杨华龙，辛禹辰，李志敏，王 征

(1.大连海事大学 交通运输工程学院，辽宁 大连 116026；2.大连海事大学 航运经济管理学院，辽宁 大连 116026)

0 引言

库存路径和定价问题(Inventory Routing and Pricing Problem, IRPP)是在供货商管理库存(Vendor Management Inventory, VMI)模式下，由库存路径决策和定价决策结合产生的一类供应链协调优化问题[1]。在IRPP优化中，库存路径决策和定价决策密切相关，一方面库存路径决策依赖于产品需求，其优化目标是供货商物流系统成本最小化；另一方面，定价决策又对产品需求产生影响，其优化目标是供货商的运营收入最大化[2]。由此可见，研究IRPP对提高供货商利润具有重要的现实意义。

国内外学者针对IRPP展开了许多有益的研究。ZACHARIADIS等[3]研究了需求确定下的一对多供应链系统，并设计启发式算法求解模型；MICHELI等[4]进一步研究了需求确定下的多对多网络配送系统的库存路径问题；CHENG等[5]研究了输出型配送网络，建立了同时考虑环境问题和异质车队的库存路径问题优化模型，并证明采用异质车队可以节约配送成本。然而在许多实际问题中，客户需求具有不确定性，因此需求不确定性下的库存路径决策问题得到学者的关注。BERTAZZI等[6]和YU等[7]用随机需求的均值代替实际需求，对问题进行了简化；赵达等[8]则根据随机需求的分布规律，提出修正固定分区策略下的随机需求库存路径问题最优策略及其算法。

上述研究虽然取得了许多重要的进展，但是均忽略了供货商定价决策对客户需求产生的影响[9-11]。LIU等[12]分析了供货商库存路径决策与定价决策的相互影响，指出同时对库存路径问题和定价问题进行协调决策明显优于单独决策，率先建立了IRPP模型，并设计了一种启发式求解算法；在此基础上，SAYARSHAD等[13]结合智能互联网时代背景下实时信息对决策的影响，建立了分时段的动态IRPP模型，以使包括考虑零售商等待成本、库存持有成本、失销成本和配送成本等在内的社会福利最大化；ETEBARI等[14]则进一步基于需求管理思想，考虑零售商区域和时间等因素的差异化定价策略，建立库存路径动态区域定价模型，以实现供应链利润最大化。

综上所述，IRPP的已有研究主要关注供货商的成本效益问题，但均局限于配送车辆数量足够的假设，忽视了车辆配送能力变化对供货商产品定价的影响。然而在许多实际问题中，车辆配送能力往往不能忽视，例如，受需求周期循环波动的影响，产品需求和配送存在高峰期[15]；受产品互斥因素的约束，多种危险品物资不能混装配送[16]；受产品属性的限制，一些特定产品需与特定车辆匹配完成配送[17]等。因此，实际配送中供货商常在需求出现波峰而自有车辆运力不足的情况下，利用租赁车辆完成配送任务，此时供货商定价决策便会受到车辆租赁成本的影响。鉴于此，本文针对需求周期循环波动大、供货商自有运力不足情景下的IRPP，研究构建考虑车辆租赁的IRPP模型，以期为VMI模式下的供货商运营决策提供有益的参考。

1 问题描述

考虑一个VMI模式下的供应链系统，一家供货商为区域内多家零售商进行多时段产品配送。受需求周期循环波动等因素的影响，产品需求可分为波谷和波峰两个时期。例如，在许多超市，顾客对食用油的需求有明显的周期循环波动的特征。这是由于通常工作日的周一至周四在家做饭相对较少，对食用油的需求处于波谷期；每个周五至周日，人们不但会有更多的烹饪需求，而且会更多地选择在此期间去超市购物，从而出现食用油需求的波峰期。不少配送企业在需求波峰期都存在运力不足的情况[15]，在产品需求处于波谷期的各个时段，供货商利用自有车辆为零售商配送产品；在波峰期的各个时段，则利用自有车辆和租赁车辆共同配送，车辆租赁的数量取决于每个时段产品的需求量。因为供货商租赁车辆的数量及其成本变化影响其产品的定价决策，定价决策又影响产品需求，进而影响库存和路径决策，最终影响到供货商的成本和收益，所以考虑车辆租赁的IRPP实质上便是，在需求周期循环波动的情形下，供货商通过分析自有车辆和租赁车辆不同的成本构成，建立产品定价与车辆租赁成本、产品需求与定价的函数关系，为了满足零售商的服务要求，供货商需要同时确定产品的最优价格、最优车辆配送计划、最优库存计划和最优车辆租赁数量，以实现其利润最大化。

为了便于求解问题，本文结合实际做以下假设：

(1)配送车辆是同质的。

(2)配送过程中的货物装卸时间相对于运输时间或配送时间足够小，因此不考虑装卸时间。

(3)零售商期初库存为零，且不允许缺货。

(4)零售商在一个时段内仅被配送一次，即零售商的需求不可分割。

(5)受配送距离及零售商时间窗约束，每台车辆每个时段仅能配送一次。

(6)车辆的起始点均为供货商处。

2 模型构建

2.1 符号表示

(1)集合

Δ={0,1,…,N}为配送网络节点集合，其中0为供货商，其余节点为零售商；

Θ为不考虑租车时的供货商配送车辆集合；

Ω={1,2,…,K}为考虑租车时的波谷期供货商自有配送车辆集合；

Φ为考虑租车时的波峰期供货商租赁配送车辆集合；

Γl={1,2,…,Tl}为波谷期时段序数的集合；

Γh={Tl+1,Tl+2,…,Tl+Th}为波峰期时段序数的集合，Tl+Th为时段总数。

(2)参数

Lij为节点i到节点j的距离；

W为车辆最大载重量；

Pmin为供货商产品定价下限；

G为每台自有车辆每时段的固定成本；

F为每台车辆的单位距离行驶成本；

E为租用每台配送车辆的固定费用；

Vi为零售商i的最大库存能力；

Hi为零售商i的单位存储成本。

(3)决策变量

qit为第t时段末零售商i的库存水平；

xijkt为0-1变量，若第t时段内车辆k从节点i到节点j则为1，否则为0；

yijkt为第t时段车辆k从节点i到节点j行驶过程中装载产品的数量；

zt为波峰期第t时段供货商租车的数量。

2.2 不考虑租车的IRPP模型

由于不同时段不同区域客户的产品需求价格函数存在差异，不失一般性，本文引入产品需求价格线性函数来估计不同客户在每个时间段的需求[12,18]：

在产品需求处于波谷期的各个时段，产品需求定价函数为

(1)

在产品需求处于波峰期的各个时段，产品需求定价函数为

(2)

根据上述分析构建VMI模式下不考虑车辆租赁(即假定供货商全部采用自有车辆进行配送，在波谷期会产生车辆闲置成本)的IRPP优化模型M1：

目标函数

(3)

s.t.

∀i∈Δ，k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(4)

∀i∈Δ，k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(5)

yijkt-Wxijkt≤0，

∀i,j∈Δ,i≠j，k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(6)

∀i∈Δ，k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

qit≤Vi，∀i∈Δ,i≠0,t∈Γl∪Γh；

(12)

qit≥0，∀i∈Δ,i≠0,t∈Γl∪Γh；

(13)

qiTl+Th=0，∀i∈Δ,i≠0；

(14)

yijkt≥0，

∀i,j∈Δ,i≠j,k∈Θ,t∈Γl∪Γh；

(15)

xijkt=0,1，

∀i,j∈Δ,i≠j,k∈Θ,t∈Γl∪Γh。

(16)

其中：目标函数式(3)表示供货商利润最大化，第1项为供货商在波谷期的收入，第2项为波峰期的收入，第3项为波谷期的配送车辆成本和库存成本，第4项为波峰期的配送车辆成本和库存成本；约束式(4)表示每辆车每个时段最多行驶一条路线；约束式(5)表示每个零售商同一时段只被服务一次，确保了车辆路径的连续性；约束式(6)表示两个节点之间每辆车的运输量小于等于车辆的容量；约束式(7)确保交货量必须为正；约束式(8)和式(9)分别表示波谷和波峰期每个零售商上个时段末库存加上本时段的配送量等于本时段的需求量加上本时段末库存；约束式(10)和式(11)分别表示波谷期和波峰期供货商的定价下限；约束式(12)表示每个零售商的库存容量限制；约束式(13)确保每个零售商不会出现短缺；约束式(14)表示期末各零售商处的库存为0；约束式(15)确保车辆装载量不为负；约束式(16)为0-1变量。

2.3 考虑租车的IRPP模型

在产品需求波峰期，与利用自有车辆配送相比，供货商租用车辆配送会导致配送成本增加。根据成本加成定价法，成本增加后，产品定价应等于成本增加前的定价加上成本的单位增加额[19]。因此，当供货商租用车辆配送时，其产品定价等于供货商不考虑租车配送时的产品定价加上租用车辆导致配送成本的单位增加额,即

∀i∈Δ,t∈Γh。

(17)

由此，构建VMI模式下考虑车辆租赁的IRPP优化模型M2：

目标函数

(18)

s.t.

约束式(10)，式(12)～式(14)，式(17)；

∀i∈Δ,k∈Ω∪Φ,t∈Γl∪Γh；

(19)

∀i∈Δ,k∈Ω∪Φ,t∈Γl∪Γh；

(20)

yijkt-Wxijkt≤0，∀i∈Δ，

k∈Ω∪Φ,t∈Γl∪Γh；

(21)

∀i∈Δ，k∈Ω∪Φ,t∈Γl∪Γh；

(22)

(23)

(24)

(25)

∀i∈Δ,i≠0,t∈Γh；

(26)

(27)

yijkt≥0，∀i,j∈Δ,i≠j，

k∈Ω∪Φ，t∈Γl∪Γh；

(28)

xijkt=0,1，∀i,j∈Δ,i≠j，

k∈Ω∪Φ，t∈Γl∪Γh。

(29)

2.4 模型分析与求解

k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(30)

xijkt≥0，

∀i,j∈Δ,i≠j，k∈Θ，t∈Γl∪Γh。

(31)

利用约束式(30)和式(31)替换式(16)，令目标函数和其他约束式不变，得到仅含有连续变量的转化模型M3：

目标函数 式(3)。

s.t.

式(4)～式(16)，式(30)，式(31)。

∀j∈Δ，k∈Θ；

(32)

∀j∈Δ，k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(33)

(34)

∀j∈Δ，k∈Θ；

(35)

k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(36)

i≠j，k∈Θ，t∈Γl∪Γh。

(37)

∀j∈Δ，k∈Θ；

(38)

k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(39)

(40)

∀j∈Δ，k∈Θ；

(41)

k∈Θ，t∈Γl∪Γh；

(42)

k∈Θ，t∈Γl∪Γh。

(43)

因此，求得目标函数在波谷期的海塞矩阵

(44)

目标函数在波峰期的海塞矩阵

(45)

定理2在模型M3中，所有约束式左边的函数均为凸函数。

证明因为在模型M3中，约束式(4)～式(16)和式(31)均为线性约束，所以上述约束式左边的函数均为凸函数。

由于模型M3的目标函数是求最大值，而且根据定理1和定理2，目标函数和所有约束式左边的函数均为凸函数，因此模型M3存在最优解，即模型M1存在最优解。

∀j∈Δ,k∈Ω∪Φ。

(46)

3 算法设计

IRP是NP-hard问题[22]，本文研究的IRPP为IRP的扩展，故其也是一个NP-hard问题。由定理1和定理2可知，对于小规模问题，可以利用ILOG CPLEX软件求解模型M1和模型M2，但对大规模IRPP而言，启发式算法已经成为求解该问题的主要方法[11]。为此，结合模型特征，本文设计改进的粒子群优化(Partical Swarm Optimization, PSO)算法对模型进行求解。

在设计PSO算法求解IRPP时，首先需要生成初始种群，即在IRPP的可行解空间随机初始化一群拥有位置、速度和适应度的粒子，适应度为IRPP中供货商的最大收益，本文采用速度-位置模型，数学表达式为：设搜索空间为D维，粒子总数为n，第i个粒子的位置为向量Xi=(xi1,xi2,…,xiD);第i个粒子变化历史中的最优位置为Pi=(pi1,pi2,…,piD)，其中第g个粒子的历史最优位置Pg在所有Pi=(i=1,2,…,n)中最优；第i个粒子的位置变化率为向量Vi=(vi1,vi2,…,viD)，每个粒子的位置按如下公式变化：

(47)

(48)

因为PSO算法存在精度低和收敛慢的缺陷，所以本文基于环形拓扑结构[23]对该算法进行以下改进：

(1)参照环形拓扑结构[24]，将粒子按编号顺序串联成闭环结构，将粒子的搜索方向从自身最优位置转变为其他粒子的个体最优位置，以提高找到最优解的概率。

(2)当粒子的搜索方向转变为其他粒子的个体最优位置时，对粒子i的个体最优位置Pid的每一维赋予一个随机信任度P，若P小于某一信任度阈值Pa，则对该维位置进行变异，若变异后的粒子位置Lid优于变异前的Pid，则用变异后的位置Lid替代变异前的Pid，即

(49)

式中P的下标m,n表示同一种群中随机抽取的其他粒子的编号；Pa表示信任度阈值，为0～1之间的数。

(3)为了增加算法优化收敛的平滑性，本文采用非线性递减策略设立惯性因子

(50)

式中：wmax为最大惯性因子；wmin为最小惯性因子；t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数。

本文改进的PSO算法的具体步骤如下：

步骤1设置参数。根据问题规模设置种群大小、PSO算法的最大迭代次数、环形拓扑结构的最大迭代次数、学习因子等参数。

步骤2初始化粒子群。首先确定搜索空间维度D、位置上下限Xmax和Xmin，以及速度上限Vmax，然后分别对每个粒子的位置向量Xi=(xi1,xi2,…,xiD)和速度向量Vi=(vi1,vi2,…,viD)进行初始化，产生n个粒子，形成种群规模为n的粒子群，使每个粒子分别对应IRPP的一个解。

步骤3设计适应度函数。本文算法将适应度函数f(X)设计为考虑车辆租赁下供货商的总收益，目标是求得具有最大适应度的粒子Xi=(xi1,xi2,…,xiD)。

步骤4选择个体极值与全局最优解。个体极值为每个粒子找到的历史上最优的位置信息，从这些个体历史最优解中找到一个全局最优解，并与历史最优解比较，选出最佳的作为当前历史最优解。

步骤5按照式(47)～式(49)更新每个粒子的速度和位置，形成新的种群进行迭代。

步骤6根据更新后新种群中的粒子适应度值更新个体极值和群体极值。

步骤7用终止条件判断PSO算法的迭代次数是否达到其最大迭代次数，是则终止算法，输出最优值,否则返回步骤4。

4 实例数值分析

4.1 实例数据

在VMI模式下，一家供货商为15个零售商提供某种食用油的库存和配送服务，产品每周为一个销售周期，其中周一至周四为产品需求波谷期，周五至周日为产品需求波峰期。供货商拥有3台自有车辆，供货商和零售商间的距离、车辆载重量、自有车辆固定成本、租用车辆成本和单位距离运输成本数据均取自文献[15]，零售商的最大库存能力为10 t，单位存储成本为200 元/t，每时段供货商的定价下限为7 500 元/t，产品需求波谷期零售商对产品的潜在需求量为5 t，波峰期零售商对产品的潜在需求量为10 t，需求函数斜率的绝对值为0.000 2。

4.2 计算结果

根据上述算例数据，令PSO算法的参数为：最大惯性因子wmax=1，最小惯性因子wmin=0.5；加速常数C1=C2=1；粒子数N=100；迭代次数从100～800，在Intel(R)Core(TM)i5-8250U，CPU@1.60 GHz 1.80 GHz，内存为8 GB的电脑上采用MATLAB R2016a分别运行100次取平均值。将本文算法得到的结果和CPLEX精确解结果进行对比，如表1所示。

表1 本文算法与CPLEX结果对比

由表1可见，利用CPLEX求解耗时为23 841 s(约6.62 h)，而本文算法在迭代次数为100时可在56 s内得到供货商利润为4 245 128元的满意解，迭代次数为600时可在134 s内得到供货商利润为4 247 602元的较高满意解(其不再随迭代次数增加而提高)，而且该满意解与CPLEX算法得到供货商利润为4 253 628元的最优解的误差仅为0.14%。

进一步将本文改进PSO算法(算法1)与传统PSO算法(算法2)和设定运行时间条件下的CPLEX近似解(算法3)进行比较，结果如表2所示。

表2 算法结果对比

由表2可见，在相同迭代次数(600次)下，本文算法下的供货商利润高于传统PSO算法下的求解结果，而且求解时间大大缩短；在相同求解时间(134 s)内，本文算法下的供货商利润优于CPLEX近似解结果。上述结果充分验证了本文算法的有效性。

为验证本文改进PSO算法可以跳出传统PSO算法容易陷入局部最优和收敛不平滑的缺陷，将传统PSO算法和改进PSO算法迭代图进行对比，如图1所示。

由图1可见，传统PSO算法收敛速度慢，容易陷入局部最优，而且求解质量较差；本文改进的PSO算法能够有效引导算法跳出局部最优，其收敛更加平滑，而且能够快速找到质量更高的解。

将本文考虑车辆租赁的IRPP模型M2与不考虑车辆租赁的IRPP模型M1和供货商全部采取租赁车辆进行配送的IRPP模型M4(将本文模型M2目标函数中的每台自有车辆每时段固定成本参数G替换为每台租赁车辆每时段固定成本参数E，则M2便转换为模型M4)进行对比，结果如表3所示。

表3 是否考虑车辆租赁的IRPP优化结果

由表3可见，在不考虑车辆租赁时(模型M1)，供货商为满足需求波峰期的配送要求，需要7辆自有配送车辆，而在产品需求波谷期，每时段用3辆自有车辆配送，另外4辆闲置，导致决策期内供货商车辆的总成本较高。在全部租赁车辆时(模型M4)，虽然在波谷期避免了车辆闲置的固定成本，但是在产品需求波峰期，由于全部由租赁车辆配送，且租赁成本大于自有车辆的固定成本，导致波峰期租赁车辆的成本较高，进而增加了配送总成本。而考虑车辆租赁时(模型M2)，在波谷期用自有的3台车辆配送，能够避免自有车辆闲置而产生的固定成本，在波峰期采用自有车辆和租赁车辆混合配送，能够降低租赁车辆的成本，最终减少了决策期内的配送总成本。因此，本文考虑车辆租赁的IRPP模型可以有效降低车辆配送成本，提高供货商收益。

在IRPP中，供货商库存路径和产品定价决策相互影响、相互制约，将3种模型(M1，M2，M4)下各时段所有零售商的总需求量、总配送量和总平均库存量进行对比，结果如图2所示。

由图2a可见，模型M1和本文模型M2各时段供货商的总需求量非常接近，模型M1的值略高于模型M2，二者的值均明显高于模型M4；由图2b可见，模型M1和模型M2各时段供货商的总配送量非常接近，模型M1的值略高于模型M2，二者的值均明显高于模型M4；由图2c可见，模型M1和模型M4各时段供货商的平均库存量非常接近，且二者均明显高于模型M2。这是由于在不考虑车辆租赁(模型M1)时，供货商采用自有车辆配送，产品定价相对较低，总需求量和总配送量相对较高；在全部采用租赁车辆配送(模型M4)时，供货商为了分担租赁车辆的成本，增加了产品定价，导致产品总需求量和总配送量降低。在波谷期采用自有车辆、波峰期采用租赁车辆进行配送(模型M2)时，供货商仅在波峰期适当增加产品定价，因此产品总需求量和总配送量与模型M1相比并未明显减少;另外，因为本文模型M2可以减少决策期内供货商的车辆总成本，所以IRPP优化下的总平均库存量最低，更有利于实现准时生产(Just in Time，JIT)配送。

为分析供货商自有车辆数对决策期收益的影响，令供货商自有车辆数分别为0～7辆，其余条件不变，结果如表4所示。

表4 不同自有车辆数下的成本利润 元

由表4可知，随着供货商自有车辆数的增加，供货商在决策期内的车辆总成本先下降后上升，在自有车辆数为3时车辆总成本最低，而供货商在决策期内的总利润则为先上升后下降，在自有车辆数为3时总利润最高，表明供货商在波谷期保持自有运力、在波峰期考虑车辆租赁可以实现利润最大化。原因是波谷期由自有车辆即可完成配送，免除了多余自有车辆的固定成本，在波峰期只需租用少量车辆即可与自有车辆共同完成配送，降低了车辆的租赁成本。

5 结束语

在VMI模式的拉式供应链中，IRPP是由库存管理、车辆路径和定价等相互影响、相互制约而产生的复杂供应链优化问题，是供货商提高利润的有效手段。本文研究了产品需求存在波峰波谷明显周期循环特征的IRPP优化问题，主要创新性工作如下：

(1)分析了车辆租赁因素对供货商定价决策的影响，建立了供货商在产品需求波谷和波峰不同时期的定价函数，厘清了供货商产品定价、成本和需求间的联动关系。

(2)结合产品需求各时段的波动特征，构建了考虑车辆租赁的IRPP非线性混合整数规划模型，设计了改进的PSO算法对模型进行求解，从而更有利于实现供货商总收益最大化的全局优化目标。

(3)根据供货商自有车辆与租赁车辆共同配送的思想，设计并验证了将波谷期的配送车辆数作为供货商自有车辆保有量，能够更有效地降低供货商在整个决策期内的车辆配送成本，提高供货商利润。

必须指出的是，本文仅研究了产品需求周期循环波动下不允许缺货的IRPP优化，未来可进一步研究产品需求周期循环波动下考虑缺货情形的IRPP优化问题。