车用凸形板结构的隔声分析

2022-07-04张少波张洪波王树梁

噪声与振动控制 2022年3期

张少波，柳江，张洪波，王树梁

（青岛理工大学机械与汽车工程学院，山东青岛 266520）

路面车辆振动和车辆室内噪声具有与车速相关、噪声振动源频率范围广的特点。近年来，对于通过在声源处、传递路径处、人耳处三种途径来实现汽车降噪的研究不断深入[1]。在汽车隔声降噪的具体形式上，清华大学危银涛教授等[2-5]提出轮胎花纹泵浦噪声预报模型并对低噪声轮胎花纹参数进行优化设计。通过在声源处进行隔声降噪，轮胎参数的变化会影响汽车的操纵稳定性等性能。姜吉光等[6-8]针对主要峰值噪声的选择性消声和汽车多通道有源消声等课题，开发出可以用于实测车内噪声抵消的主动控制系统。在人耳处采取措施可改善车内噪声环境，有源结构会影响汽车的动力性等性能。岳中英等[9]在2018年通过降低悬架支柱上部橡胶衬套的刚度以及降低胎面刚度，以使传递路径中吸收噪声的能力得到增强。但吸声效果与材料的厚度有关，若处理不当则会影响车辆的整体性能。

通过小尺寸结构来实现减振降噪成为新的研究方向。新材料声子晶体的色散曲线被应用于隔声、波导、滤波等方面[10-13]。局域共振带隙的研究也使得小边界低频降噪成为可能[14]。拓扑研究的新阶段，声子晶体三维模型创建难和分析运算难的问题使得能够简化运算步骤的合成维度研究得到了广泛发展[15-17]。Zhang 等[18]通过区域折叠简易实现狄拉克点，产生多种界面模式。Hao等[19]通过设计不同拓扑结构的超晶格，实现界面态声边界效应。这些研究着重于声学物理现象，在应用到车辆噪声控制时，还需要考虑到实际传递路径的结构特点。

因此，为解决车辆高速行驶时的中高频风噪和辐射噪声问题，本文提出一种新的一维声子晶体结构模型，通过阵列单胞结构实现折叠布里渊区，找到具有反射相涡旋的结构模型。计算色散曲线，通过调整几何参数来得到期望的声边界，实现声的定向传输及声阻设计。模型符合汽车蒙皮结构特性，主要被应用于汽车车身和前围板等平直面结构，如图1所示。

图1 车用凸形板结构的适用部位

1 车用凸形板结构模型

考虑到汽车车身及蒙皮结构特点，本文提出一种凸形板单元结构，如图2 所示。首先假设合成板相对于笛卡尔坐标y方向是不变的，则凸形板单元的几何图形可视为一维声子晶体板结构类型。单胞包含2个域1和1个域2，其外廓呈现“凸”字形，故命名为凸形板。阵列单胞形成双胞用来改变结构的布里渊区，可进一步延展至多胞结构。所有模型板材料均为硅。运用本征模式匹配理论(EMMT)，材料参数如下：质量密度m=2 332 kg m3，横波波速Vt =5 840.9 m s，弹性常数C44=79.56 GPa。

图2 一维声子晶体板双胞结构

为了便于在x方向上构建超级单元，域1低于域2的部分补充真空，推导一维声子晶体板数学模型。将阵列后晶体沿x方向分为6层，每层中的波表示为基本函数集的叠加。层间和层内的S矩阵(Smatrix)用于连接最近的层。借助于单胞的S矩阵和整个声子晶板来计算透射谱。

尽管域1和域2的材料一致，但是由于结构参数不同，因此其透射谱不同，故可视为两种材料。考虑到汽车蒙皮结构特点，采用简单的SH(Shear Horizontal)模式即可满足需求。每层中的相应方程式可以表示为[18]：

其中下标1、2、3 表示x，y，z方向，m是质量密度，U2是位移矢量的y方向分量，T12是应力张量分量，C44是弹性常数。考虑到计算模型在空间的周期性，材料常数ρ(z)和C44(z)用倒易晶格矢量G(z)在傅里叶级数中展开。

其中α可以是ρ或C44，而αG是相应的傅里叶分量。G= 2nπ (tv+tρ)，其中n为整数，tv是真空层的厚度，tρ是材料层的厚度。考虑Bloch 定理和展开傅里叶级数中的位移矢量Us(x,y)和应力张量T12(x,z)得到公式4。

其中：ξ可以是U2或T12，ξG是相应的傅里叶分量，Kx是沿x方向的波矢量。将式(3)和式(4)代入式(1)和式(2)，可以得到特征值方程式：

关于Kx广义特征值问题的标准形式如公式(5)所示。

利用晶胞的S矩阵，可以计算透射谱。传输系数T和反射系数R是同时计算的，并且T+R=1。以上作为计算透射谱的理论依据，并将相应的理论模型导入模拟分析软件中计算。

2 模型结构隔声分析

2.1 结构参数下的色散曲线

将图2 中的双胞结构沿Kx方向平移1/2 个域1宽度，引入合成维度变量m,n，使结构延展到三维空间，其结构如图3(a)所示。新的单胞模型阵列后获得双胞结构，如图3(b)左上图所示。单胞划分依据如图3(b)主体图所示，单胞长度L1=0.5*t1+t2+0.5*t3，H=h2h1。同时给出变量定义公式，m=和

沿着Kx方向，L′1=0.5*t3+t4+0.5*t1，H=1，形成下一个单胞依次交替堆叠。研究平移0.5*t1宽度后的色散曲线，单胞结构的色散曲线如图3(c)中点图所示。双胞结构中设置L2=t1+t2+t3+t4，在几何图形z方向上统一为H=1。

双胞结构实现布里渊区折叠效果，其色散曲线如图3(c)线图所示。这种人工带折叠沿波矢方向给出了线性交叉。此时m=n=0。不同结构的同型色散曲线在参考文献[16]中图2(b)所示。在软件模仿数据点中，当Kx=±k2 时单胞色散曲线(双能带点图)发生折叠，形成双胞色散曲线(三能带线图)，如图3(c)所示。因为双胞结构在Kx方向上晶胞尺寸加倍，导致布里渊区折叠，能带关系发生变化。双胞结构的第一能带与第二能带在合成三维空间中形成双锥形结构，如图3(d)所示。不同结构下的涡旋结构同样如参考文献[16]中图2(c)所示。涡旋相结构保证了在有反射边界时界面状态的存在。同时，值得注意的是，涡旋相模式，在点(Kx=k2)上存在很小的间隙，是因为在平凡相和非平凡相之间的界面处不能确保晶格对称性。但是，拓扑属性仍然可以有效地建立稳健的定向传输[20-21]。

区域折叠理论是形成合成点的重要理论。为了获得更多的合成点，在进行周期性划分的过程中，打破域1、域2的等长关系，更改了t1和t3，t2和t4的镜像对称关系。对结构参数空间值进行了限定，其中晶格常数a=20 mm。双胞结构下，域1 和域2 的总长度分别固定为t1+t3= 4*a5 和t2+t4=a5。两个额外的变量m,n定义不变。所有的参数约束在[-1，1]中，从而形成一个封闭2 维空间，与波矢变参Kx形成3维空间。能带关系如图4所示。

从特例出发，m=n=0，其几何图形在z方向上定义高度比H=1。三维空间结构图类似图3(a)，只是尺寸不同，此处没有额外给出。双胞结构模型如图4(a)左上角所示，L1=0.5*t1+t2+0.5*t3形成单胞。当m=n=0时，双胞色散曲线如图4(b)第二、第三能带图(线图)所示，在±K边界处仍存在线性交点现象。当m=n=0.5 时，其色散曲线如图4(b)中第一、第四能带(圈图)所示，原本存在交叉点的第二、第三能带图因为简并态被破坏而形成带隙，随着频率的增加，带隙范围增加。

图3 在结构参数空间实现合成点

第二、第三能带表示m=n=0，这时单胞结构几何尺寸L1=0.5*t1+t2+0.5*t3，双胞几何尺寸L2=t1+t2+t3+t4。此时，仍然符合阵列单胞获得双胞的基本思想，在±K处完成区域折叠出现线性交点。当m=0.7,n=0，其色散曲线如图4(b)中第五、第六能带(星图)所示，在Kx=0处带隙近似重合。

研究双胞结构随Kx方向数值改变的变化规律，从以上特例出发可以将±K与Kx=0 处的带隙变化进行研究，并探究其影响因素。

色散曲线图显示了带隙的变化，三者的传输损耗如图4(c)所示。从整体图上看，在n=0 情况下传输损耗存在先减小后增大又减小的趋势，而n=0.5时传输损耗出现先增加后减小后增加情况。其中当(m，n)=(0，0)时最终传输损耗值低于(m，n)=(0.7，0)时。

此时从第一到第四能带，Kx方向的域1和域2几何尺寸不相等。当m=n=0.5 时，不能够满足分布区域折叠理论，简并态被破坏形成带隙如图4(b)圈图所示。

2.2 X方向参数变化的影响

由上述讨论可知，带隙交叉点的出现与t1t2比值无关。只有当两个单胞的几何尺寸（L1=0.5*t1+t2+0.5*t3和L′1=0.5*t3+t4+0.5*t1）不相等时，区域折叠被破坏，色散曲线解除部分简并态出现带隙，如图4(b)线图所示。随着x方向几何尺寸的更进一步变化，带隙在Kx=0处形成交点，如图4(b)星图所示。

图4 Kx方向变比值关系图

为更加具体地了解m,n变化导致的色散曲线在±K与Kx=0处的变化规律，设计参数m,n在[0:0.9]范围内结构模型进行仿真(共100 个模型)。在K处第一能带与第二能带(如图2(a)中线图所示能带)能带差值随m,n变化的规律，如图5(a)所示。为了更加直接地看到相应的数值，能带差值的线性图像如图5(b)所示。

随着m,n数值的不断增加，其能带差值也是逐渐增大的，符合声子晶体的一般性规律，如图5(a)所示。其能带差值增大与m,n变化近似复合圆形变化，因为声子晶体的周期性，能够在其余三个象限内得到类似于图5(a)所示图形。三处不符合线性变化的区域范围，分别在(m,n)=(0.2,0.8)、(0.6,0.8)和(0.8,0.8)区域范围。第二能带减去第一能带在K处的能带差值线图，如图5(b)所示。线图具有因数值量少而精度低的缺点，但具有更加直观的效果，能够看出声子晶体的带隙随几何参数m,n的增加而逐渐增加的现象。图5不仅能够实现找到更改带隙变化的几何变参调整方式，还能够找到类合成点的线性色散点，也就是能带差值较低的点。

图5 不同m,n值处第二能带与第一能带在x=k点处能带差值

Kx=0 值处的能带差值变化如图6 所示，与图5模式相同，分别给出了在该点处的三维面图与三维线图。此时计算的能带差值为第三能带减去第二能带。第三能带与第二能带在Kx=0 处的能带差值，如图6(a)所示。随着m,n数值增大，其在Kx=0处能带差值先减小后增加。在(m,n)=(0,0.7)附近区域存在差值最低点，也就是说此处可能存在合成点，能带差值变化的原因与镜像对称有关。随着m,n数值变化，双胞模型在t3垂直平分线处形成对称，进而影响Kx=0处色散曲线。在各个仿真点处的能带差值变化，如图6(b)所示。三二能带差值随n值增大而增大，随m值增大先减小后再增大。

图5 与图6 的差值变化图显示了一维声子晶体中可能存在合成点的参数值，后文对其线性点隔声性质进行讨论，色散曲线变化图能够直观简洁地展示带隙变化以及特殊位置，有利于开展针对汽车噪声隔控的后续试验。

镜像对称理论是指当模型打破对称时，色散曲线会出现合成点。用其来探讨图3 和图4 的色散曲线不同的原因，此处讨论在x方向上结构参数变化对带隙范围以及合成点的影响，H的影响在后文中说明。图3 中L2=t1+t2+t3+t4，在x方向上形成以t3垂直平分线为中心线的镜像对称结构。

在图3 的基础上打破域1 和域2(t1,t2)的数值相等关系，仍保持t1=t3，t2=t4，获得线性交点，能够实现类合成点的线性色散曲线，如图4(b)中线图所示。从整体的单胞结构来说，并没有破坏其对称关系(t1+t2+t3+t4)，这说明基本单元及其阵列后的几何关系是出现了保护边缘态色散曲线的重要因素。当破坏两个域2 的数值相等关系(t2,t4)后，色散曲线的简并态被打破，出现带隙，如图4(b)中圈图所示。此时t1+t3≠t2+t4，这也证明了单胞在x方向上凸形板结构的等值对称关系会对线性点周围的色散曲线产生影响，同时m,n值增加会近似线性地增大K处的带隙差。

综上所述，声子晶体的在K处能带差值随m,n数值增大而增大；在Kx=0处能带差值随n值增大而增大，随m值增大先减小后再增大。声子晶体结构形成镜像对称保护时，会产生线性交叉点，此时传输损耗值降低。可以考虑m,n属于[0:0.9]范围内在K处m,n值最小时进行隔声分析，在Kx=0处n值最小m值较大处进行隔声分析。

2.3 几何参数桩比值的影响

以上有关于色散曲线的探讨都是在H=1 的情况下。接下来将探讨有关于几何参数桩比值对色散曲线及线性交叉点的影响。根据图5 与图6 分别选取(m,n)=(0,0)以及(m,n)=(0.7,0)时声子晶体板随H数值变化在K以及Kx=0处能带差值结果，共计(40 个模型)。在Kx=0 处带隙随H变化可以忽略不计，带隙差数量级达到了10-10(kHz)，如图7(a)虚线图所示。有趣的是图7(b)实线图，图中显示在H=[0.1:1]变化过程中，其能带差值先增大后减小，整体数值较低。在H= [1:3] 的变化过程中，其能带差值数值较大，H=1.8 时数值反而达到最低，(H,f)=(0,1689),(1,1018),(1.8,393.6)，f单位统一为Hz。H=1.8时是值得研究的一维声子晶体结构点。

图6 不同m,n值处第三能带与第二能带在x=0点处能带差值

观测不同的能带差值较低模型，能够发现对称性理论在发现凸板结构界面态点处的重要性，这为寻找界面态模型提供寻找思路，方便实现快速研究。

2.4 三维结构的点声源仿真模拟

结合上述仿真模拟结果，仿照二维状态下设置周期型结构，模拟三维半平面场，其中(m，n，H)=(0，0，1)，沿m方向左边界硬声场边界条件，右边界设置辐射边界条件，左边界设置为硬声场边界，n方向有限，沿m方向阵列20 个如图4(a)双胞结构。在点声源频率为第一二能带交叉点处频率133.7 kHz 的基础上，获得三维状态下x=K周围传输状态，其结果如图7 所示。在实验结果中，将声源以黑色星状表示，位于图形中心。为增强对比，设置(m，n，H)=(0.7，0，1)和(m，n，H)=(0.7，0，1.8)来进行模拟仿真，查看x=K时边界效应，同样阵列20 个模型，点声源频率设置为二三能带频率。

图7 变高度比能带差值

结合图形进行分析，(m,n,H)=(0.7,0,1.8)时界面态的声定向传播特性，能够实现声波沿声源（星形标志）上下进行传播（中部纵向），图8(a)所示。为增加仿真的可信度，声波沿不同结构板进行定向传播的结果，如图8(b)所示[17]，其同样采用合成维度下的区域折叠获得近似点。(m,n,H)=(0,0,1)中的声阻现象，声音被局限在正方形区域，如图8(c)所示。为更加具象地展示声阻，(m,n,H)=(0.7,0,1)右侧延展板中声波状态，能够看到声被局限在左侧正方向块内，实现声阻效果，如图8(d)所示。