翟 婷, 赵雪芬, 丁生虎

(1. 宁夏大学数学统计学院，银川 750021; 2. 宁夏大学新华学院，银川 750021)

0 引言

由于热应力问题在新材料，核工程以及航空等领域的重要性，含夹杂、孔洞或裂纹的复合材料热应力问题受到了广泛的关注。Chao 和Shen[1–2]借助Hilbert 公式以及复应力函数法研究了粘结异种材料曲线裂纹的热弹性问题并且给出了圆形夹杂热弹性问题的一般解答。Kattis 和Meguid[3]采用二相复势的方法研究了曲线边界夹杂的平面热弹性问题，获得了椭圆形夹杂在均匀温变下的热弹性场。Ding 等[4–5]根据奇异积分方程方法计算了混合边值问题并获得了在均匀热流作用下两种粘结正交各向异性介质中界面裂纹问题的平面弹性解；运用叠加原理和傅里叶积分变换，对在热载荷作用下，正交异性涂层-基底结构内埋裂纹的热弹性问题进行了分析。

准晶作为一种新型智能材料，与金属合金相比，它形成了一系列具有奇特物理和机械性能的特殊结构。由于准晶体脆性高，其工作环境多为高压高温等更苛刻的条件，容易产生夹杂、裂纹或孔洞等缺陷，这会严重降低器件的性能，故对含缺陷准晶材料的研究是十分有必要的。Hu 等[6]、Fan 和Mai[7]对准晶体的物理性质及其对材料科学的意义进行了全面的概述。近年来，含缺陷准晶的力学分析得到了充分的研究[8–14]。刘媛等[15]采用Muskhelishvil 复变函数法研究了十次对称二维准晶材料中椭圆孔边部分裂纹面受到均布应力作用问题。Dang 等[16]运用位移不连续法研究了一维六方准晶涂层在反平面载荷作用下界面裂纹的断裂行为，用傅里叶变换方法导出了反平面位移不连续的基本解，分析了裂纹前缘应力的奇异性。

在考虑热效应时，准晶材料含缺陷问题的研究相对较少。Yang 等[17]借助非局部理论，得到了以厚度方向为准周期方向的二维均匀十面准晶纳米板的精确解，给出了二维准晶简支纳米板在上表面温度变化下的三维热弹性解析解。王旭等[18–19]推导了考虑热效应时十次对称二维准晶体平面应变问题的通解表示，将稳恒线热源作用下变形问题划为平面应变问题进行求解，给出了均匀热流作用下十次对称二维准晶体中一绝缘椭圆孔洞引起的热应力问题的解答。Wang 和Schiavone[20]讨论了含椭圆夹杂的二维十次对称准晶在热力耦合作用下的平面热弹性问题。Wang 和Schiavone[21]结合复变函数和传递矩阵方法研究了含椭圆夹杂的N层十次准晶复合材料在三种不同热载荷作用下的热力学响应解。Li 和Guo[22]通过复变函数方法研究了八面准晶含椭圆孔的热应力分析。Fan 等[23]基于傅里叶变换，运用扩展位移不连续法对一维六方准晶周期裂纹的平面热效应进行了分析。Li 等[24]给出了均布热流作用下一维六方准晶含币形裂纹问题的解析解。文献[25]借助广义势理论法研究了二维六方准晶体无限空间中含半无限平面裂纹的三维基本热弹性问题。本文利用复变函数方法研究了十二次对称二维准晶在点热源作用下的共弧圆形夹杂界面裂纹的平面问题，本问题的研究未见相关报道。

1 问题描述与基本公式

如图1 所示，无限大十二次对称二维准晶基体S−中包含一个半径为R的圆形弹性夹杂S+。在无限大准晶基体S−内任意一点z0作用着一点热源，其强度为q0。同时，在准晶基体与弹性夹杂界面上有n条互不相交的裂纹L′1,L′2,··· ,L′n，裂纹的尖端分别用aj和bj表示，记L′=L′1+L′2+···+L′n。除裂纹L′外的界面剩余部分记为L。不失一般性，假设在L′上无面力作用。当准晶基体与弹性夹杂粘结完好时，位移和应力在L上连续。由于十二次对称二维准晶体的声子场和相位子场不耦合，为了界面L上满足位移和应力连续则相位子场上的位移和应力全为0。

图1 点热源作用在圆形夹杂界面裂纹附近

设圆形夹杂的中心在复平面z=x1+ix2的坐标原点，则夹杂与准晶基体界面上的点可表示为t=Reiθ。此时，界面上位移和应力的边界条件可表示为

其中σr和σrθ表示极坐标中弹性夹杂和准晶基体声子场的应力分量。Hr和Hrθ表示极坐标中准晶相位子场的应力分量。ur和urθ是极坐标系中弹性夹杂和准晶声子场的位移分量。最后一个下标1 和2 分别表示区域S+和S−，上标“+”和“−”表示当z分别从S+和S−趋向于界面时函数所取的边界值。

由二维弹性复势理论及热弹性问题的基本公式[26]，圆形夹杂内的弹性场可用两个复势应力函数Φ(z)和Ψ(z)再加一个温度复函数g′1(z)来确定，即

由文献[27]知，十二次对称二维准晶基体的弹性场可用两个复势函数Ω(z)、Θ(z)和一个温度函数g′2(z)来确定，即

由二维热传导理论知，热流Q，热流强度q和温度T可以由单个复温度函数表示为

其中κt表示热传导系数，q1、q2和qρ、qφ分别表示热流强度的直角坐标分量和极坐标方向的分量，Re 和Im 分别表示对复数函数取实部和虚部。

2 温度场

准晶基体中的复温度函数可以表示为

考虑到界面裂纹是非渗透的，边界上热流强度和温度连续边界条件可表示为

其中qρ表示热流强度径向极坐标分量。

设Fi(z) =g′i(z)，利用边界条件(12)和(13)，由解析延拓技术和奇性主部分析方法可求得两个区域复势函数的一般解答为

其中G0(z)、G∞(z)、Gz0(z)和Gz∗(z)表示被积函数N1G(z)/X0(z)在z=0, ∞, z0, z∗点处的奇性主部，并且

对式(15)，还需要确定n个常数c1,c2,··· ,cn。把式(15)在无穷远域展开后与F′2(z)比较1/z前的系数，求得1/z前的系数。为了确保L上温度的连续性，补充n个端点温度相等条件。先假定端点a1处温度确定，则可得到n −1 个方程

式(16)是n −1 个方程，可确定n −1 个未知数，至此F′1(z)和F′2(z)可完全确定，这样表示整个温度场也完全确定。

3 声子场的热应力分析

如问题所述，当准晶基体S−内任意一点z0作用一强度为q0的点热源时，可设夹杂S+内和准晶基体声子场的复势函数为

同理，在S−内引入函数

这样，Φ(z)可经过圆弧L′解析到S−内。

考虑边界条件(2)∼(4)，把式(20)和式(23)代入，由广义Liouville 定理[26]，可得

其中Ω1(z)=−4Mi(L+M)Ω(z)且D0为常数。

对式(7)关于θ求导，由边界条件式(1)及式(10)、式(24)得

把式(21)和式(24)代入，可得一个R-H 边值问题，它的解为

其中

X1(z)是沿L割开平面上的一单值分支，满足limz→∞[znX1(z)]=1。

计算式(26)的积分后，再代入到式(21)和式(24)后，即可得到Φ(z)和Ω(z)。由式(20)和式(23)，可知

这样，弹性夹杂和准晶基体声子场的复势函数形式解已经求得。下面来确定τ0,τ1,··· ,τn和D0这n+2 个常数。由无穷远处应力为0，得Ω(∞) = 0，则由式(21)和式(26)可得τ0=0。

由于在无穷远邻域内

与式(21)在无穷远邻域内的洛朗级数展开式比较可得一方程。

又考虑到Φ(∞)=D0，再代入式(23)，即得

为了保证位移连续条件还需补充在n个端点位移相等的条件。考虑相对刚体位移，可假设其中b1重合，则有n −1 个独立条件，由此可得

把式(21)、式(24)代入整理得

其中

至此，Φ(z)和Ω(z)已完全确定。

4 典型问题

4.1 一条裂纹

如图2 所示，考虑在准晶基体内任一点z0作用强度为q0的点热源，在圆形夹杂界面上只含有一条裂纹，不失一般性，假设圆弧裂纹关于x轴对称，在圆形界面|z| =R上有端点a=Re−iα, b=Reiα。

图2 一条界面裂纹

4.1.1 温度场

当n=1, c0=0 时，有

将上述温度场的解答退化到只含有圆形夹杂时，即α= 0, a=b=R，由式(32)和式(33)得

该结果与文献[2]一致。

4.1.2 声子场热应力

当n=1, τ0=0 时，进而

再把在X1(z)无穷远邻域内展开有

与式(29)作比较，即得τ1=A2。

这样声子场复势函数中的待定常数都已求出，声子场受到的热应力也可确定。

4.2 两条裂纹

如图3 所示，考虑在准晶基体内任意一点z0作用强度为q0的点热源，在圆形夹杂界面上含有两条裂纹，不失一般性，假设两条圆弧裂纹分别关于x轴对称，在圆形界面|z|=R上有端点a=Re−iα, b=Reiα, a′=Rei(π−α), b′=Rei(π+α)。

图3 两条界面裂纹

4.2.1 温度场

此时c0=0, n=2，得到

4.2.2 声子场热应力

当n=2, τ1=0 时，D0=0，可得

4.3 裂纹尖端的热应力强度因子

为了计算圆弧裂纹端点b的热应力强度因子，首先做如下坐标变化[26]

这样在Z平面X轴与裂纹相切与端点b1(Z平面b的对应点)，且

在b1点领域的奇性主项可写为

声子场热应力强度因子定义如下

从式(39)中可以看出，裂纹尖端的声子场热应力强度因子与裂纹的大小，热源的位置及准晶材料的弹性常数有关。

5 数值算例

本节将给出一些数值结果，主要分析夹杂材料为弹性材料，基体材料为十二次对称二维准晶在点热源作用下界面弧形裂纹尖端的热应力及热应力强度因子的变化趋势，点热源位于第四象限。本文考虑一组满足正交条件的准晶材料参数[28]

取C12= 100 GPa。由于对称性，只需要计算一个裂纹尖端的热应力及热应力强度因子。定义无量纲热应力及热应力强度因子为

取α= 30◦，得到复平面上圆形夹杂界面上(t=Reiθ(θ= 0,1,··· ,2π))裂纹尖端的热应力分布曲线图。

观察图4 和图5 可以看出，裂纹尖端热应力的大小与外载荷热源强度呈线性关系，同样观察到热应力在θ= 30◦和θ= 330◦附近集中。图6 和图7 描述了含两条界面裂纹时，在不同强度的点热源作用下热应力随极坐标转换过程中θ变化的情形，发现热源强度越大，裂纹尖端的热应力越大，观察到热应力在θ= 30◦, θ= 145◦, θ= 215◦以及θ=330◦附近应力集中。图8 和图9 分别给出了只含有一条和两条界面裂纹时，当点热源位置位于x轴上时，界面热应力在不同热源强度下的变化情形。通过观察我们发现此时应力峰值相等。

图4 不同q0 下，边界上含一条裂纹的径向应力σr0

图5 不同q0 下，边界上含一条裂纹的剪应力σrθ0

图6 不同q0 下，边界上含两条裂纹的径向应力σr0

图7 不同q0 下，边界上含两条裂纹的剪应力σrθ0

图8 含一条裂纹边界上的径向应力σr0

图9 含两条裂纹边界上的径向应力σr0

图10 和图11 给出了在圆形夹杂大小不同的情况下，无量纲热应力强度因子K10及K20随裂纹角度α的变化情形。我们可以观察到夹杂半径R的大小对裂纹尖端热应力强度因子K10有很明显的影响，R越大热应力强度因子变化趋势越明显并且峰值越高，对于热应力强度因子K20而言，夹杂半径越小，热应力强度因子越小。我们发现热应力强度因子不会随裂纹角度α增大而单调增加。如图10 所示复合材料的热应力强度因子K10开始随裂纹角度α增大而增大，在α= 78◦附近达到最大值，然后随裂纹角度进一步增大而减小。而热应力强度因子K20开始随裂纹角度α增大而减小，当界面裂纹沿弯曲延伸至57◦时产生的热应力强度因子K20最小，然后又随裂纹角度α增大而增大。

图10 不同R 下K10 随裂纹角度α 的变化

图11 不同R 下K20 随裂纹角度α 的变化

6 总结

本文研究了十二次对称二维准晶在点热源作用下的共弧圆形夹杂界面裂纹的平面问题，利用Muskhelishvil 复变函数方法，给出了夹杂内外温度场，声子场的热应力分析。当含有一条裂纹以及含有两条裂纹时，获得了分区复势函数和应力场的封闭形式解答。当只含有一条裂纹时求出了裂纹尖端热应力强度因子的解析表达式，还给出了裂纹尖端热应力强度因子随裂纹几何条件变化而产生的变化情形。观察到热应力以及热应力强度因子的变化受夹杂半径、热源强度以及裂纹角度等影响。结果表明在点热源作用下含界面裂纹圆形夹杂裂纹尖端附近应力集中，应力场呈现振荡奇异性。本文的解答为准晶材料断裂性能的研究提供了理论依据。