李 琳, 石 峰, 项 松, 赵为平, 王艳冰

(1. 沈阳开放大学数字化资源制作管理服务中心，沈阳 110003;2. 沈阳航空航天大学辽宁省通用航空重点实验室，沈阳 110136)

0 引言

复合材料层合板具有较高的比强度，已经被广泛应用于航空、航天、建筑、船舶等领域。很多学者研究了复合材料层合板的自由振动问题，Khdeir 和Reddy[1]用二阶剪切变形理论分析了复合材料层合板的自由振动问题，Roque 等[2]用三角分层理论和径向基函数分析了复合材料层合板和夹芯板的振动问题，Ferreira 等[3]利用一阶剪切变形理论和径向基函数分析了对称复合材料层合板的自由振动问题，Aagaah 等[4]用三阶剪切变形理论计算了复合材料层合板的固有频率，Akhras 和Li[5]用样条有限条和高阶剪切理论计算了复合材料板的静力和振动问题，Baharlou 和Leissa[6]计算了任意边界条件复合材料层合板的振动和屈曲，Shi 等[7]计算了任意完全固支复合材料层合板的振动问题，Liew 等[8]利用一阶剪切变形理论和无网格法分析了复合材料板的自由振动和屈曲，项松和石宏[9]用逆复合二次径向基函数分析了复合材料层合板的自由振动问题，Xiang 等[10]用薄板样条径向基函数分析了固支复合材料层合板的自由振动问题，Xiang 等[11]利用无网格局部径向基配点法分析了复合材料层合板的自由振动问题，Xiang 等[12]利用n阶剪切变形理论分析了复合材料层合板的自由振动问题。

在无网格径向基配点法分析过程中，针对所分析问题的不同，径向基函数的形状参数对计算精度有很大影响。文献[9—12]中的径向基函数都是用固定的形状参数，导致了计算精度不高。

遗传算法是一种随机搜索算法，是一种利用复制、交叉和变异等遗传操作来模拟自然进化，完成问题寻优的现代优化方法[13]。

本文将遗传算法引入到复合材料层合板的自由振动问题中，利用遗传算法对复合二次径向基函数的形状参数进行了优化，用优化了形状参数的复合二次径向基函数计算了复合材料层合板的固有频率，将计算结果与文献中的结果进行了对比。对比结果表明：本文方法具有较高的计算精度。

1 控制方程和边界条件

仅由0◦铺层和90◦铺层交替依次叠合、压制而成的层合板，称为对称正交铺设层合板，见图1。

图1 对称正交铺设层合板

对称正交铺设层合板的位移场如下

式(1)中，w、ϕx、ϕy是中面的位移分量，h是层合板的厚度。

应变分量如下

x −y −z坐标系下的应力应变关系为

式(4)中

式(5)中，θ是纤维方向和x轴的夹角

利用虚功原理可以获得如下的欧拉-拉格朗日方程

式(7)中

式(7)∼(9)中，α和β代表x和y，Ii是惯性分量

式(10)中ρ代表材料密度。

将式(8)和式(9)带入式(7)，可以得到如下方程

n是总层数，zk和zk+1第k层的下面和上面的z坐标

假设w、ϕx、ϕy为

式(19)中，ω是自由振动的固有频率。将式(19)带入式(11)∼式(13)可以获得如下方程

2 无网格方法

无网格径向基配点法不需要网格及节点之间的连接关系，将结构离散成一系列节点，使用问题域中的全部节点对偏微分方程的解进行近似，具有耗时少、计算精度高等优点。

根据无网格径向基配点法，W、Φx、Φy可以用如下函数近似

将式(23)带入简支边界条件，可以对边界条件进行离散，将离散的边界条件和控制方程写成如下形式

3 遗传算法

遗传算法是近年来涌现的一种现代优化方法，这种算法采用的是“生成+检验”优化模式，它的基本操作包括编码、产生初始种群、计算适应度、判断目标函数是否满足优化条件。如果满足优化条件，迭代结束；如果目标函数不满足优化条件，就经过遗传、交叉、变异操作产生下一代种群，然后返回重新每个个体计算适应度，依次循环。具体步骤如下：

步骤1 随机产生一定规模的初始种群，对每个个体计算适应度；

步骤2 按照一定的法则对种群进行选择，通常采用轮盘赌的方法对种群进行选择；

步骤3 然后对选择下来的种群进行一定概率的两两交叉产生新种群；

步骤4 新的种群中的个体按一定概率发生变异；

步骤5 判断是否满足优化条件，满足则结束，不满足则转到步骤2。

遗传算法框图如图2 所示。

图2 遗传算法框图

在遗传算法中，目标函数的选取对遗传算法的影响很大，它是用遗传算法对参数进行寻优的指标。而对目标函数值的使用是通过评价个体的适应度来体现的。

径向基函数的形状参数对计算精度有很大影响，本文采用遗传算法对复合二次径向基函数的形状参数进行优化，可以获得最优的形状参数，以提高计算精度。

4 数值算例

复合材料层合板每层的材料属性如下

图3 为复合材料方板规则的节点离散方式，本文中采用的节点数为15×15，固有频率按下式进行无量纲处理

图3 方板的规则节点离散

本文优化的参数是αc，取值范围[0.5,−5]；选择简支方板(0◦/90◦/0◦, E1/E2 =40, a/h= 2,5,10,100)的无量纲基频的计算结果与文献[14]中结果的差值的和最小作为目标函数。

样本个数越大，越可能找到全局解，但运行时间也相对较长，一般在40∼100 之间取值，本文使用的样本个数为50，遗传操作时交叉概率pc=0.8，变异概率pm=0.2。采用二进制编码，经过100 代寻优。

在上述条件下最后得到优化的参数值为αc= 1.920 8，用优化了形状参数的复合二次径向基函数计算了复合材料层合板的固有频率，将计算结果与文献中的结果进行了对比，如表1 至表3 所示。

表1 列出了简支方板(0◦/90◦/0◦, E1/E2 = 40)的无量纲基频，从表1 可以看出本文结果与文献[14]的结果的一致性较好。

表1 简支方板的无量纲基频(0◦/90◦/0◦, E1/E2 =40)

表2 列出了简支方板(0◦/90◦/90◦/0◦, E1/E2 = 40)的无量纲基频，从表2 可以看出本文结果与文献[15]的结果具有较好的一致性。

表2 简支方板的无量纲基频(0◦/90◦/90◦/0◦, E1/E2 =40)

表3 列出了简支方板(0◦/90◦/0◦, E1/E2 = 40, a/h= 10)的无量纲前三阶固有频率，从表3 可以看出本文结果与文献[16]的结果具有较好的一致性。

表3 简支方板的无量纲前三阶固有频率(0◦/90◦/0◦, E1/E2 =40, a/h=10)

5 结论

本文采用无网格径向基配点法分析了复合材料层合板的自由振动问题，利用遗传算法对复合二次径向基函数的形状参数进行了优化，最后得到优化的参数值为1.920 8。用优化了形状参数的复合二次径向基函数计算了复合材料层合板的固有频率，将计算结果与文献中的结果进行了对比。对比结果表明：遗传算法在形状参数优化方面具有很大的潜力，本文方法具有较高的计算精度。