商 越，张 昱，冯 新，任显祺，张浩杰

(大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116024)

在大坝等大型水工结构的动力模型试验中，模型与原型的比尺通常高达几十分之一到几百分之一，为了使模型结构能够满足全过程结构模型动力相似的试验要求，模型材料须具有较低的弹性模量和合适的密度，且脆性和断裂特性应与原型材料相近。经过多年的发展，逐渐出现了一种以水泥、重晶砂、重晶石粉、矿石粉、速凝剂等材料配合产生的混凝土仿真材料，称作仿真混凝土[1]。仿真混凝土材料与普通混凝土的动态拉伸性能相似[2]，但比后者具有更高的密度、更低的弹性模量和抗拉、抗压强度。

在结构动力模型试验的设计阶段，掌握模型材料的动态弹性模量至关重要。这一方面是因为原型和模型材料的动弹模之间的比尺对确定其相似关系非常关键，是决定模型设计最终结果的要素之一；另一方面对于模型试验中诸如数值仿真等其它工作，动弹模也是必要的信息之一。

混凝土材料动弹模的测定通常通过超声脉冲法和共振法等非破坏性试验方法实现。仿真混凝土散料较为干松，振捣后表面易形成气孔。超声脉冲法对试件表面的平整度有较为严格的要求，因此这种方法对仿真混凝土并不适用。共振法按照支承方式的不同分为自由梁共振法和悬臂梁共振法。自由梁法有成熟的规范作为依据[3-6]，因此在普通混凝土动弹模测定中有较好的应用。然而自由梁法不适用于仿真混凝土材料动弹模的测定，因为这种材料强度较低且密度较大，在测定过程中的移动、敲击可能在较大的自重影响下，导致试件表面的损坏和整体断裂。在这种情况下，通过悬臂梁法测定仿真混凝土材料的动弹性模量是较为可行的方案。

悬臂梁法在木材、金属等韧性较好的材料的动弹性模量测量中均有较广的应用[7-9]，也有学者将其应用于混凝土材料动弹模的测量中[10-11]。文献[12-15]将仿真混凝土试件与普通混凝土基座浇筑实现了悬臂梁，并使用悬臂梁法测定了仿真混凝土的动弹性模量。然而悬臂梁法没有统一的规范作为依据，通过该方法测量仿真混凝土的动弹性模量的准确性和适用性仍然存疑。

本文将通过自由梁法测得的仿真混凝土动弹模结果作为基准值，对仿真混凝土悬臂梁的弯曲共振进行了分析。通过对比自由梁、悬臂梁试验数据和数值模拟数据得到了规律性的结果，并在悬臂梁试验中基于铁木辛柯梁与欧拉-伯努利梁的模型差异和非完全固支效应的影响，对其结果进行了修正，提高了计算结果的准确性。

1 试验设计

1.1 试件制备

在自由梁试验中，本文参考规范ASTM C215—19[6]，制备尺寸为100 mm×100 mm×400 mm的仿真混凝土标准试件，通过自由梁的冲击共振法测量动态弹性模量Ed和动态剪切刚度模量Gd，并将其作为参考值和数值模拟的预设参数。在悬臂梁试验中，为了研究悬臂梁法测量仿真混凝土材料动弹性模量的实用性，探讨试件尺寸对测量结果的影响，试验设计了3组悬臂梁试件、1组自由梁，共4个工况分组，如表 1所示。

表1 自由梁、悬臂梁试验工况设置

在普通混凝土基座上预留了深度为200 mm的槽，浇筑仿真混凝土以形成悬臂梁，如图1所示。

图1 悬臂梁试件

仿真混凝土材料由重晶砂、重晶石粉、矿石粉、水泥、水和外加剂按照表 2的配比配制。其中，重晶砂的粒径范围为1.0 mm～2.5 mm，重晶石粉的粒径范围为0.0 mm～0.6 mm，矿石粉为325目石灰石粉，水泥为P.C 42.5复合硅酸盐水泥。试件自浇筑后在模具中养护24 h后拆模，并继续在平均温度10℃、平均湿度60%的空气中养护24 h。制备的仿真混凝土试件密度为2 950 kg/m3。

表2 仿真混凝土材料配比

1.2 试验方案

1.2.1 自由梁试验

自由梁试验过程参考美国规范ASTM C215—19中的冲击共振法，弯曲共振试验的流程为：(1) 将尺寸b×h×l为100 mm×100 mm×400 mm的标准试件在下表面的0.224l和0.776l处(1阶弯曲共振节点)支承; (2) 在上表面距离一端5 mm处固定加速度传感器，拾振方向与弯曲共振方向一致，并将传感器、采集盒、电脑连接并保证测量系统处于工作状态; (3) 敲击试件上表面中部，激起其1阶弯曲共振模态，采集振动的加速度时程。

扭转共振试验的流程为：(1) 在标准试件底部，沿横向的中心位置(1阶扭转共振节点)固定试件; (2) 在距离试件一端0.224l长，距离上表面h/6处固定加速度传感器，并将传感器、采集盒、电脑连接并保证测量系统处于工作状态; (3) 在距离试件另一端0.13±0.01l，距离底面h/6处敲击试件，激起其1阶扭转振动模态，并采集振动的加速度时程。

1.2.2 悬臂梁试验

悬臂梁法测点布设示意图如图2所示。悬臂梁试验的流程为：(1) 在从固定端到自由端长度分别为0.5l、0.7l处和距自由端5 mm处(分别为2阶、3阶和1阶横振的振幅较大处)固定加速度传感器; (2) 将传感器、采集盒、电脑连接并保证测试系统处于工作状态; (3)分别使用木槌敲击试件的0.5l、0.7l和距自由端5 mm处，激起试件前三阶弯曲振动模态。

图2 悬臂梁法测点布设示意图

1.3 数据处理

基于欧拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁的振动微分方程，有悬臂条件下动弹性模量的计算公式：

( 1 )

欧拉-伯努利梁模型过于理想化，忽略了剪切变形和转动惯量的影响，因此式( 1 )仅适用于细长梁[8,16-17]，对于短而粗的梁或高阶模态，该公式会带来相当大的误差[17]。美籍俄裔科学家铁木辛柯于1921年[19]提出了考虑了剪切变形和转动惯量的铁木辛柯梁模型。Sutherland等[20]基于铁木辛柯梁振动微分方程提出了关于欧拉-伯努利梁的频率系数βnl的修正系数Dn，该修正系数是细长比r/L、弹性模量和剪切模量比E/λG和模态阶数n的函数，其中λ是切变系数，对于矩形截面取5/6。

通过式( 2 )便可计算频率修正系数和修正的频率：

(2)

式中:fn,Tim，fn,E-B，Cn,f分别为第n阶的铁木辛柯梁频率，欧拉-伯努利梁频率和频率修正系数。

由试验测得的悬臂梁固有频率fe和数值模拟的结果fs都更接近于铁木辛柯梁频率fTim，因此通过试验测得悬臂梁弯曲振动的固有频率fe后便可以通过式(3)计算修正后的动弹性模量。

(3)

2 试验结果与分析

2.1 自由梁法与修正系数

通过自由梁法测得试件的弯曲共振频率和扭转共振频率，并计算动态弹性模量和动态剪切刚度模量的基准值如表3所示。将试验结果取均值得到动弹性模量Ed的基准值为1 181.67 MPa；动剪切刚度模量Gd的基准值为445.67 MPa；动泊松比μd为0.326。根据自由梁法测得的基准值绘制修正系数关于细长比r/L和模态阶数n的曲线，如图3所示。可以看到随着振动阶次的增加和试件细长比的增大，修正系数随之减小。

表3 自由梁法测定结果

图3 悬臂梁法的频率修正系数

2.2 等效悬臂长度

理想的悬臂条件是难以实现的，由于混凝土基座的刚性并不是无限大的，因此基座与试件协同振动造成的非完全固支效应则不可忽视。

为了研究试验所采用的悬臂条件与理想悬臂条件间存在的差异，在有限元软件中分别模拟了两种固支条件如图4所示。

图4 数值分析模型示意图

根据动弹性模量的计算公式(1)得知，假设试件弹性模量、截面尺寸不变时，有如下的关系式：

(4)

其中:lb是实际固支条件下的试件等效悬臂长度，la是理想固支条件下的试件长度，而fa、fb分别为理想和实际悬臂条件下数值模拟的频率。通常情况下lb的值大于la，当以lb取代la作为计算长度时，相当于对动弹模计算值的放大，放大系数Cl可以写为Cl=(lb/la)4。计算各工况下各长度的放大系数值，列为表4。可以看到，随着试件长度的增加或振型阶次的增大，放大系数Cl随之降低。放大系数Cl越大则意味着非完全固支效应越明显。

表4 不同工况与试件长度等效悬臂长度放大系数Cl

2.3 悬臂梁试验

在悬臂梁试验中，用木槌多次敲击测量点，取波形时程中一个单脉冲，计算自功率谱如图5所示，并拾取前3阶共振频率。

图5 C1工况400 mm试件弯曲共振功率谱

将试验测得的试验频率修正至欧拉-伯努利频率后，将等效悬臂长度作为计算长度，计算了各工况下前三阶频率对应的动态弹性模量。

2.4 悬臂梁试验结果讨论与分析

将试验测得的前三阶固有频率与数值分析的结果作对比，如图6所示。

图6 试验频率和数值分析频率的对比

尽管数值分析中实体梁的振动和物理试验中试件振动状态都更接近于铁木辛柯梁模型，但试验结果与数值结果仍然存在一定的差异。通过对比悬臂梁的试验频率与数值模拟频率，发现通过试验得到的2阶、3阶共振频率略高于通过数值分析得到的结果，与马良筠等[21]的试验结果反映的趋势一致。关于其成因，有学者在动态加载试验中发现仿真混凝土的动态弹性模量随着应变速率的增加而增大[2]；而另有学者发现黏弹性会导致悬臂梁固有频率的降低[22]，因此造成这种现象的原因尚未有统一的结论。

通过试验得到的1阶共振频率则普遍低于通过数值分析得到的结果，根据图6(b)和图6(d)发现，二者的差异随长高比或长细比的增大而减小，这与Dawson等[23]在预扭转的矩形截面悬臂梁试验中发现的趋势吻合。Dawson等[23]认为虽然铁木辛柯梁理论考虑了剪切变形和转动惯量的影响，但仍然存在未知的次级效应，因此会存在这样的差异。在试件长高比增大到7～8(长细比为24.2～27.7)时，可以忽略试验与数值分析的结果之间的差异。

对比C1工况、C2工况和C3-b工况的试验结果，发现截面尺寸的差异对结果的影响较小，而试件长高比或长细比对结果的影响较大：1阶～3阶固有频率对应的动态弹性模量均随着长高比的增加而增加。综合试验结果，可以得到2阶和3阶固有频率对应的动态弹性模量Ed,2、Ed,3分别比1阶固有频率对应的动态弹性模量Ed高55.16%和56.06%。各工况下试件动弹模随长高比变化的关系如图7所示。

图7 试件长高比对动弹模测定结果的影响

从图7中可以看到，当试件长高比为8时截面尺寸对测定结果的影响较为显著，这可能是因为在数据处理中，C1工况组(100 mm×100 mm)长试件的功率谱谱线密度较小导致了最终测定结果的偏大；而C2工况组(50 mm×50 mm)长试件因振捣难度大，密实后内部空腔累积造成最终测定结果偏小。综合考虑试验测得的动弹性模量，通过最小二乘拟合，得到1阶～3阶动弹性模量随长高比变化的线性拟合方程。对于1阶频率对应的动弹性模量，当忽略长高比为3的异常值时，Pearson相关系数R最高，达到了0.95。1阶～3阶频率对应的动弹性模量随长高比变化的经验公式如下所示：

Ed,1=94.5l/h+479.6

(5)

Ed,2=113.7l/h+952.4

(6)

Ed,3=24.9l/h+1508.1

(7)

式(5)—式(7)表现出了动弹性模量的测定值与试件长高比的相关关系。显然，长高比l/h对2阶共振频率对应的动弹模测定结果影响最显著，对3阶共振频率对应的动弹模测定结果影响最小，而对于1阶频率对应的动弹性模量与长高比间的线性关系最明显。

3 结 论

(1) 数值分析的结果表明，非完全固支效应随着试件长度的降低和模态阶数的增加而减小。

(2) 通过试验手段与通过数值分析得到的悬臂梁共振频率结果存在差异。通过试验得到的2阶、3阶共振频率略大于数值分析的结果；而1阶共振频率则相反，差异的大小随试件长高比的增大而减小，至长高比为7～8时趋于零。

(3) 基于悬臂梁法测定仿真混凝土的动态弹性模量，测量结果主要受试件长高比的影响，其他尺寸参数的影响不显著。

(4) 采用悬臂梁法测定仿真混凝土的动弹性模量，试验结果与标准值存在差异，即使考虑了传统梁模型的修正和非完全固支效应的修正后，差异依然存在。当通过1阶频率计算动弹模Ed时，与标准值的差异与试件的长高比有明显的相关性，随着试件长高比增大至7～8，差异趋于零；通过2阶、3阶频率计算得到的动弹模则分别高于1阶55.16%和56.06%。

以上结论表明，在悬臂梁试验中当试件的长高比至少为7时可通过1阶共振频率较为准确地计算动弹性模量，为悬臂法测定仿真混凝土动弹模提供了依据。试件制备难度随着长高比的增大而加剧，因此通过短试件和动弹模随长高比变化的经验公式预测长试件的测定结果将会带来较大的便利，这就要求通过大量的试验去拟合更准确的经验公式。