩阵Kij的零、 非零取值实际上决定了互联系统的反馈通信拓扑结构.

为了设计反映反馈通信拓扑结构的控制器， 写出整个互联系统的闭环数学模型

(2)

式中：

Bω=diag{Bω1,Bω2,…,BωN}.

接下来基于LQR方法， 拟设计一种受结构约束的最优状态反馈控制增益K. 引入一个性能函数来衡量系统整体控制性能， 最优的控制增益矩阵应该使得该控制性能函数最小. 选取如下典型控制性能函数J(K)

(3)

式中：Q和R为正定矩阵， 分别表示系统状态和控制输入的一种加权.

本文拟解决的问题是在对反馈增益矩阵K进行结构约束的情况下求解最小化J(K)的最优K， 即

minJ(K) withK∈S,

(4)

式中：S表示具有特定稀疏结构的K. 上述反馈增益矩阵K中若有零块矩阵， 意味着互联系统中某些控制器之间无需通信.K的结构确定了， 相当于互联系统的反馈通信拓扑结构也确定了.

注 1互联系统控制设计中子控制器之间信息交互构成的反馈通信拓扑一般是事先给定好的. 本文进行的结构控制器设计本质上是关于反馈通信拓扑和反馈控制增益的协同设计， 这是本文的一个特色和创新之处.

2 基于ADMM的结构控制设计

2.1 问题转化

在没有稀疏约束K∈S的情况下， 问题(4)可简化为一般的LQR设计， 进而通过解相应的黎卡提方程来求解. 为了获取具有稀疏结构的控制增益， 将问题(4)转化为

minJ(K)+γ*card(K),

(5)

式中： card(·)为势函数； card(K)表示矩阵K中非零块矩阵的个数；γ为一个常数加权项或稀疏惩罚因子，γ越大意味着最优解K中产生的零块矩阵数越多. 与式(4)相比， 式(5)通过利用矩阵势函数来代替稀疏结构约束， 并将之融入到控制优化问题的目标函数中， 以此来提高待求增益矩阵的稀疏度.

问题(5)由于含有矩阵势约束条件， 实际上是一个组合优化问题. 而在目前对这种问题的求解研究中， 大多是关于标量的， 常规做法是利用l1范数或加权l1范数来近似替代势函数. 本文用一种加权Frobenius范数来逼近式(5)中的矩阵势函数

(6)

式中：C(·)为一个促进产生零块矩阵的惩罚函数， 用于松弛问题(5)中的势函数； |·|表示矩阵的Frobenius范数

采用ADMM算法解最优问题需要在目标函数中引入一个约束条件， 为此， 引入一个替换矩阵Ω， 将问题(5)转化为

minJ(K)+γ*C(Ω), s.t.K-Ω=0.

(7)

2.2 ADMM算法

首先， 列出式(7)的增广拉格朗日函数

Lθ(λ)=J(K)+γC(Ω)+tr(λT(K-Ω))+

式中：λ为向量拉格朗日乘子；θ为一正数.

其次， 利用ADMM算法解问题(7)的主要思想是， 在寻找Lθ(λ)最优解的过程中， 通过将C(·) 和J(·)分离， 交替寻找最优. 为此， 引入如下迭代

(8)

(9)

λl+1∶=λl+θ(Kl+1-Ωl+1)

(10)

(11)

利用软阈值算法[11]可获得其最优解

其中，a=(γ/θ)Wij.

式(8)中的最小化问题可转化为

(12)

式中：Vl=Ωl-(1/2θ)λl. 利用准算法可知式(12)取最优解的条件为

∇ϑ(K)=∇J(K)+ρ(K-Vl)，

3 电力系统应用

本节将上述结构控制器设计方法应用于一个三机电力系统. 该系统由3个耦合在一起的子系统组成[13]. 每个子系统的数学模型为

Buiui(t),

β12=β13=-27.49，β21=β23=-23.10,

β31=β32=-23.10.

表 1 模型中的参数值Tab.1 Values of the parameters in the model

利用所提方法对该三机电力系统进行稀疏结构控制设计过程中发现， 随着加权因子γ的变大， 待设计的反馈控制增益K中的零块矩阵越来越多， 即K的稀疏度逐渐升高，K的非零块数量先从9变为8， 再减少到6， 如图 2 所示.若继续增大γ，K的势还会继续减少.在整个变化过程中， 3个子系统的控制器之间的信道数也相应减少， 用于整个系统反馈控制的信息也在减少.这样， 整个系统所能达到的控制性能会退化， 控制性能指标J(K)的值变得越来越大， 如图 3 所示.

图2 矩阵K的稀疏度变化图Fig.2 Card(K)with different γ

取定γ的值为6.57， 图 4 所示为所得反馈控制增益矩阵K的稀疏结构图.图中实心点表示该元素所在分块矩阵为非零矩阵， 可以看出， 矩阵中有3个全零块.利用所提算法， 可得矩阵K中的非零块矩阵的值为

K13，K21，K31为全零矩阵. 图 5～图 7 所示为对应3个子系统的状态响应曲线， 可以看出， 此时系统稳定.K13=K31=0意味着在保证系统性能的前提下， 子控制器1和子控制器3之间无需通信连接，K21=0意味着子控制器2无需从子控制器1获取子系统1的状态信息. 相比集中式控制， 这无疑会减少该互联电力系统中的信息传输和计算， 可有效减少资源的利用.

图4 γ=6.57时矩阵K的结构示意图Fig.4 The structure of matrix K with γ=6.57

图5 子系统1的状态响应Fig.5 State response of subsystem 1

图6 子系统2的状态响应Fig.6 State response of subsystem 2

图7 子系统3的状态响应Fig.7 State response of subsystem 3

在本实验中， 更大的γ值还可以使反馈控制增益矩阵中出现更多的零块.

4 结 论

本文为一类互联系统提出了一种具有稀疏结构的最优状态反馈控制器设计方法. 在控制设计中， 通过将矩阵势函数加权引入到控制目标函数中， 利用ADMM算法来促进反馈增益矩阵产生零块矩阵， 得到了带有稀疏结构的状态反馈控制器的设计方法. 其优点是在控制设计中统筹考虑了反馈通信拓扑结构， 在满足控制性能的基础上可有效减少不必要的通信连接. 最后将所提方法应用于一个互联多机电力系统中， 验证了方法的有效性和优越性.